歡迎來到 Further Pure Mathematics 1：多項式方程的根！

你好！這章內容可能會讓你覺得有點棘手，因為我們不僅僅處理簡單的二次方程，還會深入到三次和四次方程。但別擔心——這其實是一個精妙的謎題！我們將學習多項式的根（解）是如何與方程中的係數（數字）產生隱秘聯繫的。掌握這些關係，你就能在不必求出具體根的情況下，解決極其複雜的問題！

為什麼這很重要？ 在進階數學（Further Mathematics）中，我們經常遇到複雜或繁瑣的根。利用這些關係可以避開繁雜的算術運算，讓解題過程變得優雅且高效。這是 Paper 1（Further Pure Mathematics 1）的必考課題。

1. 理解多項式結構

1.1 什麼是多項式？

多項式是由變量和係數組成的表達式，僅涉及加法、減法、乘法以及變量的非負整數冪。

  • 次數（Degree）是變量的最高冪次。
  • 根（Root）是使多項式等於零的 \(x\) 值。如果一個多項式次數為 \(n\)，它恰好有 \(n\) 個根（考慮重根和複數根）。

在本章中，我們將根據課程大綱，專注於次數為 2、3 和 4 的方程。

快速複習：標準式

為了正確使用根的關係，多項式必須標準化，使 \(x\) 的最高冪次的係數為 \(a\)：

  • 二次方程 (Quadratic)： \(ax^2 + bx + c = 0\)
  • 三次方程 (Cubic)： \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
  • 四次方程 (Quartic)： \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

2. 根與係數之間的關係

本章的核心在於運用韋達定理（Vieta's formulas），它將根（\(\alpha, \beta, \gamma, \dots\)）與係數的比值（\(b/a, c/a, \dots\)）聯繫起來。

2.1 二次方程

方程： \(ax^2 + bx + c = 0\)。根： \(\alpha, \beta\)。

關係如下：

1. 根之和 (S1)：
\( \sum \alpha = \alpha + \beta = - \frac{b}{a} \)

2. 根之積 (S2)：
\( \alpha\beta = \frac{c}{a} \)

例如：若 \(2x^2 - 6x + 5 = 0\)，則 \(a=2, b=-6, c=5\)。
\(\alpha + \beta = -(-6)/2 = 3\)。
\(\alpha\beta = 5/2\)。

2.2 三次方程

方程： \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)。根： \(\alpha, \beta, \gamma\)。

這裡有三個主要的對稱函數：

1. 根之和 (S1)：
\( \sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a} \)

2. 兩兩根積之和 (S2)：
\( \sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \)

3. 根之積 (S3)：
\( \alpha\beta\gamma = - \frac{d}{a} \)

！記憶小撇步：符號變換 ！

當你從係數往下排時（排除 \(a\)），符號會交替出現，從負號開始，然後是正號，再負號：

\(b\) 是負的，\(c\) 是正的，\(d\) 是負的……

這個規律適用於所有更高次數的方程！

2.3 四次方程

方程： \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)。根： \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)。

1. S1 (根之和)：
\( \sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma + \delta = - \frac{b}{a} \)

2. S2 (兩兩根積之和)：
\( \sum \alpha\beta = \alpha\beta + \dots = \frac{c}{a} \)

3. S3 (三個根積之和)：
\( \sum \alpha\beta\gamma = \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\gamma\delta + \beta\gamma\delta = - \frac{d}{a} \)

4. S4 (四個根積之和)：
\( \alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a} \)

重點總結：韋達定理模式

每次選取 \(k\) 個根的積之和公式為：

$$ S_k = \frac{(-1)^k \times (\text{Coefficient of } x^{n-k})}{(\text{Coefficient of } x^n)} $$

永遠記得要除以最高次項係數 \(a\)，並根據 \(k\) 值檢查符號！

3. 對稱函數的求值

你經常會被要求計算涉及根的表達式，例如 \(\sum \alpha^2\) 或 \(\sum \frac{1}{\alpha}\)。這些稱為對稱函數，因為即使你交換根的位置，表達式的值也不會改變。

關鍵技巧是將所需的複雜對稱函數完全轉化為基礎關係（\(S_1, S_2, S_3, \dots\)）的表達式。

3.1 經典例子：平方和 (\(\sum \alpha^2\))

如果我們有一個三次方程，根為 \(\alpha, \beta, \gamma\)，我們想求 \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\)。

我們知道基於 S1 的恆等式：

$$ (\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) $$

使用我們的求和符號，可以寫作：

$$ ( \sum \alpha )^2 = \sum \alpha^2 + 2 \sum \alpha\beta $$

重新整理以求平方和：

$$ \sum \alpha^2 = ( \sum \alpha )^2 - 2 \sum \alpha\beta $$

$$ \sum \alpha^2 = (S_1)^2 - 2(S_2) $$

對稱函數求值的步驟：

  1. 識別基礎關係 (S1, S2, S3)： 讀出係數 \(a, b, c, \dots\) 並計算 S1, S2, S3。
  2. 將所需的和與基礎關係連結： 使用代數恆等式將所需的和轉換為 S1, S2 等。
  3. 代入並計算： 將步驟 1 的數值帶入步驟 2 推導出的恆等式。
常見錯誤警示！

