🌟 Further Pure Mathematics 2：微積分全面筆記 (9231) 🌟
你好，未來的數學家！歡迎來到 FP2 的微積分（Differentiation）單元。你已經掌握了基礎的微分規則，但現在我們要深入探討處理複雜函數與級數展開所需的進階技巧。本章對於連結微積分各個概念至關重要，特別是在進入微分方程與級數分析時。別擔心公式看起來很複雜——考試通常會提供這些公式，重點在於掌握其背後的運算技巧！
2.3 微分：處理進階世界
1. 雙曲函數與反雙曲函數的微分
在進階數學中，我們經常會用到雙曲函數（sinh、cosh、tanh）及其反函數。雖然它們與標準三角函數有關，但它們的導數有關鍵的符號差異，必須謹記！
a) 標準雙曲函數的導數
回顧定義：
\(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\)
\(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)
它們的導數意外地簡單：
- sinh x 的導數：
\(\frac{d}{dx} (\sinh x) = \cosh x\) - cosh x 的導數：
\(\frac{d}{dx} (\cosh x) = \sinh x\) - tanh x 的導數：
\(\frac{d}{dx} (\tanh x) = \text{sech}^2 x\)
🧠 記憶小撇步： 注意這種對稱性！與三角函數不同（微分 cosine 會得到負的 sine），微分 cosh 會得到 正的 sinh。雙曲函數在微分時通常是「正向」的。
b) 反雙曲函數的導數
這些導數在求解積分時經常出現（正如你在積分章節會看到的）。你應該能夠對它們進行微分，並辨認出這些標準形式。
- sinh\(^{-1}\)x 的導數：
\(\frac{d}{dx} (\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) - cosh\(^{-1}\)x 的導數：
\(\frac{d}{dx} (\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) - tanh\(^{-1}\)x 的導數：
\(\frac{d}{dx} (\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}\)
你知道嗎？ 你可以利用連鎖律（Chain Rule）和反雙曲函數的對數定義（例如 \(\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})\)）輕鬆推導出這些導數公式。
重點總結：
熟練掌握六個核心雙曲導數（包括反函數），並密切注意指數和符號，特別是 \(\frac{d}{dx} (\cosh x)\) 的正值結果。
2. 求取二階導數 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\))
在進階數學中，單純找到 \(\frac{dy}{dx}\) 通常只是第一步。求二階導數變得至關重要，特別是當 \(x\) 和 \(y\) 的關係複雜（隱函數）或是通過第三變數定義（參數式）時。
a) 使用隱函數微分求二階導數
當 \(x\) 和 \(y\) 在方程式中相關聯，但 \(y\) 無法直接分離時（例如 \(x^2 + y^2 = 9\)），就需要用到此法。
步驟流程：
- 求 \(\frac{dy}{dx}\)： 對整條方程式關於 \(x\) 微分。記住，任何包含 \(y\) 的項都必須使用連鎖律，並乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 整理出 \(\frac{dy}{dx}\)： 將一階導數的表達式分離出來。
- 求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)： 對 \(\frac{dy}{dx}\) 的表達式再次關於 \(x\) 微分。這一步幾乎總是需要用到乘法法則（Product Rule）或除法法則（Quotient Rule）。
- 代入： 每當你對含有 \(y\) 的項微分時，就會出現一個 \(\frac{dy}{dx}\) 因數。你必須用步驟 2 的結果，將最終 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 表達式中的所有 \(\frac{dy}{dx}\) 取代。這樣可以確保你最終的 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 答案只包含 \(x\)、\(y\)（以及常數）。
🚨 常見錯誤： 忘記將初始的 \(\frac{dy}{dx}\) 表達式代回二階導數的最終結果中。答案「必須」只能包含 \(x\) 和 \(y\)。
例子：若 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\)，則使用除法法則再次微分得：
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x(\frac{dy}{dx}) - y(1)}{x^2}\)
現在將 \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\) 代回：
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x(\frac{y}{x}) - y}{x^2} = \frac{y - y}{x^2} = 0\)
b) 使用參數微分求二階導數
當 \(x\) 和 \(y\) 以參數 \(t\)（或 \(\theta\)）表示時，就需要此方法。
