👋 歡迎來到代數的世界！

歡迎來到精彩的代數世界！如果這章內容剛開始看起來有點複雜，請不用擔心——代數其實只是我們為了更有效率地解決現實問題而使用的「數學速記法」。

在本章中，我們將從處理具體的數字，轉向使用字母（變數）來代表一般的數值。這是幾乎所有高等數學的基石！我們將涵蓋如何化簡、展開和因式分解代數式，並掌握指數運算規則。

1. 變數、代數式與代入法 (C2.1/E2.1)

代數使用字母（稱為變數）來代表那些會變動或尚未知曉的數值。

有什麼區別？

  • 代數式 (Expression)： 一個包含數字、變數和運算符號（如 +, -, x, /）的數學短語。它不包含等號。
    例子： \(3x + 5\)
  • 公式 (Formula)： 一個顯示兩個或多個變數之間關係的等式，常用於科學或幾何中。
    例子： 三角形面積，\(A = \frac{1}{2}bh\)。

1.1 代入法：以數值替換字母

代入法是將代數式或公式中的變數替換為特定數值的過程。

🔥 頂級秘訣： 當你將數字代入字母時，請務必將數字放入括號中。這有助於防止在處理負號和指數時出錯。

代入法步驟範例

求 \(a = -4\) 且 \(b = 5\) 時，代數式 \(2a^2 - 3b\) 的值。

  1. 代入數值（使用括號）：
    \(2(-4)^2 - 3(5)\)
  2. 先計算指數（記得 BIDMAS/BODMAS 運算順序）：
    \((-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16\)
    \(2(16) - 3(5)\)
  3. 執行乘法：
    \(32 - 15\)
  4. 得出最終答案：
    \(17\)
重點總結（代入法）： 代入時，用數字替換變數，並嚴格遵循運算順序 (BIDMAS/BODMAS) 小心計算。

2. 代數運算：化簡與展開 (C2.2/E2.2)

2.1 合併同類項進行化簡

要化簡代數式，我們需要合併同類項。同類項必須擁有完全相同的變數，且其指數也必須完全相同。

類比： 把代數想像成購物。你只能合併完全相同的物品。
如果你有 5 個蘋果 (\(5a\)) 和 2 根香蕉 (\(2b\))，然後你又買了 3 個蘋果 (\(+3a\))，你最後會有 8 個蘋果 和 2 根香蕉。

例子： 化簡 \(5x + 2y - x + 7y\)

  • 歸組 \(x\) 項： \(5x - x = 4x\)
  • 歸組 \(y\) 項： \(2y + 7y = 9y\)
  • 化簡後的代數式為： \(4x + 9y\)

⚠️ 常見錯誤： 小心符號！符號永遠屬於緊接在它後面的那一項。

進階例子： 化簡 \(2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4\)

  • 合併 \(a^2\) 項： \(2a^2 + 5a^2 = 7a^2\)
  • 合併 \(ab\) 項： \(3ab - 9ab = -6ab\)
  • 合併常數項： \(-1 + 4 = 3\)
  • 化簡後的代數式： \(7a^2 - 6ab + 3\)

2.2 代數式的展開

展開是指透過將括號外的每一項與括號內的每一項相乘，從而移除括號（使用分配律）。

A. 單括號 (Core & Extended)

將括號外的項與括號內的每一項相乘。

例子： 展開 \(3x(2x - 4y)\)

  • \(3x \times 2x = 6x^2\)
  • \(3x \times (-4y) = -12xy\)
  • 結果： \(6x^2 - 12xy\)
B. 雙括號 (Core & Extended)

當相乘兩個括號，如 \((A + B)(C + D)\) 時，必須確保第一個括號中的每一項都與第二個括號中的每一項相乘。

🧠 記憶輔助：FOIL (適用於僅含一個變數的代數式)：

  • First (首項相乘)
  • Outer (外項相乘)
  • Inner (內項相乘)
  • Last (末項相乘)

例子： 展開 \((2x + 1)(x - 4)\)

  • F: \(2x \times x = 2x^2\)
  • O: \(2x \times (-4) = -8x\)
  • I: \(1 \times x = x\)
  • L: \(1 \times (-4) = -4\)

