微分方程 (Differential Equations, DEs) 簡介

你好！歡迎來到 Further Pure Mathematics 2 的最後一個課題：微分方程。如果這個章節一開始讓你感到棘手，別擔心；微分方程可以說是高等數學中最強大的工具，它直接將純微積分與現實世界中的物理、工程學及人口模型連接起來。

在 A-Level 數學 (9709) 中，你已經學過如何求解簡單的「變量可分離」微分方程。而在進階數學 (Further Maths) 中，我們將為你配備處理兩類主要複雜微分方程的技巧：一階線性方程和二階線性方程，並會運用如積分因子 (Integrating Factor, IF)、補足函數 (Complementary Functions, CF) 和特解 (Particular Integrals, PI) 等專業工具。

讓我們開始吧！

1. 一階線性微分方程

一階微分方程僅涉及 \(\frac{dy}{dx}\)、\(y\) 以及 \(x\) 的函數。求解線性形式的關鍵技巧是使用積分因子 (Integrating Factor, IF)。

1.1 標準形式與積分因子

一階線性微分方程必須整理成以下標準形式：

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$

其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是 \(x\) 的函數（或常數）。

關鍵詞：積分因子 (\(\mu\))

積分因子是一個函數 \(\mu\)，我們將其乘遍整個方程，從而使等式左側 (LHS) 變成一個乘積的精確導數：\(\frac{d}{dx} (\mu y)\)。

$$ \mu = e^{\int P(x) dx} $$

類比：你可以將積分因子想像成一種「魔法膠水」。它確保當你把它乘以微分方程的左側時，所有項都能完美地黏合在一起，成為一個易於積分的導數形式。

1.2 使用 IF 求解的步驟

  1. 標準化：確保方程已化為 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) 的形式。
  2. 找出 \(P(x)\)：確認 \(y\) 前面的函數係數。
  3. 計算 IF：求出 \(\mu = e^{\int P(x) dx}\)。（請記住：此處無需加上任意常數 \(C\)。）
  4. 相乘：將標準化後的微分方程乘以積分因子 \(\mu\)。
  5. 簡化左側：左側必須能簡化為 \(\frac{d}{dx} (\mu y)\)。如果無法做到，請檢查你的 IF 計算是否正確！
  6. 積分：對兩側關於 \(x\) 進行積分： $$ \mu y = \int Q(x) \mu dx + C $$
  7. 解出 \(y\)：將 \(y\) 獨立出來，即可得到通解 (General Solution)。

快速回顧：IF 方法

| 形式 | IF (\(\mu\)) | 積分後的形式 | | :--- | :--- | :--- | | \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) | \(e^{\int P(x) dx}\) | \(\mu y = \int Q(x) \mu dx + C\) |

2. 二階線性微分方程（常係數）

二階線性微分方程的形式為： $$ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x) $$

其通解 (GS) 總是兩部分之和：

$$ y_{GS} = y_c + y_p $$
$$ y_{GS} = \text{補足函數 (CF)} + \text{特解 (PI)} $$

2.1 第一部分：補足函數 (\(y_c\))

CF 是齊次方程 (Homogeneous Equation)（即 \(f(x)=0\) 時）的解： $$ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 $$

我們通過建立輔助方程 (Auxiliary Equation, AE) 來求解。這是一個二次方程，將導數替換為變量（通常為 \(m\)）：

$$ am^2 + bm + c = 0 $$

AE 根的性質決定了 CF 的形式。

情況 1：兩個不同的實根 (\(m_1 \neq m_2\))

如果判別式 (\(b^2 - 4ac\)) 大於零，根為實數且不同。

$$ y_c = Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x} $$

例子：若根為 \(m=3\) 和 \(m=-1\)，則 \(y_c = Ae^{3x} + Be^{-x}\)。

情況 2：一個重實根 (\(m_1 = m_2 = m\))

