連續隨機變量：學習筆記 (9231 Further Probability & Statistics)

歡迎來到連續隨機變量（Continuous Random Variables, CRV）的奇妙世界！在之前的統計學課程（9709）中，你們主要集中研究離散變量（例如計算某個事件發生的次數）。現在，我們要深入探討可以在指定範圍內取「任何」值的變量——例如測量時間、身高或溫度等數據。

這一章至關重要，因為它超越了標準分佈（如常態分佈），並教你如何利用微積分（積分和微分）來處理自定義的概率模型。如果起初覺得有點困難也別擔心；我們會將微積分拆解成簡單清晰的步驟！

1. 理解連續隨機變量 (CRVs)

連續隨機變量 (CRV)，通常記作 \(X\)，是指可以在指定區間內取任何值的變量。
例子：電腦啟動所需的精確時間（以秒為單位）。它可以是 15.00 秒、15.01 秒，或是 15.0000001 秒。

為什麼 CRV 與離散變量不同？
  • 對於離散變量，我們可以求出 \(P(X = x)\)。
  • 對於 CRV，落在某個確切數值的概率始終為零：\(P(X = a) = 0\)。
    類比：想像一條 1 米長的連續繩子。隨機挑選一點剛好落在 0.5000000... 這一點的機會是多少？是零，因為它周圍有無窮多個點。
  • 因此，我們只會討論某個區間內的概率，例如 \(P(a < X < b)\)。

溫馨提示： 由於 \(P(X=a)=0\)，是否包含等號並不會改變概率的結果：
\(P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b)\)

2. 概率密度函數 (PDF)

由於我們無法為單一點賦予概率，因此使用一種稱為概率密度函數 (PDF) 的函數，記作 \(f(x)\)。該函數描述了變量落在某個範圍內的「可能性」。

PDF, \(f(x)\) 的性質

一個函數要成為有效的 PDF，必須滿足兩個基本規則：

  1. 非負性： 密度不可能為負。
    $$f(x) \geq 0 \text{ 對於所有 } x \text{ 的值}$$
  2. 總面積為一： 所有可能結果的總概率必須等於 1（或 100%）。這是透過在整個定義域上積分來計算的。
    $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$

分段函數注意事項： 通常，CRV 是使用分段函數定義的，這意味著 PDF 僅在特定範圍 \([a, b]\) 內存在，而在該範圍之外 \(f(x) = 0\)。
在此情況下，總概率規則簡化為：
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = 1$$

逐步教學：求概率 \(P(a < X < b)\)

\(X\) 落在 \(a\) 和 \(b\) 之間的概率就是 PDF 曲線在這些點之間的面積。

  1. 確定範圍： 找出所需的區間 \([a, b]\)。
  2. 積分： 計算 PDF 在該範圍內的定積分。
    $$P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

重點總結： PDF 利用積分將概率定義為曲線下的面積。切記總面積必須剛好等於 1。

3. 累積分布函數 (CDF)

累積分布函數 (CDF)，記作 \(F(x)\)，給出了隨機變量 \(X\) 小於或等於某個值 \(x\) 的概率。

$$\text{定義：} F(x) = P(X \leq x)$$
PDF 與 CDF 之間的關係（使用微積分）

由於 CDF 測量累積到 \(x\) 為止的總概率，因此它是透過對 PDF 積分得到的：

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$

相反地，如果你有 CDF 並需要 PDF，則進行微分：

$$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$

記憶小撇步： 想想字母順序：C (CDF) 排在 P (PDF) 前面。積分涉及向「上」走（冪次增加），微分則向「下」走（冪次減少）。你對 PDF 積分得到 CDF，對 CDF 微分得到 PDF。

CDF, \(F(x)\) 的性質

如果變量 \(X\) 定義在範圍 \([a, b]\) 內：

  • 下限： \(F(a) = 0\)（小於起始點的概率為零）。
  • 上限： \(F(b) = 1\)（小於終點的概率為一）。
  • 非遞減性： \(F(x)\) 必須始終增加或保持不變（它永遠不會下降）。

使用 CDF 計算概率：
如果你已有 CDF，則無需積分即可計算 \(P(a < X < b\)：
$$P(a < X < b) = F(b) - F(a)$$

你知道嗎？ 在許多專業統計軟件包中，使用 CDF 的頻率遠高於 PDF，因為它能直接提供累積概率值，這比閱讀 PDF 更直觀。

4. 百分位數與位置度量

百分位數（或四分位數）是一個將概率分佈劃分為特定比例的數值。

第 \(p\) 個百分位數是指滿足 \(X\) 小於或等於該數值 \(k\) 的概率為 \(p\) 的值 \(k\)。

$$\text{數學表達：} F(k) = p$$
關鍵百分位數
  • 中位數 (\(m\))： 第 50 個百分位數。這是滿足 \(F(m) = 0.5\) 的值 \(m\)。一半的數據位於其下方，一半位於其上方。
  • 下四分位數 (\(Q_1\))： 第 25 個百分位數，滿足 \(F(Q_1) = 0.25\)。
  • 上四分位數 (\(Q_3\))： 第 75 個百分位數，滿足 \(F(Q_3) = 0.75\)。

