Relative and expected frequencies

Hello IGCSE Mathematicians! 認識相對頻率與期望頻率

歡迎來到充滿挑戰的實驗概率 (Experimental Probability) 世界！在之前的概率筆記中，我們關注的是「理應」發生的事（例如拋擲硬幣時，出現正面的機率為 50%）。在本章中，我們將探討實驗時「實際」發生的情況，以及如何利用這些真實世界的結果來進行預測。

這項技能不僅對考試至關重要，在現實生活中也同樣實用——試想一下，汽車公司如何預測新型號汽車的可靠性，或保險公司如何計算風險。現在，讓我們一起掌握相對頻率 (Relative Frequency) 與期望頻率 (Expected Frequency) 吧！

第一節：從理論到實踐（實驗概率）

在學習概率時，我們主要區分兩種不同的類型：

1. 理論概率 (Theoretical Probability)

這是基於我們對公平實驗的預期所計算出的概率。我們運用邏輯和公式：

$$P(\text{Event}) = \frac{\text{有利結果的數量}}{\text{所有可能結果的總數}}$$

例子：在公平的骰子上擲出「6」的理論概率是 \( \frac{1}{6} \)。

2. 實驗概率（即相對頻率）

這是通過多次執行實驗並記錄結果而得出的概率。這種概率完全基於觀察所得。

例子：如果你擲骰子 60 次，其中有 12 次擲出「6」，那麼實驗概率就是 \(\frac{12}{60}\)。

第二節：作為概率估計的相對頻率 (C9.2.1 / E9.2.1)

相對頻率是實驗概率的另一種稱呼。它告訴你某個事件相對於試驗總次數發生的頻率。

定義與計算

事件的相對頻率可使用以下公式計算：

$$ \text{相對頻率} = \frac{\text{結果出現的頻率}}{\text{試驗總次數（總頻率）}} $$

想像一下足球統計數據：如果一名球員射了 50 次十二碼球，其中 35 次得分，那麼他得分的相對頻率就是 \(\frac{35}{50} = 0.7\)。

步驟範例：轉盤實驗

一名學生旋轉四面轉盤 200 次，結果記錄如下：

結果	頻率
1	45
2	55
3	60
4	40

問題：估計轉盤轉出「3」的概率。

第一步：找出所需結果的頻率。
轉出「3」的頻率 = 60。

第二步：找出試驗的總次數。
總試驗次數 = 200。

第三步：計算相對頻率。
$$ P(3) \approx \frac{60}{200} = 0.3 $$

轉出「3」的估計概率為 0.3 (或 \(\frac{3}{10}\))。

將相對頻率用作估計值

本章的一個核心概念是：相對頻率是真實概率的一個估計值。

如果你只進行少量實驗（例如拋 10 次硬幣），你可能會得到 8 次正面。此時相對頻率為 0.8。但我們知道理論概率是 0.5，所以 0.8 是一個較差的估計。

關鍵概念：大數法則 (Law of Large Numbers)

重複實驗的次數越多（即試驗次數越多），相對頻率就會越接近真實的理論概率。

試想一下，將硬幣拋擲 10,000 次。你幾乎肯定會得到一個非常接近 0.5 的相對頻率。因此，大量的試驗能提供更準確的估計。

第三節：計算期望頻率 (C9.2.2 / E9.2.2)

一旦我們知道了某個事件的概率，就可以預測它在未來的試驗中會發生多少次。這種預測稱為期望頻率 (Expected Frequency)。

期望頻率公式

期望頻率告訴我們在特定的試驗次數中，該事件預計發生的平均次數。

$$ \text{期望頻率} = P(\text{事件}) \times \text{試驗總次數} $$

如果答案不是整數，不用擔心！期望頻率是一個長期平均值，所以就算算出預計會有 15.5 個雨天也是完全正常的，儘管現實中不可能有半個雨天。

步驟範例：預測結果

巴士在某個車站遲到的概率是 \( 0.15 \)。

問題：如果下週共有 80 班巴士抵達，預計會有多少班遲到？

第一步：找出概率與總試驗次數。
$$ P(\text{遲到}) = 0.15 $$ $$ \text{總試驗次數} = 80 $$

第二步：套用期望頻率公式。
$$ \text{期望頻率} = P(\text{遲到}) \times 80 $$ $$ \text{期望頻率} = 0.15 \times 80 $$

第三步：計算結果。
$$ 0.15 \times 80 = 12 $$

結論：預計下週會有 12 班巴士遲到。

利用相對頻率來估計期望頻率

有時題目並未給出理論概率，你必須使用先前實驗的結果（即相對頻率）來進行新的預測。

例子：在工廠中，測試了 50 件產品，發現有 3 件不合格。如果工廠明天生產 600 件產品，預計會有多少件不合格？

第一步：計算相對頻率（估計不合格的概率）。
$$ P(\text{不合格}) \approx \frac{3}{50} = 0.06 $$

第二步：計算新批次的期望頻率。
$$ \text{期望頻率} = P(\text{不合格}) \times 600 $$ $$ \text{期望頻率} = 0.06 \times 600 = 36 $$

我們預計 600 件產品中有 36 件是不合格的。

第四節：理解公平、偏差與隨機

在處理概率問題（特別是實驗結果）時，了解實驗本身的性質非常重要。

1. 公平與偏差 (Fair vs. Biased)

如果一個物體或實驗中，所有可能的結果都有相同的發生機會，則該實驗是公平 (Fair) 的（或稱為無偏差 Unbiased）。

• 公平的例子： 一個標準、配重完美的硬幣。\(P(\text{正面}) = P(\text{反面}) = 0.5\)。

如果某些結果比其他結果更有可能發生，則該物體或實驗是有偏差 (Biased) 的。

• 有偏差的例子： 一個經過處理的骰子，其重心偏向使「1」出現的機率更高。\(P(1) > \frac{1}{6}\)。

我們經常使用相對頻率來檢測偏差。如果你拋擲一枚硬幣 1000 次，得到 900 次正面（相對頻率為 0.9），你就會強烈懷疑這枚硬幣是有偏差的！

2. 隨機 (Random)

如果單次試驗的結果是不可預測的，那麼該過程就是隨機 (Random) 的。

• 擲骰子、閉著眼睛從袋子裡拿球，或巴士的抵達時間，都是隨機事件的例子。
• 在一個真正隨機的過程中，一次試驗的結果（例如擲出「6」）不會影響下一次試驗的結果。

總結與重點回顧

你現在已經學會如何將理論數學與現實世界的結果聯繫起來了！

相對頻率：

• 這是實驗的結果：\(\frac{\text{觀察到的頻率}}{\text{總試驗次數}}\)。
• 它被用作真實概率的估計值。
• 試驗次數越多，估計越準確。

期望頻率：

• 這是對未來結果的預測：\( P(\text{事件}) \times \text{總試驗次數} \)。
• 它是一個數值（計數），而不是概率（儘管它可能不是整數）。

定義：

• 公平/無偏差 (Fair/Unbiased)： 所有結果出現的機會相等。
• 偏差 (Bias)： 各結果出現的機會不相等。
• 隨機 (Random)： 單次試驗的結果不可預測。

你做得很好！繼續練習這些計算，並記住我們預期的結果與實際發生的結果之間的區別。