Integration

歡迎來到進階純數 2 (Further Pure Mathematics 2) 的積分章節！

在 FP2 的積分單元中，我們將會運用你在 A Level 數學 (9709) 所掌握的技巧，應用於更複雜、更高階的函數及幾何問題上。如果之前的積分內容讓你感到困難，請別擔心——我們會將這些進階方法，例如遞推公式 (Reduction Formulae) 以及幾何應用（弧長與表面積），拆解成簡單易懂的步驟。

這一章節是連結純數與幾何、物理的重要橋樑，它能為你提供強大的工具，以解決涉及曲線與體積的現實問題。讓我們開始吧！

1. 雙曲函數的積分

既然你已經學習過雙曲函數（主題 2.1），積分其實就是微分規則的逆運算。熟練掌握微分公式是關鍵！

1.1 標準結果

回想一下，雙曲函數的微分與三角函數非常相似，但要特別注意符號！

• \(\int \sinh x \, dx = \cosh x + C\)
• \(\int \cosh x \, dx = \sinh x + C\)
• \(\int \sech^2 x \, dx = \tanh x + C\)
• \(\int \sech x \tanh x \, dx = -\sech x + C\) （注意：與微分相比，此處符號相反）

1.2 冪次與乘積的積分

就像一般的三角函數積分一樣，處理雙曲函數的冪次時，通常需要使用恆等式或代換法。

基本恆等式為：\(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)。

範例：積分 \(\sinh^2 x\)
我們無法直接積分 \(\sinh^2 x\)，因此需使用倍角公式（類似 \(\cos 2x\)）： $$ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$ 由於 \(\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x\)，代入後得到： $$ \cosh 2x = (1 + \sinh^2 x) + \sinh^2 x = 1 + 2\sinh^2 x $$ 重新整理得 \(\sinh^2 x\)： $$ \sinh^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x - 1) $$ 現在，積分變得相當簡單： $$ \int \sinh^2 x \, dx = \int \frac{1}{2}(\cosh 2x - 1) \, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{\sinh 2x}{2} - x\right) + C $$

2. 反三角與反雙曲積分

在 FP2 中，你必須能夠辨識並積分三種特殊形式，其結果為反三角函數或反雙曲函數。

你知道嗎？這些積分非常關鍵，因為在計算複雜曲線的弧長時，它們會自然出現！

2.1 三個關鍵標準形式

你需要能夠積分以下形式的函數：

1. \(\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)（反正弦形式）：
   此形式包含 (常數平方 - 變數平方) 的平方根，結果為反三角函數。 $$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $$
2. \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\)（反雙曲正弦形式）：
   此形式包含 (變數平方 + 常數平方) 的平方根。 $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $$
3. \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)（反雙曲餘弦形式）：
   此形式包含 (變數平方 - 常數平方) 的平方根。（限制條件：\(|x| > a\)）。 $$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \cosh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $$

記憶小貼士：觀察分母的符號：

• 若 \(a^2\) 為正且 \(x^2\) 為負 (\(a^2 - x^2\))：這是 Sine（標準三角函數）。
• 若 \(x^2\) 為正 (\(x^2 + a^2\) 或 \(x^2 - a^2\))：這是 Hyperbolic（雙曲函數）。

2.2 核心技巧：配方法 (Completing the Square)

通常你遇到的積分不會直接符合上述標準形式。你必須先對平方根內的運算式進行配方法。

步驟範例：積分 \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x + 13}} \, dx\)。

1. 配方：專注於二次式 \(x^2 + 6x + 13\)。 $$ x^2 + 6x + 13 = (x^2 + 6x + 9) + 13 - 9 = (x + 3)^2 + 4 $$
2. 代換與調整：使用配方後的結果重寫積分。 $$ \int \frac{1}{\sqrt{(x + 3)^2 + 4}} \, dx $$
3. 辨識形式：這符合形式 2：\(\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du\)，其中 \(u = x + 3\)，\(a = 2\)。因為代換 \(u = x+3\) 代表 \(du = dx\)，所以無需額外的因子。
4. 最終積分：使用標準公式。 $$ \sinh^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C = \sinh^{-1}\left(\frac{x+3}{2}\right) + C $$

