Vectors

Further Pure Mathematics 1: 第 1.6 章 向量 (Vectors)

哈囉，歡迎來到向量這一章！你在 AS Level 的課程中已經接觸過向量，當時的重點主要在於直線和純量積（點積）。在 Further Maths 裡，我們要讓向量進入「職業級」領域：我們會進入三維空間，處理平面問題、計算面積，以及求出兩條互不相交且不平行的直線（稱為歪斜線，Skew lines）之間的最短距離。

這一章非常講究空間想像力。如果一開始覺得抽象也不用擔心，我們會把每個概念拆解開來，透過比喻來理解，並專注於 Paper 1 考試所需的必備公式。掌握這些技巧對於解決複雜的幾何問題至關重要！

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1. 溫習：純量積（點積，Scalar Product / Dot Product）

在進入新內容之前，我們先快速複習測量角度與垂直性的基礎工具——純量積。

若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)，則純量積為： \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\]

它在幾何上的定義為： \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta\] 其中 \(\theta\) 是兩向量之間的夾角。

• 關鍵用途： 如果兩個非零向量垂直（夾角 90°），則 \(\cos 90^\circ = 0\)，因此 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)。這是你判斷垂直性的首選方法！

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2. 向量積（叉積，Vector Product / Cross Product）\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)

向量積是本章最強大的新工具。與純量積（結果是一個數值）不同，向量積的結果是一個向量。

2.1 幾何定義與方向

向量積 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 是一個向量，其大小與方向定義如下：

• 大小： \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta\)。這個大小代表由向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 所構成的平行四邊形面積。
• 方向： 結果向量垂直於 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 兩者。我們用單位向量 \(\mathbf{n}\) 來表示這個方向。

因此，課程大綱將向量積定義為： \[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta \mathbf{n}\]

你知道嗎？ \(\mathbf{n}\) 的方向由右手定則 (Right-Hand Rule) 決定。如果你將手指從 \(\mathbf{a}\) 捲向 \(\mathbf{b}\)，你的大拇指指向的方向就是 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)。這意味著 \(\mathbf{b} \times \mathbf{a} = - (\mathbf{a} \times \mathbf{b})\)。順序很重要！

2.2 分量形式計算

計算 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 通常使用分量來進行。這個過程看起來很複雜，但一旦學會規律，其實就是機械式的步驟。

若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)，則： \[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{k}\]

學習貼士： 如果這個公式讓你感到卻步，可以使用行列式法（即使你在考試中不一定要寫成行列式形式）。將 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的分量寫兩次，進行交叉相乘，遮住你正在計算的單位向量對應的那一列：

計算 \(\mathbf{i}\)：忽略第一列，計算 \((a_2b_3 - a_3b_2)\)。
計算 \(\mathbf{j}\)：忽略中間列，計算 \((a_3b_1 - a_1b_3)\)。（注意，這裡是將順序調換以對應行列式計算中的正負號變化。）
計算 \(\mathbf{k}\)：忽略最後一列，計算 \((a_1b_2 - a_2b_1)\)。

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3. 平面方程

平面是三維空間中無限延伸的二維表面。平面可以用幾種等價的方式定義。課程大綱要求你理解並轉換以下三種主要形式。

3.1 笛卡兒形式 (Cartesian form)：\(ax + by + cz = d\)

這是標準的代數形式。

• 係數 \((a, b, c)\) 組成了法向量 (Normal vector) \(\mathbf{n}\)。
• 常數 \(d\) 決定了平面相對於原點的位置。

3.2 向量法線形式 (Vector normal form)：\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\)

這通常是計算中最實用的形式。

• \(\mathbf{r}\) 是平面上任意點 \((x, y, z)\) 的位置向量。
• \(\mathbf{n}\) 是法向量（垂直於平面）。
• \(p\) 是一個純量常數。如果 \(\mathbf{n}\) 是單位向量，則 \(p\) 是從原點到平面的最短距離。一般而言，\(p = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)，其中 \(\mathbf{a}\) 是平面上任意一點的位置向量。

