Momentum

學習筆記：動量 (Further Mechanics 9231)

歡迎來到動量這一章！這是進階力學 (Further Mechanics) 的核心課題，重點探討物體發生碰撞時的情況。雖然在 A Level 力學中你已經接觸過動量守恆，但進階力學會帶你深入研究，特別是利用恢復係數 (Coefficient of Restitution, \(e\)) 來建模不同類型的碰撞。準備好掌握一維和二維碰撞了嗎？

註：本章節非常依賴你從 A Level 數學力學 (9709, Paper 4) 中學到的分解力與運動學方程 (SUVAT) 的先備知識。

1. 線性動量基礎

線性動量是衡量物體質量與速度的物理量。它是一個向量，這意味著方向在計算中至關重要。

定義與守恆

粒子的線性動量 (\(p\)) 定義為其質量 (\(m\)) 與速度 (\(v\)) 的乘積：

$$p = mv$$

動量的標準單位為 \(\text{kg m s}^{-1}\) (有時也記作 \(\text{N s\))。

線性動量守恆 (CLM)

在一個閉合系統中，若沒有外力作用（例如在極短的碰撞瞬間忽略重力或摩擦力），系統的總線性動量保持不變。

• 對於兩個質量分別為 \(m_1\) 和 \(m_2\)，初始速度為 \(u_1\) 和 \(u_2\)，最終速度為 \(v_1\) 和 \(v_2\) 的粒子：

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

CLM 的重要提示：

在解題時，務必定義一個正方向。如果速度方向與你設定的方向相反，在方程式中必須代入負值。

2. 牛頓實驗定律 (NEL) 與恢復係數

動量守恆給了我們初始速度與最終速度之間的一個關係。為了求出兩個未知數 (\(v_1\) 和 \(v_2\))，我們需要第二個方程式，這來自牛頓實驗定律 (Newton's Experimental Law, NEL)，也稱為恢復定律。

恢復係數 (\(e\)) 的定義

恢復係數 (\(e\)) 用來量化碰撞的「彈性」程度。它定義為碰撞前後粒子相對速率的比值。

$$e = \frac{\text{分離速率}}{\text{接近速率}}$$

在數學上，對於兩個碰撞的粒子，NEL 表達為：

$$v_2 - v_1 = e (u_1 - u_2)$$

其中 \(u_1, u_2, v_1, v_2\) 是沿著撞擊線 (line of impact) 測量的速度，並需遵守設定好的正方向。

\(e\) 的範圍與碰撞類型

恢復係數的值永遠介於 0 到 1 之間（包含 0 和 1）：\(0 \le e \le 1\)。

• 1. 完全彈性碰撞 (\(e = 1\))：
  

  若 \(e=1\)，則 \(v_2 - v_1 = u_1 - u_2\)。

  在這種理想情況下，動能 (KE) 守恆。這是反彈效果最強的碰撞。

  你知道嗎？現實世界中沒有絕對的完全彈性碰撞，但撞球之間的碰撞常被建模為此類，因為它們非常接近理想狀態。

• 2. 非彈性（或完全塑性）碰撞 (\(e = 0\))：
  

  若 \(e=0\)，則 \(v_2 - v_1 = 0\)，即 \(v_1 = v_2\)。

  碰撞後兩個粒子合為一體並以相同速度運動。這會導致在動量守恆的前提下，動能損失達到最大。

  類比：這就像一團黏土撞上靜止物體後黏在上面。

• 3. 一般情況 (\(0 < e < 1\))：
  

  這涵蓋了現實生活中大多數的碰撞。動量依然守恆，但動能會有損失（轉化為熱能、聲能或變形能）。

3. 直接撞擊（一維碰撞）

直接撞擊（或正面碰撞）是指粒子的速度與連接兩球心的線（撞擊線）重合時的情況。

3.1 兩光滑球體之間的直接撞擊

要找出最終速度 (\(v_1\) 和 \(v_2\))，你需要聯立解兩個方程式：

方程式 1：動量守恆 (CLM)