合併同類項 (\(-8x + x\))： \(2x^2 - 7x - 4\)

C. 多於兩個括號的乘積 (僅限 Extended)

如果你有三個括號，必須先將前兩個括號相乘，然後將結果與第三個括號相乘。

例子： 展開 \((x-2)(x+3)(2x+1)\)。
（你應先計算 \((x-2)(x+3)\) 得到 \(x^2 + x - 6\)。然後將此結果與 \((2x+1)\) 相乘）。

重點總結（化簡/展開）： 化簡是合併同類項，展開是移除括號。它們是互逆的過程。

3. 因式分解：逆運算過程 (C2.2/E2.2)

因式分解是將代數式寫成其因式乘積的過程（即把代數式放回括號中）。當題目要求因式分解時，必須進行完全因式分解。

3.1 提取公因式 (Core & Extended)

找出所有項共有的最大公因數 (HCF)，包括數字和變數部分。

例子 1 (Core)： 因式分解 \(9x^2 + 15xy\)

  • 9 和 15 的 HCF 是 3。
  • \(x^2\) 和 \(xy\) 的 HCF 是 \(x\)。
  • 合併後的 HCF 是 \(3x\)。
  • 結果： \(3x(3x + 5y)\)

例子 2 (Extended - 簡易三次式)： 因式分解 \(ax^3 + bx^2 + cx\)

  • 公因數是 \(x\)。
  • 結果： \(x(ax^2 + bx + c)\)

3.2 進階因式分解 (僅限 Extended)

A. 分組分解法 (E2.2)

用於有四項的代數式，例如 \(ax + bx + kay + kby\)。將項兩兩分組，並分別對每組進行因式分解。

例子： 因式分解 \(3x + 6 + xy + 2y\)

  1. 分組： \((3x + 6) + (xy + 2y)\)
  2. 每組進行因式分解：
    \(3(x + 2) + y(x + 2)\)
  3. 由於 \((x + 2)\) 是公因式，將其提出：
    \((x + 2)(3 + y)\)
B. 平方差公式 (DOTS) (E2.2)

適用於兩個平方項由減號隔開的代數式： \(A^2 - B^2\)。

公式： \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\)

例子： 因式分解 \(a^2x^2 - b^2y^2\)

  • 這相當於 \((ax)^2 - (by)^2\)。
  • 結果： \((ax - by)(ax + by)\)
C. 二次三項式分解 (\(ax^2 + bx + c\)) (E2.2)

我們尋找兩個數，它們的積為 \(c\)，且和為 \(b\)。

例子： 因式分解 \(x^2 + 7x + 12\)

  • 我們需要兩個數，乘積為 12，和為 7。這兩個數是 3 和 4。
  • 結果： \((x + 3)(x + 4)\)
快速回顧（因式分解）： 永遠先尋找公因式。如果是兩項相減，檢查是否為平方差 (DOTS)。如果是三項二次式，找到乘積與和符合的數字對。

4. 代數分數運算 (C2.3/E2.3)

代數分數的運算規則與普通數字分數完全一樣。化簡、加、減、乘、除的規則皆相同。

4.1 化簡代數分數 (C2.3)

Core 考生預期需掌握只需一步（直接消去）即可化簡的分數。

例子： 化簡 \(\frac{x^2}{x}\)
\(\frac{x \times x}{x} = x\)

例子： 化簡 \(\frac{3}{6x}\)
\(\frac{3}{3 \times 2x} = \frac{1}{2x}\)

4.2 代數分數運算 (僅限 Extended) (E2.3)

A. 加法與減法

在進行加減運算前，必須先找到共同分母。

例子： 計算 \(\frac{x}{3} + \frac{x-4}{2}\)

  1. 共同分母是 6。
  2. 調整分子：
    \(\frac{x \times 2}{3 \times 2} + \frac{(x-4) \times 3}{2 \times 3} = \frac{2x}{6} + \frac{3(x-4)}{6}\)
  3. 合併並化簡：
    \(\frac{2x + 3x - 12}{6} = \frac{5x - 12}{6}\)
B. 乘法與除法
  • 乘法： 分子乘以分子，分母乘以分母。
  • 除法： 「保留，更換，翻轉」。保留第一個分數，將除號變為乘號，並將第二個分數翻轉（取倒數）。
C. 因式分解與化簡有理代數式 (E2.3)

