Right-angled triangles

歡迎來到直角三角形的世界！

你好！這個章節是數學開始變得實用且強大的起點。我們即將進入三角學 (Trigonometry)，這基本上就是在研究三角形的邊長與角度之間有什麼樣的關聯。

你可能會問：「我為什麼需要學這個？」三角學讓工程師能計算摩天大樓的高度、領航員能在橫跨大洋時繪製航線，建築師也能設計出穩固的屋頂——這一切都不需要親自去攀爬或測量那些難以觸及的距離！本章將專注於最簡單也最重要的三角形：直角三角形 (right-angled triangle)。

如果起初覺得有點複雜，別擔心；我們會利用簡單好記的工具，一步步帶你破解所有難題！

---

第一節：直角三角形的必備詞彙

直角三角形是指含有一個 90° 角的三角形。

在使用任何公式之前，我們必須正確標示三角形的邊。標籤永遠取決於你正在處理的那個非 90° 的角（以 \(\theta\) 表示，讀作 theta）：

關鍵術語標示

1. 斜邊 (Hypotenuse, H)：
• 這是三角形中最長的一邊。
• 它永遠位於 90° 角的正對面。

2. 對邊 (Opposite, O)：
• 這是位於你計算所選角度 (\(\theta\)) 正對面的邊。

3. 鄰邊 (Adjacent, A)：
• 這是緊鄰你所選角度 (\(\theta\)) 的邊。
• （記住：「鄰邊」的意思就是旁邊或相連的邊。）

! 重要提醒：如果你選擇三角形中的另一個銳角，對邊和鄰邊的位置就會互換！

---

第二節：用畢氏定理尋找邊長（複習）

在進入三角比之前，先複習一下如果你已經知道其中兩邊長，如何求出第三邊。這就是使用畢氏定理 (Pythagoras' Theorem)（課程大綱 C7.1 & E7.1）。

公式

在任何直角三角形中，斜邊的平方等於另外兩邊的平方和。

$$a^2 + b^2 = c^2$$ 其中 \(c\) 必須永遠是斜邊。

畢氏定理的計算步驟：

1. 尋找斜邊： （最長邊，\(c\)）
• 將兩條較短的邊分別平方，相加後再取平方根。
• 例如：若 \(a=3\)，\(b=4\)，則 \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。

2. 尋找較短邊： （邊 \(a\) 或 \(b\)）
• 將斜邊平方，減去已知較短邊的平方，再取平方根。
• 例如：若 \(c=10\)，\(a=6\)，則 \(b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\)。

---

第三節：認識三角比 (SOH CAH TOA)

當你有一條邊長和一個銳角（非 90°），且需要求出另一條邊或角度時，你就必須使用三角學。

三個基本的三角比（或函數）是正弦 (Sine)、餘弦 (Cosine) 和正切 (Tangent)。它們定義了角度與邊長比例之間的關係。

著名的記憶口訣：SOH CAH TOA

這個口訣能告訴你每個三角比分別對應哪些邊：

1. SOH (Sine)：
• Sine = Opposite / Hypotenuse
$$ \sin(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} $$

2. CAH (Cosine)：
• Cosine = Adjacent / Hypotenuse
$$ \cos(\theta) = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} $$

3. TOA (Tangent)：
• Tangent = Opposite / Adjacent
$$ \tan(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} $$

---

第四節：計算未知邊長

當要求解未知邊長時，你需要兩個已知條件（一條邊長和一個角度）。

求邊長的 4 步法

第 1 步：標示三角形。
• 相對於已知角 (\(\theta\))，標出三邊：O、A 和 H。
• 忽略你既不知道也不需要求出的那條邊。

第 2 步：選擇正確的三角比。
• 觀察你已有數值的邊（已知邊）以及你想求出的邊（未知邊，通常設為 \(x\)）。
• 選擇連結這兩條邊的三角比（SOH、CAH 或 TOA）。

第 3 步：建立方程式。
• 將已知角度和邊長代入選擇的公式中（未知邊用 \(x\) 表示）。

第 4 步：解方程式。
• 利用代數運算重新排列並求出 \(x\)。

情況 A：未知邊在分子（上方）

這是最簡單的情況！

例如：已知角度為 30°，鄰邊 (A) 為 10 cm，想求對邊 (O)，即 \(x\)。

1. 標示： O = \(x\)，A = 10，H =（忽略）。
2. 比例： O 和 A 意味著使用 TOA (\(\tan\))。
3. 方程式： \( \tan(30^{\circ}) = \frac{x}{10} \)
4. 求解： 等式兩邊同乘以 10。
\( x = 10 \times \tan(30^{\circ}) \)
\( x \approx 5.7735...\)