如果判別式為零，則存在一個重根 \(m\)。

$$ y_c = (A + Bx)e^{mx} $$

記憶小貼士：當根重複時，在第二項引入 \(x\) 因子，以確保解在線性上是獨立的。

情況 3：共軛複數根 (\(m = \alpha \pm i\beta\))

如果判別式小於零，根為複數。

$$ y_c = e^{\alpha x}(A \cos \beta x + B \sin \beta x) $$

其中 \(\alpha\) 是實部，\(\beta\) 是虛部（我們取 \(\beta\) 的正值）。

例子：若根為 \(m = 2 \pm 3i\)，則 \(\alpha=2\)，\(\beta=3\)，故 \(y_c = e^{2x}(A \cos 3x + B \sin 3x)\)。


關鍵總結 (CF)：由於源自二階方程，CF 使用兩個任意常數 (\(A\) 和 \(B\))。其形式完全取決於輔助方程的根。

2.2 第二部分：特解 (\(y_p\))

PI (\(y_p\)) 是滿足非齊次方程 \(a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)\) 的任何一個解。它不包含任意常數。

我們根據 \(f(x)\) 的形式，提出一個試探函數 (Trial Function) 來尋找 PI。

如果 \(f(x)\) 是... 嘗試 \(y_p\) (試探函數) 例子
\(n\) 次多項式 \(n\) 次的一般多項式 若 \(f(x) = x^2 - 1\)，嘗試 \(y_p = Px^2 + Qx + R\)
指數函數 \(ke^{bx}\) \(Pe^{bx}\) 若 \(f(x) = 5e^{3x}\)，嘗試 \(y_p = Pe^{3x}\)
三角函數 \(a \cos px + b \sin px\) \(P \cos px + Q \sin px\) 若 \(f(x) = \sin 2x\)，嘗試 \(y_p = P \cos 2x + Q \sin 2x\)

尋找常數 \(P, Q, R\) 的步驟：

  1. 提出試探函數 \(y_p\)。
  2. 對 \(y_p\) 求一階導數 (\(\frac{dy_p}{dx}\)) 和二階導數 (\(\frac{d^2y_p}{dx^2}\))。
  3. 將其代回原微分方程。
  4. 比較方程兩側的係數（或項）以求出常數。

2.3 關鍵情況：重複（共振）

這是最常見的陷阱！

常見錯誤：如果你提出的特解 \(y_p\) 已經出現在補足函數 \(y_c\) 中（即與 \(y_c\) 中的某項重複），代入後將會失敗。

修正方法：若發生重複，將試探函數 \(y_p\) 乘以 \(x\)。如果新的試探函數仍與 \(y_c\) 重複，則乘以 \(x^2\)。

範例場景：

  • CF: \(y_c = Ae^{2x} + Be^{-x}\)。
  • \(f(x)\) 為 \(4e^{2x}\)。
  • 初始試探 PI: \(P e^{2x}\)。這與 \(Ae^{2x}\) 重複。
  • 新的試探 PI: \(y_p = Px e^{2x}\)。

課程連結：課程大綱明確指出，當題目給定特殊形式如 \(kx \cos 2x\) 作為 PI 時，需要求出係數（如 \(k\)）。這恰恰發生在標準 PI (\(P \cos 2x + Q \sin 2x\)) 因與 CF 重複（輔助根為 \(\pm 2i\)）而失效時。


關鍵總結 (PI)：根據 \(f(x)\) 選擇試探函數。一定要檢查是否與 CF 中的任何項重複。如果有，請乘以 \(x\)。

3. 使用代換法簡化微分方程

有時，微分方程在給定形式下既非線性也無法分離。課程要求使用特定的代換來將困難的方程轉換為已知如何求解的形式（例如一階線性微分方程或常係數二階線性微分方程）。

3.1 代換以化為常係數方程 (\(x = e^t\))

此代換用於包含 \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}\) 和 \(x\frac{dy}{dx}\) 等項的方程，這通常稱為歐拉-柯西方程 (Euler-Cauchy equation)。

