複數 (9231 Further Pure Mathematics 2, 單元 2.5)

你好！歡迎來到複數的世界。如果實數讓你能夠測量線段上的距離，那麼複數就能讓你跨越整個平面進行移動與測量。本章節將基於你既有的知識（來自 A Level Mathematics Pure 3）進行強化，重點在於探討這些數字在乘法、除法及冪運算時的表現。掌握此單元對於處理進階三角學及數列求和至關重要，是進階數學 (Further Maths) 的必備技能。

1. 快速複習：笛卡兒坐標與極坐標形式

複數 \(z\) 可以用兩種主要形式表示。由於本章的核心（棣美弗定理）依賴於極坐標形式，讓我們快速複習一下基礎知識。

1.1 複數的形式
  • 笛卡兒形式 (Cartesian Form)： \(z = x + iy\)
    （其中 \(x\) 為實部，記作 \(\text{Re}(z)\)，\(y\) 為虛部，記作 \(\text{Im}(z)\)）。
  • 極坐標形式 (Polar Form)： \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) 或 \(z = r \text{cis} \theta\)
    （其中 \(r\) 為模 (modulus) 或大小，\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)，而 \(\theta\) 為輻角 (argument) 或角度，\(\tan \theta = y/x\)）。

類比：將複數平面想像成地圖。笛卡兒坐標 \((x, y)\) 告訴你向東和向北走多少步；極坐標 \((r, \theta)\) 則告訴你面向某個方向 (\(\theta\)) 並行走一定的距離 (\(r\))。

1.2 輻角約定

在進階數學中，主輻角 (Principal argument)，即 Arg(\(z\))，通常限制在區間 \(-\pi < \theta \le \pi\) 內（有時也可能是 \(0 \le \theta < 2\pi\)，務必檢查題目情境，但標準做法為 \(-\pi\) 到 \(\pi\)）。

重點筆記： 在極坐標形式下進行乘法和冪運算會容易得多，因為我們只需要處理模 (\(r\)) 和輻角 (\(\theta\)) 即可。

2. 棣美弗定理 (De Moivre's Theorem, DMT)

棣美弗定理是複數中的強大工具，能讓我們極其快速地計算乘冪與根數。

2.1 棣美弗定理的敘述

對於任何複數 \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\) 及任何有理數 \(n\)：

$$z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

對於單位圓上的複數（\(r=1\)），公式簡化為：

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$

課程大綱要求你理解並應用 DMT 於正整數、負整數及有理數指數 (\(n \in \mathbb{Q}\)) 的情況。

2.2 幾何意義（「為何如此」）

棣美弗定理在幾何上的主要影響是：乘法變成了旋轉與縮放。

  • 縮放： 模 \(r\) 被提高到 \(n\) 次方。
  • 旋轉： 輻角 \(\theta\) 乘以冪次 \(n\)。

例子：如果你將複數 \(z\) 平方，即是將其與原點的距離平方 (\(r^2\))，並將其角度加倍 (\(2\theta\))。

當你將兩個複數 \(z_1 z_2\) 相乘時：

$$r_1 \text{cis} \theta_1 \times r_2 \text{cis} \theta_2 = (r_1 r_2) \text{cis}(\theta_1 + \theta_2)$$

當你將兩個複數 \(z_1 / z_2\) 相除時：

$$\frac{r_1 \text{cis} \theta_1}{r_2 \text{cis} \theta_2} = \frac{r_1}{r_2} \text{cis}(\theta_1 - \theta_2)$$

這種幾何理解對於稍後視覺化「單位根」非常重要！

2.3 棣美弗定理的證明（正整數 \(n\)）

你必須能夠使用數學歸納法 (Mathematical Induction) 來證明正整數指數 \(n\) 的 DMT。

第一步：歸納基礎 (n = 1)

若 \(n=1\)，左式 \( = (\cos \theta + i \sin \theta)^1\)。右式 \( = \cos(1\theta) + i \sin(1\theta)\)。左式 = 右式，命題在 \(n=1\) 時成立。

第二步：歸納假設 (n = k)

假設對於某個正整數 \(k\)，結果成立：
$$(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$$

第三步：歸納步驟 (n = k + 1)

我們需要證明它在 \(n = k+1\) 時亦成立：

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} = (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^1$$

代入第二步的假設：

$$ = (\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)) \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$$

展開乘積（運用基本乘法，留意 \(i^2 = -1\)）：

$$ = \cos(k\theta)\cos \theta - \sin(k\theta)\sin \theta + i(\sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta)$$