（記得將最終答案取至有效數字 3 位，除非另有指示。所以，\(x = 5.77\) cm。）

情況 B：未知邊在分母（下方）

這需要一點代數技巧！

例如：已知角度為 40°，對邊 (O) 為 12 m，想求斜邊 (H)，即 \(x\)。

1. 標示： O = 12，A =（忽略），H = \(x\)。
2. 比例： O 和 H 意味著使用 SOH (\(\sin\))。
3. 方程式： \( \sin(40^{\circ}) = \frac{12}{x} \)
4. 求解：
• 第 4a 步：兩邊同乘以 \(x\)，把它從分母移出來：
\( x \times \sin(40^{\circ}) = 12 \)
• 第 4b 步：兩邊同除以 \(\sin(40^{\circ})\) 以孤立 \(x\)：
\( x = \frac{12}{\sin(40^{\circ})} \)
\( x \approx 18.668...\)
\(x = 18.7\) m (取 3 位有效數字)

---

第五節：計算未知角度

如果你已知兩條邊長但需要求出未知角度 (\(\theta\))，你必須使用反三角函數 (inverse trigonometric functions)。

反函數（「復原」按鈕）

要算出角度，你需要「復原」正弦、餘弦或正切函數。在計算機上，這些功能通常標示為 \(\sin^{-1}\)、\(\cos^{-1}\) 和 \(\tan^{-1}\)（通常在按功能鍵之前先按 "Shift" 或 "2nd F"）。

1. 若 \( \sin(\theta) = \text{比例} \)，則 \( \theta = \sin^{-1}(\text{比例}) \)
2. 若 \( \cos(\theta) = \text{比例} \)，則 \( \theta = \cos^{-1}(\text{比例}) \)
3. 若 \( \tan(\theta) = \text{比例} \)，則 \( \theta = \tan^{-1}(\text{比例}) \)

求角度的 4 步法

第 1 步：標示三角形。
• 相對於未知角 (\(\theta\))，標出兩條已知邊（O、A 或 H）。

第 2 步：選擇正確的三角比。
• 選擇連結兩條已知邊的 SOH、CAH 或 TOA。

第 3 步：建立方程式。
• 將已知邊長代入三角比公式。

第 4 步：使用反函數求解。
• 使用 \(\sin^{-1}\)、\(\cos^{-1}\) 或 \(\tan^{-1}\) 來求出角度。

例如：已知對邊 (O) 為 5 cm，鄰邊 (A) 為 8 cm。求 \(\theta\)。

1. 標示： O = 5，A = 8，H =（忽略）。
2. 比例： O 和 A 意味著使用 TOA (\(\tan\))。
3. 方程式： \( \tan(\theta) = \frac{5}{8} \)
4. 求解： \( \theta = \tan^{-1}(\frac{5}{8}) \)
\( \theta \approx 32.005...\)

（記得將角度取至小數後 1 位，除非另有指示。所以，\(\theta = 32.0^{\circ}\)。）

---

第六節：解決實際問題（二維應用）

三角學最常被用於解決現實世界的問題。這通常涉及畫出圖表，並正確識別情境中的直角三角形（課程大綱 C7.2/E7.2）。

1. 仰角與俯角 (Angles of Elevation and Depression)（延伸課程 E7.2）

這些術語描述了從水平線向上或向下觀察時產生的角度。

• 仰角 (Angle of Elevation)： 從水平線向上測量至上方某點的角度（例如：抬頭看塔頂）。

• 俯角 (Angle of Depression)： 從水平線向下測量至下方某點的角度（例如：從懸崖向下看船隻）。

比喻： 想像你正站在地面上，直視前方（這是水平線）。
• 仰角就是把頭往上抬。
• 俯角就是把頭往下垂。

! 關鍵點： 因為視線與地面通常是平行的，從 A 點看 B 點的仰角，等於從 B 點看 A 點的俯角（因為平行線中的內錯角相等）。

2. 方位與距離 (Bearings and Distances)（課程大綱 C7.2/E7.2）

三角學和畢氏定理經常與方位問題結合（方位使用從正北方向順時針測量的三位數表示）。

• 如果行程包含向北/向南及向東/向西的移動，你總是可以畫出一個直角三角形，其中南北線與東西線交角為 90°。

• 這讓你能夠使用畢氏定理求出最終距離，或使用 SOH CAH TOA 求出所需的角度，將幾何角度轉換回方位。

例如：船隻向東航行 5 公里，再向北航行 12 公里。
• 路徑形成一個直角三角形。
• 距離起點的最終距離（斜邊）可由畢氏定理算出：\( \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \) 公里。

---

第七節：延伸主題：三維問題

在延伸課程 (E7.6) 中，你必須能夠應用畢氏定理和三角學來解決三維 (3D) 問題。

3D 幾何的訣竅在於識別隱藏在 3D 形狀（如長方體或角錐）中的直角三角形。

3D 問題策略

1. 畫出並標示 3D 形狀。
2. 尋找「隱藏的」直角： 尋找垂直邊與底面上平面線之間的 90° 角，或底面上兩條互相垂直的線。

3. 分階段進行： 你通常需要*兩次*使用畢氏定理，或是先用畢氏定理求出必要的底邊長，再用三角比 (SOH CAH TOA) 求出最終的角度或高度。

例如：求長方體的空間對角線。
• 第一步，在底部平面上使用畢氏定理（二維）求出底面對角線。

• 第二步，再次使用畢氏定理，利用底面對角線與長方體垂直高度，求出最終的空間對角線。