Motion

🚗 第 1.2 章：運動——準備好出發了嗎！

各位未來的物理學家好！本章將帶大家學習如何描述物體的運動。無論你是觀看賽車、接球，還是計劃一趟旅程，理解運動都是物理學的基礎。別擔心，即使初看圖表覺得很棘手，我們也會透過清晰的範例一步步為大家拆解！

1. 描述運動：速率與速度 (Core & Supplement)

當我們談論運動時，需要準確的方法來測量它。首先介紹的概念是「速率」與「速度」。

關鍵概念 1：速率 (Speed)

速率 (Speed) 告訴我們物體移動得有多快。它被定義為單位時間內移動的距離。

• 單位： 米每秒 (\(m/s\)) 或 公里每小時 (\(km/h\))。
• 公式：
  $$\text{速率} = \frac{\text{移動距離}}{\text{所用時間}}$$ $$v = \frac{S}{t}$$

範例：如果一位短跑選手在 10 秒 (\(t\)) 內跑了 100 米 (\(S\))，他的速率就是 \(100 \text{ m} / 10 \text{ s} = 10\text{ m/s}\)。

計算平均速率 (Average Speed)

當物體起步、停止，或是在過程中加速、減速，它的速率是會變動的。平均速率能讓我們對整個旅程有一個整體的概念。

• 定義： 總移動距離除以總所用時間。
• 公式：
  $$\text{平均速率} = \frac{\text{總移動距離}}{\text{總所用時間}}$$

關鍵概念 2：向量差異（速率 vs. 速度）

這是一個非常重要的區別，與「物理量」(1.1) 部分息息相關：

• 速率 (Speed) 是標量 (Scalar)：它只有大小 (Magnitude)。
  （例如：那輛車正以 50 km/h 的速率行駛。）
• 速度 (Velocity) 是向量 (Vector)：它同時具有大小和方向。
  （例如：那輛車正以 50 km/h 向東行駛。）

速度的定義： 速度是給定方向上的速率。

2. 加速度與減速度 (Supplement)

當物體的速度發生改變時（無論是速率還是方向），它就在進行「加速度」運動。

加速度的定義

加速度 (Acceleration) 定義為單位時間內速度的變化量。

• 單位： 米每秒平方 (\(m/s^2\))。
• 公式：
  $$\text{加速度} = \frac{\text{速度變化量}}{\text{所用時間}}$$ $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

註：希臘字母 Delta (\(\Delta\)) 代表「變化」。所以 \(\Delta v\) 意味著末速度減去初速度：\(v - u\)。

理解減速度 (負加速度)

當物體減慢速度時，其速度在下降，這稱為減速度 (Deceleration)。

在物理計算中，減速度通常視為負加速度。如果一輛車從 20 m/s 減速到 10 m/s，速度變化量為負，因此會得到一個負的加速度值。

常見錯誤： 減速度不代表向反方向加速；它單純意味著減慢速度（即速度的負變化）。

3. 視覺化運動：圖表 (Core & Supplement)

圖表是我們分析運動最常用的工具，主要聚焦於兩類：距離-時間圖 (Distance-Time) 和 速率-時間圖 (Speed-Time)。

3.1 距離-時間圖 (D-T 圖)

這些圖表將移動的總距離（縱軸，y軸）與經過的時間（橫軸，x軸）畫在一起。

判讀 D-T 圖的形狀（定性分析）

• 水平線： 距離不隨時間變化。物體處於靜止狀態 (\(v=0\))。
• 向上傾斜的直線： 距離均勻變化。物體正以恆定速率移動。
• 向上彎曲的曲線（越來越陡）： 速率增加。物體在加速。
• 向上彎曲的曲線（越來越平緩）： 速率下降。物體在減速。

從 D-T 圖計算速率

對於 D-T 圖中的直線段，速率可以透過求該直線的斜率 (Gradient) 來計算。

$$ \text{速率} = \text{斜率} = \frac{\text{距離變化量}}{\text{時間變化量}} $$

如果剛開始覺得很難也不用擔心！只要記得斜率就是「縱軸增量除以橫軸增量」。在直線中選出兩個清楚的點，測量距離的差值（縱軸增量）和時間的差值（橫軸增量），然後相除即可。

3.2 速率-時間圖 (S-T 圖)

這些圖表將物體的速率（或速度，縱軸）與經過的時間（橫軸）畫在一起。

判讀 S-T 圖的形狀（定性分析）

• 水平線： 速率恆定。物體以恆定速率移動 (\(a=0\))。
• 向上傾斜的直線： 速率均勻增加。物體以恆定加速度移動。（這對 Supplement 很重要：*恆定加速度*）。
• 向下傾斜的直線： 速率均勻下降。物體在減速（恆定的負加速度）。
• 曲線 (Supplement)： 加速度在改變（即變加速度）。

從 S-T 圖計算加速度 (Supplement)

對於 S-T 圖中的直線段，加速度可以透過求該直線的斜率來計算。

$$ \text{加速度} = \text{斜率} = \frac{\text{速率變化量}}{\text{時間變化量}} $$

從 S-T 圖計算距離 (Core & Supplement)

物體行駛的總距離，可以透過計算速率-時間圖下的面積得出。

如果圖表段落是直線（恆定速率或恆定加速度），面積通常是簡單圖形，例如矩形（恆定速率）或梯形/三角形（恆定加速度）。

記憶小撇步：

• D-T 圖：斜率等於 Speed (速率)。
• S-T 圖：斜率等於 Acceleration (加速度)；面積等於 Distance (距離)。(簡稱 SAD!)

4. 落體的物理學：重力與阻力 (Core & Supplement)

4.1 自由落體加速度 (\(g\)) (Core)

當物體僅受重力影響而下落（忽略空氣阻力）時，它進行的是自由落體 (Free fall)。

• 數值： 自由落體加速度，符號為 \(g\)，在地球表面附近幾乎是恆定的。
• 大小： \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\)。

這意味著物體每自由下落一秒，速度就會增加 9.8 m/s。

4.2 帶有阻力的下落與終端速度 (Supplement)

在現實世界中，物體在空氣（氣體）或液體中下落時，會感受到一種稱為阻力 (Drag)（或空氣阻力，Air resistance）的摩擦力。

以下是跳傘運動員（或任何在阻力下落的物體）的步驟說明：

1. 運動開始： 物體迅速加速，因為此時唯一的力是向下的重力 (Weight)。阻力（空氣阻力）為零。
2. 速率增加，阻力增加： 當物體速度加快，向上的空氣阻力也會隨之增加。合力 (Resultant force)（重力 - 阻力）減小，因此加速度減小（牛頓第二定律：\(F=ma\)）。
3. 到達終端速度 (Terminal velocity)： 最終，空氣阻力會與物體的重量完全相等。
   • 合力為零。
   • 由於 \(F=0\)，加速度為零。
   • 物體會以最大恆定速度繼續下落，此速度稱為終端速度。

對於跳傘者來說，當降落傘打開時，表面積大幅增加，導致阻力急劇上升。這會引起快速減速，直到達到一個新的、更低的終端速度，從而實現安全著陸。