3. 遞推公式 (Reduction Formulae)

當被積函數包含高次冪時，例如 \(\int x^4 e^x \, dx\) 或 \(\int \cos^5 x \, dx\)，積分往往會變得非常困難。遞推公式允許你將冪次為 \(n\) 的積分表達為冪次較低（如 \(n-1\) 或 \(n-2\)）的類似積分。這能「遞減」難度，直到達到易於計算的冪次（如 \(n=0\) 或 \(n=1\)）。

3.1 推導方法：分部積分法 (IBP)

絕大多數的遞推公式都是使用分部積分法 (Integration by Parts, IBP) 推導出來的，有時需要應用多次。

回顧 IBP：\(\int u \, \frac{dv}{dx} \, dx = uv - \int v \, \frac{du}{dx} \, dx\)。

推導步驟：

設 \(I_n\) 為你嘗試簡化的積分（例如 \(I_n = \int \sin^n x \, dx\)）。

1. 拆解被積函數：將被積函數分成 \(u\) 和 \(\frac{dv}{dx}\) 兩部分，使得應用 IBP 後，結果包含較低次冪的積分。
   對於 \(I_n = \int \sin^n x \, dx\)，我們通常這樣拆分： $$ I_n = \int \sin^{n-1} x \cdot (\sin x) \, dx $$
2. 應用 IBP：選擇 \(u\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)。這需要策略性思考！
   若選擇 \(u = \sin^{n-1} x\) 及 \(\frac{dv}{dx} = \sin x\)：
   • \(v = -\cos x\)
   • \(\frac{du}{dx} = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x\)
   應用 IBP 得： $$ I_n = \sin^{n-1} x (-\cos x) - \int (-\cos x) (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx $$
3. 簡化並代入恆等式：通常會使用恆等式（如 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)）將新的積分連結回原始形式 \(I_{n-2}\) 或 \(I_n\)。 $$ I_n = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx $$ 將 \(\cos^2 x\) 替換為 \(1 - \sin^2 x\)： $$ I_n = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx $$ $$ I_n = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \left[ \int \sin^{n-2} x \, dx - \int \sin^n x \, dx \right] $$ $$ I_n = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n $$
4. 分離 \(I_n\)：解出方程式，將 \(I_n\) 表示為 \(I_{n-2}\) 的函數（這就是遞推公式）。 $$ I_n + (n-1) I_n = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} $$ $$ n I_n = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} $$ 這就是所求的遞推公式。

3.2 使用遞推公式

推導完成後，公式可用於疊代計算定積分的值。

範例：計算 \(\int_0^{\pi/2} \sin^4 x \, dx\)。
若令 \(J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx\)，由於邊界項 \([-\cos x \sin^{n-1} x]_0^{\pi/2}\) 為 0，公式會大大簡化。

定積分的遞推公式變為： $$ J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2} $$

從 \(n=4\) 開始： $$ J_4 = \frac{3}{4} J_2 $$ 接著計算 \(J_2\)： $$ J_2 = \frac{1}{2} J_0 $$ 需計算 \(J_0 = \int_0^{\pi/2} \sin^0 x \, dx = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = [x]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}\)。

反向代回： $$ J_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $$ $$ J_4 = \frac{3}{4} J_2 = \frac{3}{4} \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{16} $$

4. 積分的幾何應用

積分可用於計算曲線的長度（弧長），以及曲線繞軸旋轉所產生的曲面面積（旋轉體表面積）。

4.1 弧長 (Arc Length)

弧長衡量曲線在兩點之間的距離。根據曲線定義方式的不同，我們使用不同的公式。

A. 直角坐標 (\(y = f(x)\))

曲線從 \(x=a\) 到 \(x=b\) 的長度 \(L\) 為： $$ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx $$