現在，運用標準的三角函數和角公式（你應該要記得的）：

$$ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $$ $$ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$

應用這些公式得出：

$$ = \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta) $$ $$ = \cos((k+1)\theta) + i \sin((k+1)\theta) $$

由於命題在 \(n=1\) 時成立，且若對 \(n=k\) 成立則對 \(n=k+1\) 亦成立，根據數學歸納法，棣美弗定理對於所有正整數 \(n\) 均成立。

重點筆記： DMT 讓我們透過將角度乘以冪次來計算複數的乘冪。請記住歸納證明的步驟，特別是在最後一步使用三角和角公式的部分。

3. 進階三角學應用

DMT 的真正威力在於快速推導複雜的三角恆等式，這是 FP2 中的核心技能。

3.1 魔法恆等式

我們專注於單位圓上的複數，即 \(z = \cos \theta + i \sin \theta\)。使用 \(n=-1\) 時的 DMT：

$$z^{-1} = \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) = \cos \theta - i \sin \theta$$

透過將 \(z\) 與 \(z^{-1}\) 相加或相減，我們得到兩個關鍵關係：

  1. $$z + z^{-1} = 2 \cos \theta$$
  2. $$z - z^{-1} = 2i \sin \theta$$

更通用地，利用 DMT：

  1. $$z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$$
  2. $$z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$$
3.2 將倍角表達為三角比的冪（例如 \(\cos 5\theta\)）

為了將 \(\cos(n\theta)\) 或 \(\sin(n\theta)\) 以 \(\cos \theta\) 和 \(\sin \theta\) 表達，我們直接應用 DMT 並結合二項式定理。

逐步範例（通用方法）：

  1. 從 DMT 開始：$$\cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n$$
  2. 使用二項式定理展開右式 (RHS)：$$(a+b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$$
  3. 將右式的項歸類為實部和虛部（記住 \(i^2=-1, i^3=-i, i^4=1\)）。
  4. 比較實部以得出 \(\cos(n\theta)\)。
  5. 比較虛部以得出 \(\sin(n\theta)\)。

需避免的常見錯誤：當比較虛部時，千萬不要包含 \(i\)。如果右式的虛部是 \(i V\)，則 \(\sin(n\theta) = V\)。

3.3 將三角比的冪表達為倍角（線性化）

此應用對於積分與數列求和非常必要。我們的目標是將如 \(\cos^5 \theta\) 之類的表達式轉換為包含 \(\cos(k\theta)\) 的項之和。

逐步範例（通用方法）：

  1. 使用魔法恆等式：若要計算 \(\cos^n \theta\)，使用 $$(2 \cos \theta)^n = (z + z^{-1})^n$$
    若要計算 \(\sin^n \theta\)，使用 $$(2i \sin \theta)^n = (z - z^{-1})^n$$
  2. 使用二項式定理展開右式。
  3. 將各項收集為共軛對：\((z^k + z^{-k})\) 或 \((z^k - z^{-k})\)。
  4. 利用魔法恆等式進行替換（例如 \(z^k + z^{-k} = 2 \cos(k\theta)\)）。
  5. 透過除以 \(2^n\) 或 \((2i)^n\) 來孤立 \(\cos^n \theta\) 或 \(\sin^n \theta\)。

記憶小竅門：如果你在處理 Cos，你就要 Collect（收集）那些共軛項（\(z^n\) 與 \(z^{-n}\)）。

重點筆記： 二項式展開是連結 DMT 與進階三角恆等式的橋樑。記住 \(z^n \pm z^{-n}\) 的公式，並練習小心地比較實部與虛部。

4. 尋找複數的 \(n\) 次根

尋找複數 \(w\) 的 \(n\) 次根意味著解方程式 \(z^n = w\)。這需要應用有理數指數 (\(1/n\)) 的 DMT。

4.1 通用根公式

如果我們想要求 \(w = R(\cos \phi + i \sin \phi)\) 的 \(n\) 個根，我們必須先使用通用形式寫出角度，加上 \(2\pi\) 的倍數：

$$w = R(\cos (\phi + 2k\pi) + i \sin (\phi + 2k\pi))$$

應用指數為 \(1/n\) 的 DMT，根 \(z_k\) 為：

$$z_k = R^{1/n} \left[ \cos \left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) \right]$$

我們使用 \(k = 0, 1, 2, ..., n-1\) 來生成 \(n\) 個不同的根。（一旦 \(k=n\)，根便開始重複。）

4.2 單位根 (\(z^n = 1\))