對於複雜的分數，必須先對分子和分母進行因式分解，然後消去任何公因式。

例子： 化簡 \(\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}\)

  1. 分解分子： \(x(x - 2)\)
  2. 分解分母（兩個數相乘為 6，相加為 -5：即 -2 和 -3）： \((x - 2)(x - 3)\)
  3. 重寫分數：
    \(\frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)}\)
  4. 消去公因式 \((x - 2)\)。
  5. 結果： \(\frac{x}{x - 3}\)
重點總結（分數）： 永遠透過消去「因式」來化簡，而不是消去「項」！對於加減法，請找出共同分母。

5. 指數概念 (C2.4/E2.4)

指數（或冪）告訴你一個底數自身相乘了多少次。

5.1 指數定義

對於 Core 和 Extended 層級的學生來說，理解這些定義至關重要。

  1. 正整數指數： 標準指數定義。
    例子： \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
  2. 零指數： 任何非零數的零次方皆為 1。
    規則： \(a^0 = 1\)
    例子： \((12xy)^0 = 1\)
  3. 負整數指數： 負指數代表取倒數（1 除以該數的正次方）。
    規則： \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
    例子： \(7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\)
  4. 分數指數 (僅限 Extended)： 分數的分母代表根數，分子代表次方。
    規則： \(a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m\)
    例子： \(8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2\)。

5.2 指數運算規則 (C2.4/E2.4)

這些規則能幫助你快速化簡代數式。

規則 1：乘法（指數相加）

當底數相同相乘時，指數相加。

規則： \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
例子： \(x^4 \times x^3 = x^{4+3} = x^7\)

規則 2：除法（指數相減）

當底數相同相除時，指數相減。

規則： \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
例子 (Core)： \(2^3 \div 2^4 = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\)
例子 (Extended)： \(12a^5 \div 3a^{-2} = 4a^{5 - (-2)} = 4a^7\)

規則 3：冪的冪（指數相乘）

將一個指數式再進行乘方時，指數相乘。

規則： \((a^m)^n = a^{mn}\)
例子： \((5x^3)^2 = 5^2 \times (x^3)^2 = 25x^6\)

規則 4：乘積的冪

將括號內的每一個因數都進行乘方。

規則： \((ab)^n = a^n b^n\)
例子： \((6x^2y)^3 = 6^3 x^{2 \times 3} y^3 = 216x^6y^3\)

5.3 求解簡單的指數方程 (僅限 Extended) (E2.4)

要解未知數在指數位置的方程，嘗試使用相同的底數來改寫方程的兩邊。

例子 1： 解 \(2^x = 32\)

將 32 改寫為 2 的冪： \(32 = 2^5\)
\(2^x = 2^5\)
既然底數相同，指數必須相等： \(x = 5\)

例子 2： 解 \(5^{x+1} = 25^x\)

將 25 改寫為 5 的冪： \(25 = 5^2\)
\(5^{x+1} = (5^2)^x\)
在右側使用規則 3： \(5^{x+1} = 5^{2x}\)
令指數相等： \(x + 1 = 2x\)
解出 \(x\)： \(1 = x\)

重點總結（指數）： 熟練掌握規則！記住負指數代表倒數，分數指數代表根數。在解方程時，目標是讓底數相同。

🏁 最終複習：Core 代數檢查清單

如果你是以 Core 等級為目標，請確保你對以下內容充滿信心：

  • 將數字代入代數式和簡單公式 (C2.1)。
  • 透過合併同類項化簡代數式，包括處理正負係數 (C2.2.1)。
  • 展開單括號，以及包含單一變數的雙括號乘積 (C2.2.2)。
  • 透過提取公因式進行完全因式分解 (C2.2.3)。
  • 化簡只需一步消去過程的代數分數 (C2.3)。
  • 使用正、零、負整數指數以及基礎指數運算規則 (C1.7 & C2.4)。