Hyperbolic functions

雙曲函數 (Hyperbolic Functions) (Further Pure Mathematics 2, 第 2.1 節)

你好！歡迎來到雙曲函數的世界。別擔心，這個名字聽起來雖然有點嚇人，但這些函數其實和你已經熟悉的三角函數（圓形函數：sin, cos, tan）是好夥伴，只是它們是利用指數函數 \(e^x\) 來定義的。它們在物理學、工程學（特別是用於模擬懸掛電纜的「懸鏈線」— catenary curve）以及高等數學的積分方法中非常重要。

在本章中，我們將掌握它們的定義、恆等式、圖像，以及其反函數的強大對數形式。

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1. 雙曲函數的定義

雙曲函數是直接由指數函數 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 建構而成的。

a) 核心定義：\(\cosh x\) 和 \(\sinh x\)

兩個基礎的雙曲函數是雙曲餘弦（\(\cosh x\)，讀作 cosh）和雙曲正弦（\(\sinh x\)，讀作 shine 或 sinh）。

1. 雙曲餘弦 (\(\cosh x\))：

\(\cosh x\) 的定義是 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 的平均值。
\[\n\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\n\]

記憶小撇步：由於 \(\cos x\) 是偶函數，\(\cosh x\) 同樣也是偶函數。該公式使用加號，使其關於 y 軸對稱。

2. 雙曲正弦 (\(\sinh x\))：

\(\sinh x\) 的定義是 \(e^x\) 和 \(e^{-x}\) 差值的一半。
\[\n\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\n\]

記憶小撇步：由於 \(\sin x\) 是奇函數，\(\sinh x\) 同樣也是奇函數。該公式使用減號，使其關於原點對稱。

b) 其他雙曲函數

就像標準三角函數一樣，其他四個雙曲函數是根據 \(\sinh x\) 和 \(\cosh x\) 之間的關係來定義的：

• 雙曲正切： \(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)
• 雙曲餘切： \(\text{coth } x = \frac{1}{\tanh x} = \frac{\cosh x}{\sinh x}\)
• 雙曲正割： \(\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}\)
• 雙曲餘割： \(\text{cosech } x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}\)

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2. 雙曲恆等式

這些恆等式與三角恆等式相似，但務必極其小心：正負號通常是相反的！

a) 基本恆等式（雙曲畢氏定理）

最重要的恆等式連結了 \(\cosh x\) 和 \(\sinh x\)：

\[\n\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\n\]

證明（你必須能夠證明這一點）：

1. 從定義開始： \[\n \cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2\n \]
2. 展開分子： \[\n = \frac{1}{4} \left[ (e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x}) \right]\n \]
3. 簡化中間項 (\(e^x e^{-x} = e^0 = 1\))： \[\n = \frac{1}{4} \left[ (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) \right]\n \]
4. 分配減號並消去項： \[\n = \frac{1}{4} \left[ e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x} \right]\n \]
5. 剩餘項為 \(2 + 2 = 4\)： \[\n = \frac{1}{4} (4) = 1\n \]

重點提示：記住，在常規三角學中，\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)。在雙曲函數中，符號變了：\(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)。這通常是計算錯誤的來源，請在筆記中將其標記出來！

b) 推導出的恆等式

我們可以透過將基本恆等式除以 \(\cosh^2 x\) 或 \(\sinh^2 x\) 來推導其他恆等式：

1. 除以 \(\cosh^2 x\)： \[\n \frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x}\n \] 恆等式 2： \(1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x\)（注意與 \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\) 的符號差異）
2. 除以 \(\sinh^2 x\)： \[\n \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\sinh^2 x} = \frac{1}{\sinh^2 x}\n \] 恆等式 3： \(\coth^2 x - 1 = \text{cosech}^2 x\)（注意與 \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\) 的符號差異）

c) 倍角恆等式

這些公式遵循標準三角倍角的結構，但同樣要留意正負號！

• 雙曲正弦： \(\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x\)（與三角函數相同）
• 雙曲餘弦： \(\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x\)（注意：這是「加」，與 \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\) 不同）

我們可以利用基本恆等式來改寫 \(\cosh 2x\)： \[\n\cosh 2x = 2 \cosh^2 x - 1\n\] \[\n\cosh 2x = 1 + 2 \sinh^2 x\n\]

給同學的學習建議：如果你忘記了雙曲恆等式，試著快速寫下對應的三角恆等式，並記得將原包含奇數次正弦項的符號翻轉。由於 \(\cosh x\) 恆為正，它在恆等式中佔主導地位時通常會保持正號。

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3. 圖像與關鍵屬性

繪製這些圖像是一項必備技能。你必須了解它們的定義域、值域和漸近行為。

a) \(y = \cosh x\) 的圖像

• 形狀：看起來像拋物線，但實際上是均勻的重鍊懸掛在兩個支撐點之間形成的形狀——這被稱為懸鏈線 (Catenary) 曲線。
• 定義域： \(x \in \mathbb{R}\)
• 值域： \(y \ge 1\)（因為 \(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\) 恆為正，且其最小值出現在 \(x=0\) 時，即 \(\cosh 0 = 1\)）。
• 對稱性：偶函數（關於 y 軸對稱）。