B. 參數坐標 (\(x = x(t), y = y(t)\))

若曲線由參數 \(t\) 從 \(t_1\) 到 \(t_2\) 定義： $$ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt $$

C. 極坐標 (\(r = f(\theta)\))

若曲線在極坐標中定義，從 \(\theta=\alpha\) 到 \(\theta=\beta\)： $$ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta $$

關鍵預處理：在積分前，務必先找出微分值（\(\frac{dy}{dx}\)、\(\frac{dx}{dt}\) 或 \(\frac{dr}{d\theta}\)），求平方，並儘量簡化根號內的運算式。這種簡化通常會導向一個完全平方，讓後續的積分變得輕而易舉。

4.2 旋轉體表面積 (Surface Area of Revolution)

這用於計算 2D 曲線繞軸旋轉形成的 3D 曲面面積。我們使用弧長公式並乘以 \(2\pi \times (\text{半徑})\)。

公式為：\(\text{Area} = \int 2\pi (\text{radius}) \, dL\)

A. 繞 x 軸旋轉

旋轉半徑為到 x 軸的距離，即 \(y\)。 $$ S_x = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx $$ （若為參數定義，將 \(y\) 替換為 \(y(t)\)，並將 \(\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \, dx\) 替換為 \(\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt\)。）

B. 繞 y 軸旋轉

旋轉半徑為到 y 軸的距離，即 \(x\)。 $$ S_y = \int_a^b 2\pi x \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx $$

注意：本課程大綱僅要求計算直角坐標或參數形式的旋轉體表面積。極坐標旋轉表面積不在考核範圍內。

5. 積分近似、邊界與不等式推導

此主題連結了面積近似的幾何概念（使用矩形，稱為黎曼和 Riemann sums）以及涉及級數的代數不等式。

5.1 使用矩形進行面積近似

定積分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 代表曲線下的面積。我們可以透過加總許多細長矩形的面積來近似此值。

• 如果函數 \(f(x)\) 在區間內為遞增，使用區間的左端點計算高度會得到低估值，使用右端點則會得到高估值。
• 如果函數 \(f(x)\) 為遞減，情形則相反。

透過策略性地擺放矩形（在曲線內或外），我們可以為積分的精確值建立嚴格的邊界。

5.2 不等式推導

你需要運用此概念推導涉及求和（數列）的不等式或極限。這通常涉及比較離散求和 \(\sum_{r=a}^b f(r)\) 與連續積分 \(\int_a^b f(x) \, dx\)。

範例：調和級數與對數
考慮函數 \(f(x) = \frac{1}{x}\)，它在 \(x > 0\) 時為遞減。我們希望連結和 \(S_n = \sum_{r=1}^n \frac{1}{r}\) 與積分 \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln x\)。

如果我們考慮從 \(r=1\) 到 \(r=n\) 的矩形和（單位寬度，\(\delta x = 1\)）：

• 上限：若使用每個區間 \([r, r+1]\) 的左端點，矩形高度為 \(f(r) = \frac{1}{r}\)。 $$ \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \int_1^{n+1} \frac{1}{x} \, dx $$ $$ \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > [\ln x]_1^{n+1} = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1) $$
• 下限：若使用每個區間的右端點，高度為 \(f(r+1)\)。此和略小於總和 \(S_n\)。 $$ \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{r+1} < \int_1^n \frac{1}{x} \, dx $$ 若觀察 \(S_n\) 並將首項 (\(1\)) 分離出來： $$ S_n = 1 + \sum_{r=2}^n \frac{1}{r} $$ 利用積分 \(\int_1^n \frac{1}{x} \, dx = \ln n\)： $$ \sum_{r=2}^n \frac{1}{r} < \int_1^n \frac{1}{x} \, dx = \ln n $$ 因此，\(S_n = 1 + \sum_{r=2}^n \frac{1}{r} < 1 + \ln n\)。

結合這些邊界，得出調和級數的標準不等式： $$ \ln(n+1) < \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} < 1 + \ln n $$