Information representation

學習筆記：資訊表示法 (AS Level 9618)

各位未來的電腦科學家，大家好！歡迎來到電腦運作原理的基礎殿堂。本章節資訊表示法 (Information Representation) 至關重要，因為你所見到的一切——文字、圖像、聲音、程式——在電腦能處理之前，都必須先轉換為二進制數據 (Binary data)（即 0 與 1 的序列）。

別擔心，如果數字不是你的強項也沒關係。我們將會把複雜的轉換過程與概念拆解成簡單易懂的步驟，並輔以大量的實例！讓我們一起深入了解電腦的語言吧。

1.1 數據表示法

二進制數量級：Kibi 與 Kilo

在電腦科學中，我們經常處理大量的數據，因此會使用 Kilobyte、Megabyte 和 Gigabyte 等前綴詞。然而，這些前綴詞有兩套截然不同的標準：十進制 (Decimal/SI) 與 二進制 (Binary/IEC)。

十進制前綴 (Kilo, Mega, Giga, Tera)

• 基於 10 的冪次方。
• Kilo (k): \(10^3 = 1000\)
• Mega (M): \(10^6 = 1,000,000\)
• Giga (G): \(10^9 = 1,000,000,000\)
• Tera (T): \(10^{12} = 1,000,000,000,000\)
• 例子：1 公里 (Kilometre) 等於 1000 米。

二進制前綴 (Kibi, Mebi, Gibi, Tebi)

• 電腦偏好使用 2 的冪次方（因為它們使用二進制）。這些前綴用於描述電腦記憶體與儲存容量，儘管業界常誤用 SI 前綴。
• Kibi (Ki): \(2^{10} = 1024\) (Kibibyte)
• Mebi (Mi): \(2^{20} = 1,048,576\) (Mebibyte)
• Gibi (Gi): \(2^{30}\) (Gibibyte)
• Tebi (Ti): \(2^{40}\) (Tebibyte)

關鍵差異：當你在市場行銷中看到 'kilo' 或 'mega' 時（如硬碟容量），通常指的是十進制系統（10 的冪次方）。但在程式設計中計算記憶體位址或檔案實際大小時，二進制系統（2 的冪次方，即 1024）才是正確的標準。

數制與轉換

電腦依賴不同的進位制。你必須具備在這些進位制之間轉換整數的能力。

十進制 (Denary, Base 10)

我們日常生活使用的數字系統，包含 10 個數字 (0–9)。

二進制 (Binary, Base 2)

電腦的原生語言，僅使用兩個數字 (0 與 1)。每一個數字稱為一個位元 (bit)。

十六進制 (Hexadecimal, Base 16)

使用 16 個字符 (0–9 及 A–F)。由於 4 個 bit 可以精確轉換為 1 個十六進制數字，它常被用作二進制的簡寫，讓人類更容易閱讀和除錯長串的二進制代碼。

步驟說明：十進制轉二進制（及十六進制）

將十進制數字 156 轉換為 8-bit 二進制，再轉換為十六進制。

步驟 1：設置權值（2 的冪次方）：
\(128 \quad 64 \quad 32 \quad 16 \quad 8 \quad 4 \quad 2 \quad 1\)

步驟 2：找出能放入 156 的最大權值：
\(156 - 128 = 28\)。所以，128 位元為 ON (1)。

步驟 3：繼續處理餘數 (28)：
64 (太大，為 0)。32 (太大，為 0)。16 (可放入：\(28 - 16 = 12\))。所以，16 位元為 ON (1)。

步驟 4：繼續處理餘數 (12)：
8 (可放入：\(12 - 8 = 4\))。所以，8 位元為 ON (1)。
4 (可放入：\(4 - 4 = 0\))。所以，4 位元為 ON (1)。
2 (0)。1 (0)。

結果 (二進制)： \(1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0\)

步驟 5：將二進制轉為十六進制：
將 8 個位元分為兩個半字節 (nibble，各 4 位元)：
第一組：1001 (權值：8+1 = 9)
第二組：1100 (權值：8+4 = 12，十六進制對應為 C)

結果 (十六進制)： 9C

小知識：十六進制通常會在數字前加上井號 (#) 或符號 (&)，例如 #9C 或 &9C，在程式設計中也常寫為 0x9C。

二進制編碼十進制 (BCD)