你知道嗎？建築師使用倒置的懸鏈線形狀（拱門），因為它能完美分散重量，避免彎曲應力。美國聖路易斯的「大拱門」 (Gateway Arch) 就是一個倒置的懸鏈線！

b) \(y = \sinh x\) 的圖像

• 形狀：S 形曲線，類似於 \(y = x^3\) 但呈現指數增長。
• 定義域： \(x \in \mathbb{R}\)
• 值域： \(y \in \mathbb{R}\)
• 對稱性：奇函數（關於原點對稱），通過點 (0, 0)。

c) \(y = \tanh x\) 的圖像

• 形狀：類似於 \(\tan^{-1} x\)。
• 定義域： \(x \in \mathbb{R}\)
• 值域： \(-1 < y < 1\)
• 漸近線： 在 \(y = 1\)（當 \(x \to \infty\) 時）和 \(y = -1\)（當 \(x \to -\infty\) 時）處有水平漸近線。

為什麼 \(\tanh x\) 有漸近線？

當 \(x \to \infty\) 時： \[\n\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\n\] 分子分母同時除以 \(e^x\)： \[\n\tanh x = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}\n\] 當 \(x \to \infty\)，\(e^{-2x} \to 0\)，因此 \(\tanh x \to \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1\)。這證實了漸近線為 \(y=1\)。

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4. 反雙曲函數

由於 \(\sinh x\) 和 \(\tanh x\) 是一對一函數（單調），它們的反函數很容易求出。然而，\(\cosh x\) 是多對一函數（因為它是偶函數），因此必須限制其定義域為 \(x \ge 0\) 以確保反函數存在。

a) 定義

反函數記作 \(\sinh^{-1} x\)、\(\cosh^{-1} x\) 和 \(\tanh^{-1} x\)。它們回答的問題是：「什麼 \(x\) 值能給我這個輸出？」

b) 推導對數形式（面積函數）

課程大綱的核心要求是推導並使用這些反函數的對數形式。這些形式通常被稱為面積函數，因為它們與雙曲線下的面積相關。

我們將逐步推導 \(\sinh^{-1} x\)。對於 \(\cosh^{-1} x\) 和 \(\tanh^{-1} x\)，過程是類似的。

\(\sinh^{-1} x\) 的逐步推導

令 \(y = \sinh^{-1} x\)。根據定義，這意味著 \(x = \sinh y\)。

第 1 步：代入指數定義。 \[\nx = \frac{e^y - e^{-y}}{2}\n\]

第 2 步：清除分母並消去負指數。

乘以 2：

\[\n2x = e^y - e^{-y}\n\]

將整個方程式乘以 \(e^y\)（這是構建二次方程式的關鍵代數技巧）：

\[\n2x e^y = e^{2y} - e^0\n\] \[\n2x e^y = e^{2y} - 1\n\]

第 3 步：整理成關於 \(e^y\) 的二次方程式。

\[\n(e^y)^2 - (2x) e^y - 1 = 0\n\]

第 4 步：使用二次公式求解。

令 \(E = e^y\)。則 \(E^2 - (2x)E - 1 = 0\)。使用 \(E = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，其中 \(a=1, b=-2x, c=-1\)：

\[\ne^y = \frac{-(-2x) \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\n\] \[\ne^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2}\n\] \[\ne^y = \frac{2x \pm 2\sqrt{x^2 + 1}}{2}\n\] \[\ne^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1}\n\]

第 5 步：應用定義域限制。

由於 \(e^y\) 必須為正，我們檢查兩個解：

由於 \(\sqrt{x^2 + 1}\) 恆大於 \(x\)，負根 \(x - \sqrt{x^2 + 1}\) 為負數。因此，我們必須取正根。

\[\ne^y = x + \sqrt{x^2 + 1}\n\]

第 6 步：取自然對數以求 \(y\)。

\[\ny = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\n\]

因此，\(\sinh^{-1} x\) 的對數形式為：

\[\n\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad \text{對於 } x \in \mathbb{R}\n\]

c) 對數形式總結 (MF19 公式)

你必須能夠使用這些公式，並能推導出前三個（或識別出推導過程）：

• \(\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (\text{對所有 } x)\)
• \(\cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (\text{對 } x \ge 1)\)
• \(\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \quad (\text{對 } |x| < 1)\)

常見錯誤提醒！

在解 \(\cosh^{-1} x\) 時，二次方程步驟會給你兩個 \(e^y\) 的正解。然而，因為我們將 \(\cosh x\) 的定義域限制為 \(y \ge 0\)，我們必須選擇能產生 \(y \ge 0\) 的解。對於 \(\cosh^{-1} x\)，慣例是總是取正根：\(e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}\)。

範例應用：解方程式

問題： 解 \(\cosh x = 3\)。

解答（使用對數形式）：

由於 \(x = \cosh^{-1} 3\)，我們使用對數形式：

\[\nx = \ln(3 + \sqrt{3^2 - 1})\n\] \[\nx = \ln(3 + \sqrt{8})\n\] \[\nx = \ln(3 + 2\sqrt{2})\n\]

因為 \(\cosh x\) 的圖像關於 y 軸對稱，所以還有一個負數解，即 \(\ln(3 - 2\sqrt{2})\)，但除非另有說明，否則由正支導出的主值通常就足夠了。

對數形式將複雜的雙曲方程式轉化為標準的對數方程式，使求解過程變得容易多了！

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雙曲函數重點總結

1. 定義基於指數： \(\cosh\) (加) 和 \(\sinh\) (減) 是基礎。
2. 恆等式符號相反： 基本恆等式為 \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)（注意那個減號！）。
3. 對數形式至關重要： 理解推導過程（使用 \(e^y\) 和二次公式）以求得反函數的對數形式。