轉換貼士： 如果你有 \(\mathbf{r} \cdot (a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}) = p\)，將 \(\mathbf{r}\) 展開為 \(x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)，即可直接得到笛卡兒形式：\(ax + by + cz = p\)。

3.3 參數向量形式 (Parametric vector form)：\(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b} + \mu \mathbf{c}\)

這種形式使用兩個方向向量來定義平面。

• \(\mathbf{a}\) 是平面上固定點的位置向量。
• \(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\) 是在平面內的非平行方向向量。
• \(\lambda\) 和 \(\mu\) 是獨立的純量參數。
• 類比： 如果直線是由沿著一個方向 (\(\mathbf{d}\)) 移動定義的，那麼平面就是由沿著兩個獨立方向 (\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\)) 移動定義的。

從參數形式轉換為法線形式：

關鍵連接點就是向量積！由於 \(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\) 都在平面內，它們的叉積必然給出法向量 \(\mathbf{n}\)： \[\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}\] 一旦有了 \(\mathbf{n}\)，計算 \(p = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)，你就能得到 \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\) 的方程。

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4. 處理直線、平面與角度的問題

在這裡，你要結合純量積和向量積來解決複雜的幾何場景。

4.1 直線與平面的關係

給定一條直線 \(\mathbf{L}: \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)（方向為 \(\mathbf{d}\)）和一個平面 \(\mathbf{\Pi}: \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\)（法向量為 \(\mathbf{n}\)），會出現三種情況：

1. 相交： 直線在某一點穿過平面。
2. 平行（不相交）： 直線平行於平面但不位於平面上。
3. 直線位於平面內： 直線平行於平面，且每一點都在平面上。

如何判斷情況：

• 步驟 1：檢查平行性。 如果直線平行於平面，其方向向量 \(\mathbf{d}\) 必須垂直於法向量 \(\mathbf{n}\)。
  檢查：\(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0\) 是否成立？
  如果 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \neq 0\)，則直線與平面相交（情況 1）。


• 步驟 2：若平行，檢查直線是否位於平面內。 如果 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0\)，直線要麼平行，要麼在平面內。取直線上一點 \(\mathbf{a}\)，檢查它是否滿足平面方程。
  檢查：\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = p\) 是否成立？
  如果成立，直線位於平面內（情況 3）。如果不成立，直線則是嚴格平行（情況 2）。

4.2 求直線與平面的交點

將直線的通用點 (\(\mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)) 代入平面方程 (\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\))：
\[(\mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}) \cdot \mathbf{n} = p\]
整理方程以求出參數 \(\lambda\)。一旦求出 \(\lambda\)，將其代回直線方程即可得到交點坐標。

4.3 從點到平面的垂足 (Foot of the perpendicular)

想像有一道雷射從點 P 直射到平面上，這個「垂足」就是光束擊中平面的點。

過程：

1. 識別給定點 \(P\)（位置向量 \(\mathbf{p}\)）和平面 (\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = p\))。
2. 由於垂線必須平行於平面的法向量，寫出通過 P 且方向為 \(\mathbf{n}\) 的直線 L 的方程： \[\mathbf{r} = \mathbf{p} + \lambda \mathbf{n}\]
3. 找出這條新直線 L 與平面 \(\Pi\) 的交點（使用 4.2 中的方法）。
4. 這個交點就是垂足。

4.4 涉及平面的角度

處理角度時，記住這個黃金法則：法向量 \(\mathbf{n}\) 是你最好的朋友。

兩個平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 之間的夾角

兩平面之間的夾角等於它們法向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\) 之間的夾角。
使用純量積公式： \[\cos \theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\]

