Vector geometry

歡迎來到向量幾何的世界！

你好！向量看起來可能有點複雜，又是箭頭又是奇怪的括號，但別擔心。這一章的主題是如何精確地描述「運動」。你可以把向量想像成藏寶圖上的路標：它們準確地告訴你該走多遠以及往哪個方向走。

在 IGCSE 數學 (0580) 延伸課程中，我們使用二維（平面空間）向量來描述平移、路徑和位置，這在物理和工程學中非常實用。讓我們開始拆解它吧！

第一節：什麼是向量？

1.1 純量與向量：關鍵差異

在數學和物理中，數量會根據是否包含「方向」來分類。

• 純量 (Scalar Quantity)： 只有大小 (magnitude)，沒有方向的量。
  例子：速率 (50 km/h)、質量 (10 kg)、時間 (2 小時)。
• 向量 (Vector Quantity)： 既有大小又有方向的量。
  例子：速度 (50 km/h 向北)、力 (10 N 向下)、位移 (2 km 向東)。

比喻： 如果你說你跑了 5 km，這是一個純量（距離）。如果你說你跑了 5 km 朝向學校，這就是一個向量（位移）。

1.2 向量的標記法

我們使用特定的符號來標記向量：

1. 粗體字母： 在教科書或印刷品中，向量通常用粗體小寫字母表示，例如 a 或 b。
2. 箭頭標記： 手寫時，我們會在字母上方畫一條線和一個箭頭，例如 \(\vec{a}\)。
3. 點標記： 如果向量從 A 點指向 B 點，我們寫作 \(\vec{AB}\)。

第二節：列向量 (Column Vectors)

在 IGCSE 數學中，我們通常使用一種實用的格式——列向量，特別是在描述平移時。

2.1 定義列向量

列向量的寫法如下： $$ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$ 其中：

• \(x\) 代表水平位移（向右為正，向左為負）。
• \(y\) 代表垂直位移（向上為正，向下為負）。

例子： 向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\) 意味著向右移動 3 單位，向下移動 5 單位。
例子： 如果一個平移將一點向左移動 2 單位，向上移動 1 單位，該向量即為 \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)。

2.2 求兩點間的向量

如果你有兩個點的坐標 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，向量 \(\vec{AB}\) 的計算方法是用終點坐標減去起點坐標（終點減起點）。

$$ \vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix} $$

步驟範例：

若 \(P\) 為 \((1, 8)\) 且 \(Q\) 為 \((6, 5)\)，求向量 \(\vec{PQ}\)。

1. 確認坐標：\(P(1, 8)\) 和 \(Q(6, 5)\)。
2. 計算水平變化 (\(x\))：\(6 - 1 = 5\)。
3. 計算垂直變化 (\(y\))：\(5 - 8 = -3\)。
4. 寫出列向量： $$ \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} $$

常見錯誤警示！ 請記住：列向量描述的是運動（位移），而不是位置。符號 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) 是一個向量；而 \((3, 5)\) 是一個坐標點。它們很像，但代表的東西完全不同！

第三節：向量運算

我們可以進行向量的加法、減法，以及向量與純量（一個數）的乘法。

3.1 向量加法（行程相加）

如果你先進行一段旅程（\(\mathbf{a}\)），再進行另一段旅程（\(\mathbf{b}\)），最終的旅程結果就是 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)。這被稱為三角形法則。
如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\)： $$ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} $$

範例：向量加法

若 \(\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\)：
$$ \mathbf{p} + \mathbf{q} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 5 + (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

3.2 向量減法（反轉行程）

減去一個向量等於加上它的負向量。
負向量 \(-\mathbf{a}\) 只是將 \(\mathbf{a}\) 的方向完全反轉。

$$ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix} $$

範例：向量減法

使用上面的 \(\mathbf{p}\) 和 \(\mathbf{q}\)： $$ \mathbf{p} - \mathbf{q} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} $$

3.3 純量乘法（縮放）

將向量乘以純量（我們稱之為 \(k\)）會改變其長度，但不會改變方向（除非 \(k\) 是負數）。你需要將 \(x\) 和 \(y\) 分量同時乘以 \(k\)。

$$ k\mathbf{a} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} $$

範例：縮放

若 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\)，求 \(3\mathbf{v}\) 和 \(-2\mathbf{v}\)。

$$ 3\mathbf{v} = 3 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 4 \\ 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix} $$ $$ -2\mathbf{v} = -2 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \times 4 \\ -2 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \end{pmatrix} $$ 注意 \(-2\mathbf{v}\) 是如何指向相反方向（因為負號），且長度變為兩倍（因為大小乘以了 2）。

