Ratio and proportion

各位同學好！

歡迎來到比與比例（Ratio and Proportion）的學習筆記。這個課題是數學的基石，無論是烹飪還是理財規劃，它都無處不在。如果你能掌握這些技巧，不僅能應付考試，在日常生活中的許多情況下都能派上用場！

我們將涵蓋如何化簡比、按比例分配金額，以及理解量與量之間的關係（比例）。如果一開始覺得有點難也不要擔心，我們會將這些概念拆解成簡單、易懂的步驟。

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第 1 部分：理解比（核心與延伸課程）

1.1 什麼是比？

比（Ratio）是用來比較兩個或多個同類型量的方法。它顯示了其中一個量相對於另一個量是多少。

例子：如果我們混合 3 公升的黃色油漆和 2 公升的藍色油漆，黃色與藍色的比就是 3 : 2。

重要原則：比的單位必須完全相同！

• 如果要比較 50 cm 和 2 m，你必須先將 2 m 轉換為 200 cm。比較結果為 50 cm : 200 cm。

1.2 化簡比

就像分數一樣，比應該以最簡形式（simplest form）呈現（C1.10）。

要化簡比，只需將比中的各部分同時除以它們的最大公因數（Highest Common Factor，簡稱 HCF）。

逐步教學：化簡比

1. 列出比中所有的數字。
2. 找出能整除所有部分的最大的數（即 HCF）。
3. 將每一部分除以該 HCF。

例子 1：化簡 20 : 30 : 40 的比。（這是課程大綱中的例子！）

20、30 和 40 的 HCF 是 10。
將所有部分除以 10：\(20 \div 10 : 30 \div 10 : 40 \div 10\)
化簡後的比為：2 : 3 : 4。

例子 2：化簡 4 kg : 500 g 的比。

首先，將單位轉換為相同單位（克）：4 kg = 4000 g。
比為：4000 : 500
HCF 為 500。
除以 500：\(4000 \div 500 : 500 \div 500\)
化簡後的比為：8 : 1。

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第 2 部分：按比例分配數量（核心與延伸課程）

2.1 「總份數」方法（C1.10）

考試中最常見的題目之一是將總量（如金錢或材料）按特定比例分配。這需要計算出「一份」的值。

逐步教學：分配數量

我們要把 $150 按 2 : 3 的比例分配給 Alex 和 Ben。

1. 找出總份數：
   將比例中的數字相加：\(2 + 3 = 5\) 份。
2. 找出「一份」的價值：
   用總數量除以總份數： \[\text{一份的價值} = \frac{\text{總數量}}{\text{總份數}} = \frac{\$150}{5} = \$30\]
3. 計算各人的份額：
   將「一份」的價值乘以各人所得的份數：
   • Alex（2 份）：\(2 \times \$30 = \$60\)
   • Ben（3 份）：\(3 \times \$30 = \$90\)
4. 檢查答案：
   將兩人的份額相加：\(\$60 + \$90 = \$150\)。（正確！）

常見錯誤提醒！
不要將比例中的份數與實際數量混淆。比例中的數字（2 和 3）僅僅是分配的指示，而非實際金額。

分配題目的關鍵要點

進行分配時，最可靠的方法是先求出總份數，再計算出一份的價值。

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第 3 部分：比例推理與實際應用（核心與延伸課程）

3.1 情境中的比（C1.10）

比例推理涉及調整食譜份量、使用地圖比例尺以及判斷最佳價值。

A. 地圖比例尺

地圖比例尺通常以比表示，例如 1 : 50 000。這意味著：

地圖上的 1 個單位 = 現實中的 50 000 個相同單位。

例子：地圖比例尺為 1 : 20 000。如果路徑在地圖上長 5 cm，那麼現實中長度是多少（以米為單位）？

地圖距離：5 cm
現實距離：\(5 \times 20\ 000 = 100\ 000\) cm
換算為米（除以 100）：\(100\ 000 \div 100 = 1000\) m。
路徑長度為 1000 米。