逐步教學：尋找中位數

  1. 建立積分： 透過解以下方程來找到中位數 \(m\)：
    $$\int_{-\infty}^{m} f(x) dx = 0.5$$
  2. 或者使用 CDF： 如果你已經算出了 CDF, \(F(x)\)，直接解：
    $$F(m) = 0.5$$

5. 期望值（平均值與方差）

期望值 (Expected Value) 或 平均值 (Mean)，記作 \(E(X)\) 或 \(\mu\)，是該變量的長期平均值。

X 的期望值（平均值）

對於 CRV，離散變量使用的求和符號將被積分符號取代：

$$\mu = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$
X 的方差

方差 \(Var(X)\) 用於衡量分佈圍繞平均值的離散程度。我們使用標準公式，但將期望值的計算改為積分：

$$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

其中 \(E(X^2)\) 使用以下通用公式計算：

進階數學核心概念：函數的期望值

這是 Paper 4 的一個關鍵考點。如果 \(g(X)\) 是隨機變量 \(X\) 的任意函數，其期望值可以透過將積分中的 \(x\) 替換為 \(g(x)\) 來求得。

$$\mathbf{E(g(X))} = \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{g(x)} f(x) dx$$

例子：要找到 \(E(X^2)\)，令 \(g(x) = x^2\)：
$$E(X^2) = \int x^2 f(x) dx$$ 例子：如果你需要計算某商品的預期成本，且價格由公式 \(C = 5X + 10\) 決定，你需要計算 \(E(5X + 10) = \int (5x + 10) f(x) dx\)。

常見錯誤： 在計算方差時，學生常忘記將公式中的「最終平均值」平方，即 \([E(X)]^2\)。請確保先計算 \(E(X)\)，再計算 \(E(X^2)\)，最後應用方差公式。

6. 連續隨機變量的函數（進階步驟）

在進階數學中，你必須能求出新變量 \(Y\) 的分佈（包括 CDF 和 PDF），其中 \(Y\) 定義為 \(X\) 的函數，即 \(Y = g(X)\)。

最可靠的方法是先找到 Y 的 CDF, \(F_Y(y)\)，然後對其微分以求出 Y 的 PDF, \(f_Y(y)\)。

逐步教學：尋找 \(Y = g(X)\) 的分佈
  1. 定義 Y 的 CDF： 從定義出發：
    $$F_Y(y) = P(Y \leq y)$$
  2. 代入並與 X 聯繫： 將 \(Y\) 替換為 \(g(X)\)：
    $$F_Y(y) = P(g(X) \leq y)$$
  3. 解出 X： 重新排列不等式 \(g(X) \leq y\) 以分離 \(X\)。假設所得的不等式為 \(X \leq h(y)\)。
    （如果函數 \(g\) 是遞減的，請小心符號和方向的變化！）
  4. 使用 X 的 CDF： 既然我們現在有了關於 \(X\) 的概率陳述，我們可以使用已知的 \(X\) 的 CDF, \(F_X(x)\)：
    $$F_Y(y) = P(X \leq h(y)) = F_X(h(y))$$
  5. 求 Y 的 PDF： 使用連鎖律對 \(F_Y(y)\) 關於 \(y\) 進行微分：
    $$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y)$$

簡單例子：\(Y = X^3\)
假設 \(X\) 是定義在 \(x > 0\) 的 CRV。我們要求 \(Y\) 的 PDF。

  1. $$F_Y(y) = P(Y \leq y)$$
  2. $$F_Y(y) = P(X^3 \leq y)$$
  3. 解出 X：假設 \(y>0\)，這意味著 \(X \leq y^{1/3}\)。 (此處 \(h(y) = y^{1/3}\))
  4. 使用 \(F_X\)： $$F_Y(y) = F_X(y^{1/3})$$
  5. 微分得到 \(f_Y(y)\)：使用連鎖律，\(f_Y(y) = F'_X(y^{1/3}) \cdot \frac{d}{dy}(y^{1/3})\)。
    由於 \(F'_X = f_X\)，我們得到：
    $$f_Y(y) = f_X(y^{1/3}) \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3}$$

接著，你只需將 \(X\) 的具體 PDF \(f_X(x)\) 代入此結果即可得到最終答案。

重點總結： 求 X 函數的分佈始終遵循相同的模式：CDF、代入、求解、微分。

章節總結：連續隨機變量
  • PDF \(f(x)\)： 定義概率密度。必須滿足 \(\geq 0\) 且 \(\int f(x) dx = 1\)。
  • 概率： \(P(a < X < b) = \int_a^b f(x) dx\)。
  • CDF \(F(x)\)： 累積概率：\(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt\)。
  • 微積分連結： \(f(x) = F'(x)\)。
  • 期望值： 計算函數期望值的通用結果為：
    $$E(g(X)) = \int g(x) f(x) dx$$
  • CRV 的函數： 先通過將不等式 \(Y \leq y\) 轉化為 \(X\) 的不等式來求 \(F_Y(y)\)，然後對 \(F_Y(y)\) 微分得到 \(f_Y(y)\)。