BCD 是另一種使用二進制來表示十進制數字的方法，主要用於顯示器及簡單的算術電路。在 BCD 中，每個十進制位數分別由一個 4-bit 的二進制代碼表示。

例子：十進制 156 的 BCD 表示：
1 變成 0001
5 變成 0101
6 變成 0110

結果 (BCD)： 0001 0101 0110 (總共 12 位元)。

BCD 的空間效率較低（156 在純二進制中僅需 8 位元），但非常適合數位時鐘或計算機等直接顯示數字的應用。

表示負整數：二補數 (Two's Complement)

電腦如何儲存負號？它使用二補數系統。此系統能讓我們一致地表示正數與負數，並使二進制減法變得簡單（實際上變成了加法！）。

最左邊的位元（即最高有效位元，MSB）被用作符號位元 (Sign Bit)：

• 若 MSB 為 0，數字為正數。
• 若 MSB 為 1，數字為負數。

步驟說明：正十進制轉負二補數

將 -45 轉換為 8-bit 二補數。

1. 找出正數的二進制：
   +45 的 8-bit 二進制為 0010 1101。
2. 進行一補數 (One's Complement)（反轉位元）：
   將 0 變為 1，1 變為 0。
   0010 1101 變為 1101 0010。
3. 進行二補數運算（加 1）：
   \(1101\ 0010 + 1 = 1101\ 0011\)

結果： -45 的 8-bit 二補數為 1101 0011。注意 MSB 為 1，代表負數。

二進制加法與減法

二進制加法遵循簡單規則：

• \(0 + 0 = 0\) (進位 0)
• \(0 + 1 = 1\) (進位 0)
• \(1 + 1 = 0\) (進位 1)
• \(1 + 1 + 1 = 1\) (進位 1)

二進制減法：電腦透過二補數執行減法。要計算 A - B，電腦只需計算 A + (-B)，其中 -B 是以二補數形式表示。

了解溢位 (Overflow)

當算術運算結果過大（或過小），導致無法儲存在分配的位元數（例如 8 位元）內時，就會發生溢位 (Overflow)。

例子：如果使用 8 位元二補數，最大正值為 +127 (0111 1111)。如果將 127 加 1，結果 (128) 會導致 MSB 變為 1 (1000 0000)。由於 MSB 現在是 1，電腦會將其解釋為負數（在二補數中為 -128），從而引發溢位錯誤。

字元集 (ASCII 與 Unicode)

文字字元 (A, b, !, 5) 也必須儲存為二進制。字元集 (Character set) 是一種標準化映射系統，為每個字元分配唯一的二進制代碼。

• ASCII：原始標準，使用 7 位元，提供 128 個字元 (0 至 127)，涵蓋了英文大小寫字母、數字及基本符號。
• 擴展 ASCII (Extended ASCII)：使用 8 位元，提供 256 個字元 (0 至 255)，包含了更多地區性字元與圖形符號。
• Unicode：現代標準，使用 16、24 或 32 位元，容納數百萬個唯一字元。這對於全球化文字顯示至關重要，涵蓋所有語言、表情符號及數學符號。

1.1 重點總結：數據即原始的二進制。我們使用十六進制來提高人類工作效率，使用二補數處理帶正負號的整數，並使用特定的字元集（如 Unicode）將原始位元映射為具意義的符號。

1.2 多媒體表示法

多媒體數據（圖片與聲音）相當複雜，必須從真實世界的類比 (Analogue) 形式轉換為數位 (Digital)（離散的二進制）數據。

圖形：點陣圖 (Bitmapped Images)

點陣圖 (Bitmap)（如 JPEG 或 PNG）是由個別彩色點組成的網格，這些點稱為像素 (pixels)。

編碼點陣圖

1. 像素數據：每個像素被分配一個二進制代碼，代表其顏色。
2. 色彩深度 (Colour Depth)：用來表示單個像素顏色的位元數。色彩深度越高，可呈現的顏色就越多。
   色彩數量 = \(2^{\text{色彩深度}}\)
   (例如：8 位元 = 256 色；24 位元 = 1670 萬色。)
3. 圖像解析度：圖像中的像素數量 (寬 x 高)。
4. 檔案標頭 (Header)：包含有關圖像結構的重要資訊（如檔案類型、解析度、色彩深度）。

計算點陣圖檔案大小

檔案大小取決於總像素數與每個像素使用的色彩深度。

公式 (單位為 bit)：
$$ \text{檔案大小} = \text{圖像寬度 (像素)} \times \text{圖像高度 (像素)} \times \text{色彩深度 (bits)} $$

