Trigonometric functions

歡迎來到三角函數的世界！(IGCSE 0580 Extended)

你好！如果你已經掌握了如何在直角三角形中使用正弦 (Sine)、餘弦 (Cosine) 和正切 (Tangent)，那麼你已經成功了一半！這一章將這些比率轉化為優美且連續的圖像。這非常重要，因為三角函數能描述自然界中週期性的現象，例如聲波、潮汐和鐘擺。理解這些圖像是解決更複雜方程的關鍵。

---

1. 三大基本函數圖像簡介

與線性或二次方程不同，像正弦和餘弦這樣的三角函數是週期性 (periodic) 的。這意味著它們的圖像會在無窮大（或指定範圍內）重複同樣的模式。

你需要知道的關鍵術語：

• 週期 (Period)： 函數完成一個完整週期所需的最小區間長度。對於 \(y = \sin x\) 和 \(y = \cos x\)，標準週期為 \(360^\circ\)。
• 振幅 (Amplitude)： 波形從平衡（中心）線到最大位移或高度的距離。對於 \(y = \sin x\) 和 \(y = \cos x\)，標準振幅為 1。
• 漸近線 (Asymptote)： 圖像不斷靠近但永遠不會接觸到的直線（這主要出現在正切函數的圖像中）。

我們將專注於在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 的定義域內繪製和解釋這些圖像。

2. 正弦函數：\(y = \sin x\)

\(y = \sin x\) 的圖像通常被稱為正弦波 (sine wave) 或正弦曲線 (sinusoid)。你可以把它想像成一道平滑且連綿不斷的海浪。

主要特徵（定義域為 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)）：

• 值域 (Range)： y 值始終保持在 -1 和 1 之間。(\(-1 \le y \le 1\))
• 振幅： 1
• 週期： \(360^\circ\)

繪圖關鍵點：

要準確繪製圖像，你只需要找到以下五個關鍵點：

1. \(x = 0^\circ\)，\(y = \sin 0^\circ = 0\)（從原點開始）
2. \(x = 90^\circ\)，\(y = \sin 90^\circ = 1\)（達到最高點）
3. \(x = 180^\circ\)，\(y = \sin 180^\circ = 0\)（穿過 x 軸）
4. \(x = 270^\circ\)，\(y = \sin 270^\circ = -1\)（達到最低點）
5. \(x = 360^\circ\)，\(y = \sin 360^\circ = 0\)（完成週期，回到 x 軸）

繪圖小貼士： 標出這五個點，並用平滑的曲線連接起來（不要用直線連線！）。

你知道嗎？ 正弦波在電機工程中被用來描述交流電 (AC)，因為電壓會隨著時間平滑地來回波動。

---

3. 餘弦函數：\(y = \cos x\)

餘弦圖像與正弦圖像關係非常密切。事實上，它們的形狀完全相同，只是發生了位移！

主要特徵（定義域為 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)）：

• 值域： \(-1 \le y \le 1\)
• 振幅： 1
• 週期： \(360^\circ\)

繪圖關鍵點：

餘弦圖像從高點開始，並遵循相同的規律：

1. \(x = 0^\circ\)，\(y = \cos 0^\circ = 1\)（從最高點開始）
2. \(x = 90^\circ\)，\(y = \cos 90^\circ = 0\)（穿過 x 軸）
3. \(x = 180^\circ\)，\(y = \cos 180^\circ = -1\)（達到最低點）
4. \(x = 270^\circ\)，\(y = \cos 270^\circ = 0\)（再次穿過 x 軸）
5. \(x = 360^\circ\)，\(y = \cos 360^\circ = 1\)（完成週期，回到最高點）

類比： 想像正弦波是一個從起點 (0,0) 出發的跑步者；餘弦波是同一個跑步者，但他已經領先了 \(90^\circ\)（也就是四分之一個週期）！

4. 正切函數：\(y = \tan x\)

正切圖像比較「特別」。它不會產生平滑的波形，而且週期更短。

主要特徵（定義域為 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)）：

• 值域： y 值是無限的（可以是從 \(-\infty\) 到 \(+\infty\) 的任何值）。
• 週期： \(180^\circ\)（圖像在標準的 \(360^\circ\) 定義域內會重複兩次）。
• 漸近線： 函數未定義的線條。它們出現在 \(90^\circ\) 和 \(270^\circ\)。