學生經常忘記最高次項係數 \(a\) 的重要性。請確保在代入 \((S_1)^2 - 2S_2\) 這類恆等式之前，已經計算出 \(S_1 = -b/a\)、\(S_2 = c/a\) 等值。千萬不要直接使用原始係數 \(b\) 和 \(c\)！

3.2 其他常用對稱函數

  • 倒數和：
    對於三次方程，我們要求 \(\sum \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\)。
    通分後：
    \( \sum \frac{1}{\alpha} = \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{S_2}{S_3} \)
  • 立方和 (\(\sum \alpha^3\)):
    這通常是透過將根代回原方程來推導： \(a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + d = 0\)。整理後再對所有根求和。涉及 \(\sum \alpha^3\) 的問題通常需要這類代換。
你知道嗎？
係數為有理數但根為無理數或複數的多項式，與對稱性有著深刻的聯繫，這在高等數學領域中稱為「伽羅瓦理論」（Galois Theory）。

4. 透過代換建立新方程

本節非常強大，它允許我們建立一個新的多項式，其根與原多項式的根簡單相關，且無需知道原來的根具體是多少。

假設原方程 \(f(x) = 0\) 的根為 \(\alpha, \beta, \dots\)。我們想要一個新方程 \(g(y) = 0\)，其根為 \(y = h(\alpha)\)。

4.1 代換技術（「根翻譯器」）

如果新根是 \(y\)，我們需要將舊根 \(x\) 表示為 \(y\) 的函數。這意味著要找到反函數關係： \(x = h^{-1}(y)\)。

步驟：

  1. 說明關係： 令 \(y\) 為新方程的根。寫下 \(y\) 與舊根 \(x\) 的關係。 例如：如果新根是舊根的平方，則 \(y = x^2\)。
  2. 將 \(x\) 表示為 \(y\) 的函數： 重新整理關係式使 \(x\) 成為主項。 例如：如果 \(y = x^2\)，則 \(x = \pm \sqrt{y}\)。
  3. 代入原方程： 用步驟 2 得到的 \(x\) 表達式替換原方程 \(f(x) = 0\) 中的每一個 \(x\)。
  4. 簡化並消除根號： 處理新方程以消除任何平方根或分數冪（如 \(\sqrt{y}\) 或 \(y^{1/2}\)），從而得到一個 \(y\) 的標準多項式。

4.2 常見代換（課程重點）

課程要求你能處理不給出直接代換的「簡單情況」，如倒數、平方或簡單的線性函數。

A. 倒數根 (\(y = 1/x\))

如果新根是舊根的倒數，則 \(y = 1/x\)。因此， \(x = 1/y\)。

將 \(x = 1/y\) 代入 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)：

$$ a\left(\frac{1}{y}\right)^3 + b\left(\frac{1}{y}\right)^2 + c\left(\frac{1}{y}\right) + d = 0 $$

乘以 \(y^3\) 以消除分母：

$$ a + by + cy^2 + dy^3 = 0 $$

新方程為 \(dy^3 + cy^2 + by + a = 0\)。 注意係數是如何顛倒過來的！

B. 平方根 (\(y = x^2\))

如果新根是舊根的平方，則 \(y = x^2\)，即 \(x = \sqrt{y}\)。

將 \(x = \sqrt{y}\) 代入 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)：

$$ a(\sqrt{y})^3 + b(\sqrt{y})^2 + c(\sqrt{y}) + d = 0 $$

將含有 \(\sqrt{y}\) 的項（\(x\) 的奇數次冪）與不含的項（\(x\) 的偶數次冪）分開：

$$ (ay\sqrt{y} + c\sqrt{y}) + (by + d) = 0 $$

$$ \sqrt{y}(ay + c) = -(by + d) $$

兩邊平方以消除根號：

$$ y(ay + c)^2 = (by + d)^2 $$

展開並簡化即可得到 \(y\) 的新多項式。

C. 簡單線性轉換 (\(y = kx + c\))

例如：新根是舊根的兩倍加一 (\(y = 2x + 1\))。

1. 關係式： \(y = 2x + 1\)

2. 反函數： \(x = \frac{y-1}{2}\)

3. 將此 \(x\) 表達式代入原方程 \(f(x) = 0\)。由於轉換是線性的，通常不需要平方或複雜的代數操作，只需細心展開即可。

重點總結：建立新方程

始終從定義 \(y\) 與 \(x\) 的關係開始，然後重新整理以找出 \(x\) 與 \(y\) 的關係。將 \(x = f^{-1}(y)\) 代入原方程 \(f(x) = 0\)，並將結果簡化為 \(y\) 的多項式。

章節總結複習

你已經成功完成了「多項式方程的根」（課程大綱 1.1）的核心概念：

1. 韋達定理： 使用符號交替模式，將四次及以下多項式的根（\(\sum \alpha\), \(\sum \alpha\beta\), \(\alpha\beta\gamma\)）與係數聯繫起來。

2. 對稱函數： 學會了如何將複雜的和（如 \(\sum \alpha^2\)）完全表示為基礎的韋達總和（S1, S2, S3），從而無需求出根即可計算。

3. 建立新方程： 掌握了代換技巧，利用 \(x = f^{-1}(y)\) 建立與原根相關的新多項式（例如倒數或平方）。

繼續練習那些代數運算，特別是代換方法。你一定能行！