步驟流程：
- 求 \(\frac{dy}{dx}\)： 使用標準參數式公式：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)。此結果（即 \(\frac{dy}{dx}\)）會是 \(t\) 的函數。我們稱之為 \(Z(t)\)。 - 求 \(\frac{dZ}{dt}\)： 對結果 \(Z(t)\)（即 \(\frac{dy}{dx}\)）關於參數 \(t\) 微分。
- 求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)： 對二階導數使用連鎖律：
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{dy}{dx}\right) \times \frac{dt}{dx}\) - 計算 \(\frac{dt}{dx}\)： 記住 \(\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt}\)。
參數式二階導數的最終公式：
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} \left(\frac{dy}{dx}\right) \div \frac{dx}{dt}\)
過山車類比： 如果 \(\frac{dy}{dx}\) 告訴你軌道的斜率，\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 則告訴你當你向前移動時，該斜率改變的速度有多快。使用參數式時，你先計算斜率相對於時間的變化率（\(\frac{dZ}{dt}\)），然後除以 \(\frac{dx}{dt}\) 來修正，以考慮沿著 x 軸的行進速度。
重點總結：
隱函數微分需要將 \(\frac{dy}{dx}\) 代回最終表達式。參數微分需要將一階導數（對 \(t\) 微分後的結果）除以 \(\frac{dx}{dt}\)。
3. 麥克勞林級數（Maclaurin's Series）與逐次微分
麥克勞林級數提供了函數 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 附近的近似多項式。
麥克勞林級數定義（前幾項）：
\(f(x) \approx f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \frac{x^3}{3!}f'''(0) + \dots\)
課程要求你推導並使用前幾項（通常到 \(x^3\) 或 \(x^4\)）。
a) 通過直接逐次微分求項
對於標準函數（如 \(e^{\sin x}\) 或 \(\ln(1+x)\)），這涉及直接計算：
- 計算 \(f(0)\)。
- 微分一次得 \(f'(x)\)，然後計算 \(f'(0)\)。
- 再次微分得 \(f''(x)\)，然後計算 \(f''(0)\)。
- 依此類推（例如求 \(f'''(0)\)）。
- 將這些數值代入麥克勞林公式。
💡 複雜乘積/連鎖函數技巧： 有條理地進行！清楚寫下每一次微分的結果，並在下一次微分前進行化簡。連鎖律、乘法法則和除法法則在這裡是你最好的朋友。
b) 使用隱函數微分求項（進階麥克勞林）
有時，對 \(f'(x)\) 進行逐次微分在代數上會變得很複雜。如果函數滿足某個微分方程，或者其導數與原函數有簡單的關聯，我們可以使用隱函數微分來更輕鬆地求出級數係數。
例子：求 \(y = \tan x\) 的麥克勞林展開式。
- 求 \(x=0\) 時的 \(y\)： \(y(0) = \tan(0) = 0\)。
- 求 \(y'\)： \(y' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + y^2\)。
\(y'(0) = 1 + (0)^2 = 1\)。 - 求 \(y''\)（隱函數微分）：
對 \(y' = 1 + y^2\) 關於 \(x\) 微分：
\(y'' = 0 + 2y \left(\frac{dy}{dx}\right) = 2y y'\)。
\(y''(0) = 2(0)(1) = 0\)。 - 求 \(y'''\)： 對 \(y'' = 2y y'\) 使用乘法法則：
\(y''' = 2 \left[ y' \cdot y' + y \cdot y'' \right] = 2 \left[ (y')^2 + y y'' \right]\)。
\(y'''(0) = 2 \left[ (1)^2 + (0)(0) \right] = 2\)。 - 代入級數：
\(f(x) = 0 + x(1) + \frac{x^2}{2!}(0) + \frac{x^3}{3!}(2) + \dots\)
\(\tan x \approx x + \frac{2x^3}{6} = x + \frac{x^3}{3}\)
這種方法讓你不必陷入複雜的三角恆等式轉換中，也能求出高階導數。
快速複習箱：微分技巧
- 雙曲函數： 微分方法與三角函數相同，但 \(\cosh x\) 的結果始終為正！
- 隱函數二階導數： 微分兩次，然後將 \(\frac{dy}{dx}\) 代回。
- 參數二階導數： \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx}) \times \frac{dt}{dx}\)。
- 麥克勞林級數： 直接計算 \(f(0), f'(0), f''(0), \dots\)，或在初始導數簡化流程時使用隱函數逐次微分。
重點總結：
麥克勞林級數測試你準確執行逐次微分的能力。當處理複雜函數或隱函數關係時，記住對一階導數進行隱函數微分通常是求出所需係數的最快路徑。