3.4 平行向量

如果兩個向量其中一個是另一個的純量倍數，則這兩個向量平行。
若 \(\mathbf{a} = k\mathbf{b}\)，則 \(\mathbf{a}\) 與 \(\mathbf{b}\) 平行。

例子： \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\) 和 \(\mathbf{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)。因為 \(\mathbf{r} = 3\mathbf{s}\)，所以 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{s}\) 是平行的。

第四節：向量的大小

向量的大小 (magnitude) 就是它的長度。我們利用畢氏定理 (Pythagoras' theorem) 來計算，因為 \(x\) 和 \(y\) 的位移正好構成了直角三角形的兩條直角邊，而向量本身就是斜邊。

4.1 大小的標記與公式 (E8.3)

向量 \(\mathbf{a}\) 的大小用模數符號表示：\(|\mathbf{a}|\) 或 \(|\vec{AB}|\)。

對於向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)，其大小為： $$ |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

步驟範例：計算大小

求向量 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}\) 的大小。

1. 將分量平方：\(x^2 = 5^2 = 25\)，\(y^2 = (-12)^2 = 144\)。
2. 加總：\(25 + 144 = 169\)。
3. 開根號： $$ |\mathbf{v}| = \sqrt{169} = 13 $$ 該向量的長度為 13 單位。

4.2 使用大小計算兩點距離 (E4.3, 配合 E8.3)

計算兩點 \(A\) 和 \(B\) 之間的距離，與計算向量 \(\vec{AB}\) 的大小完全相同。

若 \(A=(x_1, y_1)\) 且 \(B=(x_2, y_2)\)，距離 \(d\) 為： $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ 這其實就是應用在 \(\vec{AB}\) 分量上的大小公式！如果起初看起來有點困惑，別擔心——它不過是畢氏定理的另一種偽裝！

第五節：向量在幾何中的應用

向量是解決幾何問題的神兵利器，特別是在涉及平行線、中點和直線的問題時。

5.1 尋找路徑（向量路線）

在複雜的圖形中（如平行四邊形或三角形），你經常需要找到連接兩點的向量路徑，而這條路徑在圖中並未直接畫出。你可以通過組合已知的向量來做到這一點。

規則： 要從 P 到 Q，找出能從 P 到 Q 的一系列向量序列即可。

如果你想在平行四邊形 \(ABCD\) 中找到 \(\vec{AC}\)： $$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} $$

範例：使用負向量

若 \(\vec{OA} = \mathbf{a}\) 且 \(\vec{OB} = \mathbf{b}\)，求向量 \(\vec{AB}\)。

1. 要從 A 到 B，我們不能直接走（除非題目有給定）。
2. 我們必須沿著 \(\vec{OA}\) 的反方向走（即 \(\vec{AO}\)），然後沿著 \(\vec{OB}\) 前進。
3. 向量 \(\vec{AO}\) 就是 \(-\mathbf{a}\)。
4. 因此： $$ \vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} \quad \text{或} \quad \mathbf{b} - \mathbf{a} $$

5.2 向量中的中點與比例

向量幫助我們描述線段上的點。

• 如果 \(M\) 是線段 \(AB\) 的中點： $$ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB} $$
• 如果點 \(P\) 將 \(AB\) 分割成 1:3 的比例，那麼 \(P\) 位於 \(AB\) 全長的 1/4 處： $$ \vec{AP} = \frac{1}{4} \vec{AB} $$

範例：結合向量與比例

在三角形 \(OAB\) 中，\(\vec{OA} = \mathbf{a}\)，\(\vec{OB} = \mathbf{b}\)。點 \(M\) 是 \(AB\) 的中點。試以 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 表示 \(\vec{OM}\)。

1. 首先，找到代表整條邊 \(\vec{AB}\) 的向量： $$ \vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} $$ 2. 因為 \(M\) 是中點，\(\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AB}\)： $$ \vec{AM} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) $$ 3. 現在，通過從 O 到 A，再從 A 到 M 來找到 \(\vec{OM}\) 的路徑： $$ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \mathbf{a} + \frac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{a}) $$ 4. 化簡算式： $$ \vec{OM} = \mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{a} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} $$

5.3 共線檢測（點是否在同一直線上）

如果三點 A、B 和 C 之間的向量是平行的且共用一個點，則這三點是共線的 (collinear)（位於同一條直線上）。

若 \(\vec{AB} = k \cdot \vec{BC}\)，且它們共用點 B，則 A、B 和 C 共線。