為什麼會這樣？ 請記住 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)。當 \(\cos x = 0\) 時，分式無意義，這就是為什麼我們會在 \(90^\circ\) 和 \(270^\circ\) 處得到漸近線的原因。

繪圖關鍵點：

圖像穿過原點，然後向漸近線方向無限延伸：

1. 起點： \(x = 0^\circ\)，\(y = 0\)
2. 漸近線 1： 位於 \(x = 90^\circ\) 的垂直線。
3. 中點： \(x = 180^\circ\)，\(y = 0\)
4. 漸近線 2： 位於 \(x = 270^\circ\) 的垂直線。
5. 終點： \(x = 360^\circ\)，\(y = 0\)

記住： 務必將漸近線畫成虛線，以表示它們是曲線永遠無法跨越的邊界。

---

5. 解三角方程 (E7.4.2)

解三角方程意味著要在給定範圍（\(0^\circ \le x \le 360^\circ\)）內找出滿足方程（如 \(\sin x = 0.5\)）的特定角度 \(x\)。

如果起初覺得棘手，別擔心！ 你的計算機通常只會給你一個答案（銳角解）。由於圖像會重複，我們需要一套系統來找到所有正確的答案。

關鍵工具：CAST 圖（或稱「All Students Take Calculus」記憶法）

CAST 圖告訴我們每個比率（\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)）在 \(360^\circ\) 圓形的哪些象限（區域）是正數。

• 第一象限 (0 到 \(90^\circ\))： All，所有比率皆為正。解就是參考角 (\(\theta\)) 本身。
• 第二象限 (90 到 \(180^\circ\))： Sine，正弦為正。解為 \(180^\circ - \theta\)。
• 第三象限 (180 到 \(270^\circ\))： Tangent，正切為正。解為 \(180^\circ + \theta\)。
• 第四象限 (270 到 \(360^\circ\))： Cosine，餘弦為正。解為 \(360^\circ - \theta\)。

記憶口訣： 從第四象限開始，逆時針方向：
Cosine, All, Sine, Tangent (CAST)

解 \(a \sin x = k\) 或 \(a \cos x = k\) 的步驟指南

例題：求 \(2 \cos x + 1 = 0\) 在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 範圍內的解。

步驟 1：分離三角函數。
$$\(2 \cos x = -1\)$$ $$\(\cos x = -0.5\)$$

步驟 2：求參考角 (\(\theta\))。
暫時忽略負號！ 使用正數值來求銳角 (\(\theta\))。
$$\(\theta = \cos^{-1}(0.5)\)$$ $$\(\theta = 60^\circ\)$$

步驟 3：確定相關象限。
我們在解 \(\cos x = -0.5\)。由於結果是負數，我們需要找出餘弦值為負的象限。

• 餘弦在 A (Q1) 和 C (Q4) 為正。
• 因此，餘弦在 S (Q2) 和 T (Q3) 為負。

步驟 4：計算最終解。
使用參考角 (\(\theta = 60^\circ\)) 和象限規則：

• 解 1 (Q2)： \(x = 180^\circ - \theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)
• 解 2 (Q3)： \(x = 180^\circ + \theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\)

最終答案： \(x = 120^\circ\) 或 \(240^\circ\)。

避免常見錯誤！

在解類似 \(\sin x = -0.7\) 的方程時，千萬不要先在計算機上按 \(\sin^{-1}(-0.7)\)！這會給出一個負角度，這超出了我們的定義域，而且運算起來更麻煩。
請務必先用正數值求出參考角，然後再套用 CAST 規則。

---

6. 延伸概念：精確值 (E7.3)

對於 Extended 學生，你必須在不使用計算機的情況下知道某些特定角度（\(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）的精確值。這在 Paper 2（不可使用計算機）中經常被考到。

需要背誦的精確值：

角度 (x)	\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\tan x\)
\(0^\circ\)	0	1	0
\(30^\circ\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 或 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	1
\(60^\circ\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\)	1	0	無定義（漸近線）

記憶小技巧： 看看正弦的分子：\(\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)。現在將它們全部除以 2：\(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)。簡化後，就是正弦值！餘弦值則剛好順序相反。