若令 \(x = e^t\)，則 \(t = \ln x\)。我們使用連鎖律來轉換導數：

一階導數： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x} $$ $$ x\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} $$

二階導數： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x}\frac{dy}{dt} \right) $$ （對右側使用乘積法則） $$ x^2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} $$

代入這些表達式，會將原變量方程轉換為一個關於 \(t\) 且具備常係數的新微分方程，你可以使用第 2 節的 CF/PI 方法求解。

3.2 代換以化為變量可分離形式 (\(y = ux\))

此代換通常用於形式為 \(\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)\) 的一階齊次微分方程。

課程範例形式： 將 \(\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}\) 化簡為變量可分離形式。

代換為 \(y = ux\)。我們需要使用乘積法則找到 \(y, x, \frac{du}{dx}\) 關係下的 \(\frac{dy}{dx}\)：

$$ \frac{dy}{dx} = u(1) + x\frac{du}{dx} $$ $$ \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx} $$

將 \(y=ux\) 及新的導數代入原方程：

$$ u + x\frac{du}{dx} = \frac{x + ux}{x - ux} = \frac{x(1 + u)}{x(1 - u)} = \frac{1 + u}{1 - u} $$

現在，整理變量以分離 \(u\) 和 \(x\)：

$$ x\frac{du}{dx} = \frac{1 + u}{1 - u} - u = \frac{1 + u - u(1 - u)}{1 - u} = \frac{1 + u^2}{1 - u} $$

$$ \frac{1 - u}{1 + u^2} du = \frac{1}{x} dx $$

這個新方程現在變成了可分離的，可以通過直接積分求解，最後將 \(u\) 替換回 \(\frac{y}{x}\)。

關鍵總結 (代換)：代換法讓我們能透過將非標準微分方程轉換為已知的標準線性形式（IF 或 CF/PI 方法），從而解決難題。

4. 初始條件與解釋

你得到的通解 (GS) 包含任意常數（一階為 \(C\)，二階為 \(A\) 和 \(B\)）。這代表了一族無限多的可能解。

4.1 尋求特解 (Particular Solution)

要找到唯一的解——即特解，你必須使用題目中提供的初始條件 (Initial Conditions, ICs)。

對於一階微分方程，你需要一個條件（例如 \(y(0)=5\)）。
對於二階微分方程，你需要兩個條件（例如 \(y(0)=2\) 和 \(y'(0)=1\)）。

分步應用：

  1. 找到通解 \(y\)。
  2. 若有需要（對於二階方程），對 \(y\) 求導以找到 \(\frac{dy}{dx}\) 或 \(y'\)。
  3. 將第一個 IC 代入 \(y\) 以求出一個常數（或常數間的關係）。
  4. 若需要，將第二個 IC 代入 \(y'\) 以求出剩餘的常數。
  5. 將這些值代回通解，即可獲得特解。

4.2 情境中的解釋

微分方程經常用於模擬動態系統（運動、人口、熱傳遞）。課程要求你根據所模擬的問題解釋解的含義。

  • CF (補足函數)：代表系統的自然響應或瞬態行為。如果根為負數，這些項會隨時間衰減（例如震盪逐漸停止）。
  • PI (特解)：代表系統的強迫響應或穩態行為。這是系統的長期行為，通常由外部輸入 \(f(x)\) 驅動。
  • 特解：一旦確定了常數，這就描述了系統從給定初始狀態開始的具體行為。

你知道嗎？
如果你正在求解一個模擬質量塊懸掛在彈簧上的微分方程，輔助方程中的複數根意味著系統將會震盪（像正弦波一樣），而實數根則意味著它會回到平衡狀態而不發生震盪（即「過阻尼」）。數學精確地展示了物理系統將會如何運作！

關鍵總結 (ICs 與解釋)：初始條件固定了常數以定義一條唯一的路徑。請務必將數學組成部分 (CF, PI) 與問題中量值的物理意義（例如時間、位移、電荷）聯繫起來。