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad \text{(永遠成立)}$$

方程式 2：牛頓實驗定律 (NEL)

$$v_2 - v_1 = e (u_1 - u_2) \quad \text{(永遠成立)}$$

鼓勵一下：如果代數看起來很複雜，別擔心！記得從 NEL 方程式中將 \(v_2\) 或 \(v_1\) 的表達式代入 CLM 方程式中，這樣運算效率最高。

3.2 與固定表面的直接撞擊

當光滑球體撞擊固定表面（如牆壁或地面）時，該固定表面被視為具有無限大的質量。這意味著：

• CLM 不適用： 由於牆壁質量無限大，無法有效應用 CLM 方程式。
• NEL 是唯一需要的原理： 我們只需考慮垂直於牆壁方向（撞擊線方向）的運動。

如果球體以速度 \(u\) 垂直撞擊固定牆壁並以速度 \(v\) 反彈：

$$v = eu$$

最終速度僅為初始速度乘以 \(e\)。

4. 斜向撞擊（二維碰撞）

斜向撞擊是指初始速度與碰撞點球心連線不平行的情況。這需要將速度分解為分量。

解決二維碰撞的關鍵在於搞清楚動量和 NEL 規則適用的方向。

識別坐標軸

碰撞過程僅影響撞擊線 (LOI) 方向的運動。垂直於撞擊線 (PDOI) 方向的運動不受影響。

• 撞擊線 (Line of Impact, LOI)： 碰撞瞬間連接兩個球心的直線。這是動量發生變化且適用 NEL 的方向。
• 垂直撞擊線方向 (Perpendicular to the Line of Impact, PDOI)： 碰撞點的公切面。在此方向上，每個粒子的速度分量分別守恆。

兩球斜向撞擊的步驟流程

步驟 1：分解初始速度

• 對於粒子 1 (\(m_1\))，將 \(u_1\) 分解為：
  • \(u_{1L}\) (沿 LOI 的分量)
  • \(u_{1P}\) (沿 PDOI 的分量)
• 對粒子 2 (\(m_2\)) 做相同處理：\(u_{2L}\) 和 \(u_{2P}\)。

步驟 2：應用 PDOI 方向的守恆

垂直於撞擊線的速度分量保持不變。

• 粒子 1 的最終 PDOI 速度： \(v_{1P} = u_{1P}\)
• 粒子 2 的最終 PDOI 速度： \(v_{2P} = u_{2P}\)

步驟 3：在 LOI 方向應用 CLM 與 NEL

將此視為僅使用 LOI 分量的一維直接碰撞。現在你有兩個未知數，\(v_{1L}\) 和 \(v_{2L}\)：

CLM (LOI):

$$m_1 u_{1L} + m_2 u_{2L} = m_1 v_{1L} + m_2 v_{2L}$$

NEL (LOI):

$$v_{2L} - v_{1L} = e (u_{1L} - u_{2L})$$

解此聯立方程式以求出 \(v_{1L}\) 和 \(v_{2L}\)。

步驟 4：重組最終速度

粒子 1 的最終速度 (\(v_1\)) 是其兩個最終分量 (\(v_{1L}\) 和 \(v_{1P}\)) 的向量和。

利用畢氏定理求出大小：

$$|v_1| = \sqrt{v_{1L}^2 + v_{1P}^2}$$

利用三角函數求出方向（通常是與 LOI 的夾角）。

與固定表面的斜向撞擊

如果球體斜向撞擊固定表面，我們使用相同的原理：分解為垂直於表面和平行於表面的分量。

令 \(\alpha\) 為入射角（初始速度向量 \(u\) 與表面法線，即 LOI，之間的夾角）。

• PDOI (平行於表面 / 切線方向)： 由於表面是光滑的，沒有切向摩擦力或衝量。平行於表面的速度分量守恆：

  $$v_{\text{parallel}} = u_{\text{parallel}} = u \sin \alpha$$

• LOI (垂直於表面 / 法線方向)： 這是發生碰撞的方向。我們使用簡單的固定表面 NEL：

  $$v_{\text{normal}} = e u_{\text{normal}} = e (u \cos \alpha)$$

如果最終速度 \(v\) 與法線形成夾角 \(\beta\)，我們可以利用最終分量求出 \(\beta\)：

$$\tan \beta = \frac{v_{\text{parallel}}}{v_{\text{normal}}} = \frac{u \sin \alpha}{e u \cos \alpha} = \frac{1}{e} \tan \alpha$$