若要換算為 bytes，請將結果除以 8。

變更元素之影響

• 提高解析度：儲存更多像素，導致畫質變好，但檔案大小按比例增加。
• 提高色彩深度：每個像素使用更多位元，呈現更廣的色彩範圍（品質更高），但檔案大小按比例增加。

圖形：向量圖 (Vector Graphics)

與點陣圖不同，向量圖（如 SVG）不儲存像素數據，而是儲存關於如何繪製圖像的數學指令（繪圖列表）。

• 繪圖物件：基礎幾何形狀（如圓形、線條、矩形）。
• 屬性：物件的特徵（如線條粗細、顏色、位置、填色樣式）。

justification：點陣圖 vs 向量圖

特性	點陣圖 (如相片)	向量圖 (如標誌)
縮放	畫質會下降（出現像素化）。	完美縮放（重新計算數學值）。
檔案大小	取決於解析度和色彩深度，複雜照片檔案大。	通常較小，取決於物件的複雜度。
應用場景	相片、含細微陰影的複雜圖像。	標誌、字體、技術圖紙、簡單圖形。

選用技巧：如果圖像需要頻繁縮放而不損失品質（如將公司標誌放在廣告看板與信頭上），則選用向量圖。

聲音表示法

聲音本質上是類比波。為了數位化儲存，我們必須透過取樣 (Sampling) 過程進行轉換。

取樣過程

1. 類比數位轉換器 (ADC)：將連續的類比聲波轉換為數位形式。
2. 取樣：定時測量聲波的振幅（音量）。
3. 取樣率 (Sampling Rate/Frequency)：每秒取樣的次數（以 Hertz, Hz 為單位）。較高的頻率意味著測量更頻繁，能更準確地捕捉聲波。
4. 取樣解析度 (Sampling Resolution/Bit Depth)：分配給每個樣本儲存振幅值的位元數。解析度越高，可表示的音量細節就越豐富，提升準確度。

類比：想像錄音就像製作定格動畫。取樣率是你每秒拍攝的照片張數，而取樣解析度則是每張照片的細節（色彩深度）。

對檔案大小與準確度的影響

提高取樣率或取樣解析度會大幅提升音質（準確度），但儲存聲音所需的總位元數也會增加，導致檔案變大。

1.3 壓縮 (Compression)

數據壓縮至關重要，因為現代檔案（特別是多媒體）極為龐大。壓縮可縮小檔案體積，從而節省儲存空間並縮短網路傳輸時間。

失真壓縮 vs 無失真壓縮

主要有兩種類型的壓縮，理解其差異對於選擇合適的壓縮方式非常重要。

1. 無失真壓縮 (Lossless Compression)

• 定義：原始數據可以從壓縮後的檔案完美重現，資訊不會永久丟失。
• 用途：用於每個位元都至關重要的檔案，如文字文件、可執行程式、醫療影像。
• 例子：ZIP, PNG, GIF, 遊程編碼 (RLE)。
• 缺點：壓縮率通常較低（檔案仍然相對較大）。

2. 失真壓縮 (Lossy Compression)

• 定義：壓縮過程中會永久捨棄部分不可逆數據。這些數據通常是人眼或人耳較難察覺的部分。
• 用途：用於對品質細微下降可接受，但需大幅縮小檔案的多媒體檔案。
• 例子：JPEG (圖片), MP3 (音訊), MPEG (視訊)。
• 缺點：永久性的畫質或音質退化。

justification 例子：若你要發送一份科學數據檔案，必須使用無失真壓縮以維持資料完整性。若你是在社群媒體上傳相片，失真壓縮 (JPEG) 是可以接受的，因為檔案大小比細微細節更重要。

壓縮方法：遊程編碼 (Run-Length Encoding, RLE)

RLE 是一種簡單且常見的無失真壓縮形式，對於含有長串重複數值（即數據冗餘）的資料特別有效。它的原理是記錄數值及其連續出現的次數（即「遊程」）。

RLE 如何運作（文字例子）

想像一串文字或簡單的黑白點陣圖行：
原始數據： WWWWWWWBBBWWRRRR

RLE 編碼：我們將其編碼為 (數量, 數值)：
\((7, W), (3, B), (2, W), (4, R)\)

應用於不同檔案類型：

• 文字檔案：若含有長串相同字元（如大量空格或 Tab），效果顯著。
• 點陣圖：對於大面積純色的簡單圖像效果很好。
• 向量圖：較不相關，因為向量圖是由數學指令定義的，而非序列像素數據。
• 聲音檔案：若存在靜音期（長串零振幅樣本），可使用此方法。