注意：我們使用絕對值 \(| \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 |\) 來確保計算出的夾角 \(\theta\) 始終是銳角（介於 0° 和 90° 之間），這是平面夾角的標準約定。

直線 L (方向 \(\mathbf{d}\)) 與平面 \(\Pi\) (法向量 \(\mathbf{n}\)) 之間的夾角

這是常見的陷阱！ 使用 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}\) 計算出的角度並不是你所求的角度。

如果你使用公式 \(\cos \alpha = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}\)，你求出的是直線與法向量之間的夾角 \(\alpha\)。由於法向量垂直於平面，你真正需要的夾角 \(\theta\) 為： \[\theta = 90^\circ - \alpha\]

或者，你可以直接計算 \(\sin \theta\)： \[\sin \theta = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}\] （因為 \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\)。）

4.5 兩個平面的交線 (求直線方程)

當兩個非平行平面相交時，它們會形成一條直線 L。

交線必須垂直於兩個平面的法向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\)。

• 步驟 1：求方向向量 \(\mathbf{d}\)。 使用向量積： \[\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2\]
• 步驟 2：求公共點 \(\mathbf{a}\)。 為其中一個坐標指定數值（例如 \(z=0\) 或 \(y=0\)），然後解剩下的兩個未知數組成的聯立方程。
• 步驟 3：寫出直線方程。 使用公共點 \(\mathbf{a}\) 和方向 \(\mathbf{d}\)：\(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{d}\)。

5. 兩條歪斜線之間的最短距離

如果兩條直線既不平行又不相交，它們就是歪斜線 (Skew lines)（想像立方體上兩條互不鄰接的邊）。計算歪斜線之間的最短距離通常被認為是向量章節中最棘手的部分。

設直線方程為： \[\mathbf{L}_1: \mathbf{r} = \mathbf{a}_1 + \lambda \mathbf{d}_1\] \[\mathbf{L}_2: \mathbf{r} = \mathbf{a}_2 + \mu \mathbf{d}_2\]

5.1 求公垂線的方向

代表最短距離的直線必須垂直於 \(\mathbf{d}_1\) 和 \(\mathbf{d}_2\)。我們使用向量積求出這條公垂線 (Common perpendicular) \(\mathbf{N}\) 的方向： \[\mathbf{N} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2\]

5.2 計算最短距離 (D)

最短距離 D 是連接兩條直線上固定點的向量 \((\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)\) 在公垂線方向 \(\mathbf{N}\) 上的投影。

公式為： \[D = \left| \frac{(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) \cdot \mathbf{N}}{|\mathbf{N}|} \right|\]

類比： 想像直線 1 和直線 2 是兩根水管。\(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1\) 是連接水管 1 上任意點到水管 2 上任意點的向量。最短距離 D 就是將這個連接向量投影到最短、最垂直的路徑 \(\mathbf{N}\) 上而得到的。

5.3 求公垂線方程

這是一個延伸部分，要求你找出 \(\mathbf{L}_1\) 上的點 P 和 \(\mathbf{L}_2\) 上的點 Q，這兩點決定了最短距離。

1. 分別令 \(P\) 和 \(Q\) 為 \(\mathbf{L}_1\) 和 \(\mathbf{L}_2\) 上的通用點，分別使用參數 \(\lambda\) 和 \(\mu\)。
2. 向量 \(\vec{PQ}\) 必須平行於公垂線 \(\mathbf{N}\)（即 \(\vec{PQ} = k\mathbf{N}\) 或 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_1 = 0\) 且 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_2 = 0\)）。
3. 建立兩個方程：\(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_1 = 0\) 和 \(\vec{PQ} \cdot \mathbf{d}_2 = 0\)。
4. 聯立求解 \(\lambda\) 和 \(\mu\)。
5. 將 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 代回直線方程求出 P 和 Q 的坐標。
6. 公垂線方程為 \(\mathbf{r} = \mathbf{p} + \tau (\mathbf{q} - \mathbf{p})\)。