這是一個非常常見的特殊情況，其中 \(w=1\)。此時，模 \(R=1\) 且輻角 \(\phi=0\)。 單位根全部位於單位圓上，並且是正 \(n\) 邊形的頂點。

對於 \(z^n = 1\)，根為：

$$z_k = \cos \left(\frac{2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1$$

你知道嗎？單位根的和總是為零（除了 trivial case \(n=1\)）。這與多邊形頂點的對稱性有關。

單位根的關鍵性質： 如果 \(\omega\) 是一個非實數的單位根（即由 \(k=1\) 生成的根），那麼所有 \(n\) 個根可以寫成 \(1, \omega, \omega^2, \omega^3, ..., \omega^{n-1}\)。

快速複習：求根

題目： 求 \(w = 8i\) 的立方根。

  1. \(w\) 的極坐標形式： \(R=8\)，\(\phi = \pi/2\)。
  2. 通用形式： \(w = 8 \text{cis} (\pi/2 + 2k\pi)\)，其中 \(n=3\)。
  3. 應用公式： \(z_k = 8^{1/3} \text{cis} \left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right)\)。
  4. 根 (k=0, 1, 2)：
    • \(k=0\): \(z_0 = 2 \text{cis}(\pi/6) = 2(\sqrt{3}/2 + i/2) = \sqrt{3} + i\)
    • \(k=1\): \(z_1 = 2 \text{cis}(5\pi/6)\)
    • \(k=2\): \(z_2 = 2 \text{cis}(9\pi/6) = 2 \text{cis}(3\pi/2) = -2i\)

重點筆記： 為了找到所有根，請務必使用通用輻角 \(\theta + 2k\pi\)。這能確保你找到所有 \(n\) 個幾何上不同的解，這些解在 Argand 圖上總是形成一個正多邊形。

5. 使用複數求和 (C + iS 法)

C + iS 法是複數的一個優雅應用，用於計算涉及正弦與餘弦的數列總和，通常這些角度呈等差數列 (AP)。

令 C 為餘弦數列的和，S 為你想要尋找的正弦數列的和。

5.1 方法步驟

我們將 C 與 S 結合為一個複數數列 C + iS。如果 C 與 S 的各項之間存在 DMT 的關係，合併後的數列通常會成為複數平面上的標準等比數列 (GP)。

操作步驟：

  1. 定義 C 與 S： 寫下目標餘弦數列 C，以及對應的正弦數列 S（將餘弦項替換為正弦項，反之亦然）。
  2. 形成 C + iS： 將它們結合。 $$C + iS = \sum_{r=1}^n (\cos(r\theta) + i \sin(r\theta))$$
  3. 轉換為複數記號： 令 \(z = \cos \theta + i \sin \theta\)。使用 DMT，\(\cos(r\theta) + i \sin(r\theta) = z^r\)。 $$C + iS = \sum_{r=1}^n z^r = z + z^2 + z^3 + ... + z^n$$
  4. 計算等比數列之和： 這是一個首項 \(a=z\)，公比 \(R=z\)，共 \(n\) 項的 GP。和為： $$S_n = \frac{a(1 - R^n)}{1 - R} = \frac{z(1 - z^n)}{1 - z}$$
  5. 轉回原形式： 代入 \(z = \cos \theta + i \sin \theta\) 及 \(z^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)\)。
  6. 化簡與有理化： 操縱表達式以分離出實部與虛部。這通常涉及將分子與分母乘以分母的共軛，或使用三角半角恆等式來對分子與分母進行因式分解。
  7. 比較實部與虛部：
    • 如果你要 C，比較最終簡化表達式的實部。
    • 如果你要 S，比較最終簡化表達式的虛部。
5.2 範例設置（避免常見錯誤）

假設你被要求計算 \(C = \sum_{r=1}^n \cos(r\theta)\)。

你定義 \(S = \sum_{r=1}^n \sin(r\theta)\)。

$$C + iS = z + z^2 + ... + z^n$$

如果數列從 \(r=0\) 開始，第一項為 \(z^0 = 1\)，所以 \(a=1\)。如果數列從 \(r=1\) 開始，第一項為 \(z\)，所以 \(a=z\)。

最棘手的部分通常是第六步（化簡）。請記住，涉及 \(1 - \cos \theta - i \sin \theta\) 的表達式通常可以使用半角恆等式與因式分解來簡化。

重點筆記： C + iS 法其實就是對一個複數 GP 求和。正確定義 C 與 S，識別首項與公比，最後小心地分離實部與虛部即可。