B. 調整食譜

當你更改食譜的份量時，必須保持所有材料的比例不變。

你知道嗎？ 比例縮放技術在化學、工程學和建築學中非常重要！

例子：一個供 8 人食用的蛋糕食譜需要 200g 麵粉。那麼 12 人食用需要多少麵粉？

1. 找出縮放係數： \[\text{係數} = \frac{\text{新人數}}{\text{原人數}} = \frac{12}{8} = 1.5\]
2. 將係數應用於材料： \[\text{所需麵粉} = 200 \text{ g} \times 1.5 = 300 \text{ g}\]

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第 4 部分：正比例（延伸課程 E2.8）

本節涉及使用代數來描述和解決有關比例的問題。

4.1 什麼是正比例？

如果兩個量以相同的速率增加或減少，則它們呈正比例（direct proportion）。當一個量翻倍時，另一個量也會翻倍。

類比：你工作的時數越多，賺的錢就越多。

我們使用符號 \(\propto\)（讀作 "is proportional to"，與...成正比）。

如果 \(y\) 與 \(x\) 成正比，我們寫成：
\[y \propto x\]

要將此比例轉換為實用的方程式，我們引入比例常數 k（Constant of Proportionality）：

\[y = kx\]

這類題目的目標永遠是先找出 k 的值！

4.2 冪與根的比例關係（延伸課程 E2.8）

正比例不一定是線性的（\(y = kx\)）。課程大綱要求處理其他變化形式，例如：

• 與平方成正比： \(y = kx^2\)
• 與立方成正比： \(y = kx^3\)
• 與平方根成正比： \(y = k\sqrt{x}\)

逐步教學：解決延伸比例問題

例子：\(y\) 與 \(x\) 的平方成正比。當 \(x=3\) 時，\(y=45\)。求當 \(x=5\) 時的 \(y\)。

1. 寫成方程式：
   \(y \propto x^2\)，所以 \(y = kx^2\)。
2. 找出常數 \(k\)：
   代入已知的一對數值（\(x=3, y=45\)）： \[45 = k(3^2)\] \[45 = 9k\] \[k = \frac{45}{9} = 5\]
3. 寫出完整公式：
   既然已知 \(k=5\)，方程式為：\(y = 5x^2\)。
4. 求出未知數：
   找出 \(x=5\) 時的 \(y\)： \[y = 5(5^2) = 5(25) = 125\]

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第 5 部分：反比例（延伸課程 E2.8）

5.1 什麼是反比例？

如果兩個量滿足：當一個量增加時，另一個量減少，且它們的乘積保持不變，則它們呈反比例（inverse proportion）。

類比：參與工作的人數越多（增加），完成工作所需的時間就越少（減少）。

如果 \(y\) 與 \(x\) 成反比，我們寫成：
\[y \propto \frac{1}{x}\]

同樣引入常數 \(k\)：

\[y = \frac{k}{x} \quad \text{或者} \quad xy = k\]

5.2 解決反比例問題

例子：建造一面牆所需的時間 \(T\) 與工人數量 \(W\) 成反比。如果 4 個工人需要 12 小時，那麼 6 個工人需要多少小時？

1. 寫成方程式：
   \(T \propto \frac{1}{W}\)，所以 \(T = \frac{k}{W}\)（或 \(TW = k\)）。
2. 找出常數 \(k\)：
   代入已知數值（\(W=4, T=12\)）： \[12 = \frac{k}{4}\] \[k = 12 \times 4 = 48\]
3. 寫出完整公式：
   方程式為：\(T = \frac{48}{W}\)。（常數 \(k=48\) 代表所需的總「工時」。）
4. 求出未知數：
   找出 \(W=6\) 時的 \(T\)： \[T = \frac{48}{6} = 8 \text{ 小時}\]

延伸：反平方比例
你可能會遇到與平方成反比的情況。如果 \(y\) 與 \(x\) 的平方成反比，關係式為： \[y = \frac{k}{x^2}\]