Perpendicular lines

歡迎來到座標幾何：垂直線！

你好！你已經掌握了直線的基本概念——包括如何求斜率、線段長度和直線方程。這一章將會在這些基礎上，引入一個非常有用的概念：兩條互相垂直的直線。

在座標幾何的世界裡，垂直線 (perpendicular lines) 的斜率之間存在著一種特殊且規律的關係。掌握這種關係是解決複雜問題的關鍵，例如尋找圓心或計算點與點之間的最短距離。

第 1 節：什麼是「垂直」？

你可能在幾何學（課程大綱第 5 節）中見過這個術語。

垂直線的定義

若兩條直線相交並形成一個直角（$90^\circ$），它們就是垂直的。
想像一下方形書桌的角落，或是你繪圖紙上互相交叉的兩條軸（x 軸和 y 軸），這些都是垂直線的完美例子。

關鍵法則：垂直線的斜率

這是本節最重要的概念。當兩條直線垂直時，它們的斜率由一條簡單而優雅的法則連結起來。

設第一條直線的斜率為 $m_1$，第二條直線的斜率為 $m_2$。

法則指出，兩者斜率的乘積必須等於 $-1$：

$$m_1 \times m_2 = -1$$

如果你知道其中一條直線的斜率 ($m_1$)，就能輕易求出與其垂直的直線斜率 ($m_2$)。

如何求出垂直斜率 ($m_2$)

垂直線的斜率是原斜率的負倒數 (negative reciprocal)。

$$m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

記憶小撇步：「顛倒過來，變換符號」！

要得到負倒數，你需要做兩步：

顛倒 (Reciprocal)： 將分數的分子和分母對調。
變號 (Negative)： 如果原斜率是正數，新斜率就是負數（反之亦然）。

例子：應用這個技巧

如果原斜率 $m_1 = 3$ (即 $\frac{3}{1}$)，
顛倒：$\frac{1}{3}$。變號：$m_2 = -\frac{1}{3}$。
如果原斜率 $m_1 = -\frac{2}{5}$，
顛倒：$\frac{5}{2}$。變號：$m_2 = \frac{5}{2}$。
如果原斜率 $m_1 = -1$，
顛倒：$\frac{1}{1}$（仍是 1）。變號：$m_2 = 1$。

你知道嗎？ 這個法則之所以成立，是因為我們所使用的笛卡兒座標系統中，軸本身就是互相垂直的！

快速複習：平行與垂直

我們經常會搞混這兩個概念，要小心喔！

平行線：斜率相同。($m_1 = m_2$)
垂直線：斜率為負倒數。($m_1 \times m_2 = -1$)

第 2 節：求垂直線的方程

要求出任何一條直線的方程，你需要兩個條件：斜率 ($m$) 以及直線經過的一點 ($x_1, y_1$)。

最終的方程必須以 $y = mx + c$ 的形式呈現。

步驟流程

讓我們求一條直線 L2 的方程，它垂直於 $y = 2x + 5$ 並通過點 $(4, -1)$。

第 1 步：求原直線的斜率 ($m_1$)

原直線為 $y = 2x + 5$。
斜率 $m_1$ 是 $x$ 的係數。
$m_1 = 2$。

第 2 步：計算垂直斜率 ($m_2$)

使用負倒數法則（顛倒並變號）。
$m_1 = \frac{2}{1}$。顛倒並變號後：$m_2 = -\frac{1}{2}$。

第 3 步：將 $m_2$ 和已知點代入 $y = mx + c$

我們已知 $m = -\frac{1}{2}$ 且直線通過 $(4, -1)$。
將 $x=4$、$y=-1$、$m=-\frac{1}{2}$ 代入 $y = mx + c$：
$-1 = (-\frac{1}{2})(4) + c$

第 4 步：解出 y 截距 ($c$)

$-1 = -2 + c$
$c = -1 + 2$
$c = 1$

第 5 步：寫出最終方程

使用 $m = -\frac{1}{2}$ 和 $c = 1$，L2 的方程為：
$$y = -\frac{1}{2}x + 1$$

重點總結：求垂直線方程的過程，總是先找到負倒數斜率，再利用給定的點求出該直線特定的 $c$ 值。

⚠ 避免犯錯！

如果原方程不是 $y = mx + c$ 的形式，你必須先進行整理！
例如，如果直線是 $3x + 2y = 6$：

1. 整理：$2y = -3x + 6$
2. 除以 2：$y = -\frac{3}{2}x + 3$
3. 原斜率 $m_1$ 是 $-\frac{3}{2}$。
4. 垂直斜率 $m_2$ 則是 $\frac{2}{3}$。 （顛倒並變號！）

第 3 節：垂直平分線（擴展內容）

這是你將面臨的最常見且全面的垂直線問題。垂直平分線 (perpendicular bisector) 是指一條直線，它將線段（連接兩點的線，例如連接 A 和 B 的線）精確地一分為二，且與該線段成直角。

要找到垂直平分線的方程，你需要運用兩個基本的座標幾何概念：

中點公式 (Midpoint Formula)（確保平分該線段）。
負倒數法則 (Negative Reciprocal Rule)（確保垂直）。

必備公式（快速複習）

對於連接點 A $(x_1, y_1)$ 和點 B $(x_2, y_2)$ 的線段：

1. 斜率 $m$ (E4.2)： $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

2. 中點 M (E4.3)： $$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

求垂直平分線的方程（步驟流程）

讓我們求連接 A $(-3, 8)$ 和 B $(9, -2)$ 之線段的垂直平分線方程。（課程大綱示例 E4.6）

第 1 步：求線段 AB 的中點 (M)

這是新直線必須經過的關鍵點 $(x, y)$。
$$M = \left(\frac{-3 + 9}{2}, \frac{8 + (-2)}{2}\right)$$
$$M = \left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = (3, 3)$$

第 2 步：求原線段 (AB) 的斜率

$$m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 8}{9 - (-3)}$$
$$m_{AB} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$$

第 3 步：計算垂直斜率 ($m_{\text{perp}}$)

對 $m_{AB} = -\frac{5}{6}$ 使用負倒數法則。
顛倒：$\frac{6}{5}$。變號：$m_{\text{perp}} = \frac{6}{5}$。

第 4 步：使用 $y = mx + c$ 求方程

我們使用 $m = \frac{6}{5}$ 和第 1 步求得的中點 $M(3, 3)$。
代入 $y = mx + c$：
$$3 = \left(\frac{6}{5}\right)(3) + c$$
$$3 = \frac{18}{5} + c$$
為了解出 $c$，將 3 換算成五分之幾：$3 = \frac{15}{5}$。
$$c = \frac{15}{5} - \frac{18}{5} = -\frac{3}{5}$$