學習筆記：純數三 (Paper 3)
第 3.9 章：複數 (Complex Numbers)
歡迎來到複數的世界！如果這聽起來讓你感到害怕，請別擔心——這只是了解如何處理常規數字無法解決的方程式的一種巧妙方法。本章將代數、幾何與三角學連結起來，使其成為高等數學中最有力且優美的工具之一。你將在電子工程、量子力學和流體力學等領域中用到這些基礎知識。
我們的旅程將從使複數成為可能的概念開始：虛數單位。
1. 基礎概念：引入 \(i\) 與笛卡兒形式 (Cartesian Form)
在引入複數之前，像 \(x^2 + 1 = 0\) 這樣的方程式在實數系統中是無解的。複數透過發明一個新的數字解決了這個問題。
虛數單位 \(i\)
虛數單位，記作 \(i\)，其定義為：
$$i^2 = -1$$
$$i = \sqrt{-1}$$
由此，\(i\) 的冪次呈現循環規律：
$$i^1 = i$$
$$i^2 = -1$$
$$i^3 = -i$$
$$i^4 = 1$$
(這個循環每四個冪次重複一次，這是一個很好的記憶技巧！)
定義與關鍵術語（笛卡兒形式）
一個複數通常記作 \(z\)，以笛卡兒形式寫為：
$$z = x + iy$$其中 \(x\) 與 \(y\) 為實數。
• \(z\) 的實部 (Real Part) 為 \(x\)。 (符號表示：\(\text{Re}z = x\))
• \(z\) 的虛部 (Imaginary Part) 為 \(y\)。 (符號表示：\(\text{Im}z = y\)。注意：虛部是實數 \(y\)，而不是 \(iy\)！)
• 兩個複數 \(z_1\) 與 \(z_2\) 相等的充要條件是，它們的實部相等且虛部相等。
1.1 笛卡兒形式的算術運算
對笛卡兒形式 (\(x + iy\)) 的複數進行運算，通常與處理含 \(x\) 和 \(y\) 的代數式類似，但切記關鍵在於 \(i^2 = -1\)。
A. 加法與減法： 將實部與虛部分別相加或相減。
例子： 若 \(z_1 = 3 + 4i\) 且 \(z_2 = 1 - i\)。
$$z_1 + z_2 = (3+1) + (4i - i) = 4 + 3i$$
B. 乘法： 像展開二項式一樣相乘，記得將 \(i^2\) 替換為 \(-1\)。
例子： 若 \(z_1 = 3 + 4i\) 且 \(z_2 = 1 - i\)。
$$z_1 z_2 = (3)(1) + (3)(-i) + (4i)(1) + (4i)(-i)$$
$$z_1 z_2 = 3 - 3i + 4i - 4i^2$$
$$z_1 z_2 = 3 + i - 4(-1) = 7 + i$$
C. 除法（共軛複數技巧）： 除法需要一個特殊的技巧來分母有理化。
共軛複數 (\(z^*\))
\(z = x + iy\) 的共軛複數為 \(z^* = x - iy\)。你只需要改變虛部的符號即可。
• 你知道嗎？ 當你將一個複數乘以它的共軛複數時，結果總是一個實數（這是一種消除分母中 \(i\) 的絕佳方法！）。
$$z z^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2$$
除法步驟說明
要計算 \(z_1 \div z_2\)，需將分子與分母同時乘以分母的共軛複數 \(z_2^*\)：
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \times \frac{z_2^*}{z_2^*}$$例子： 化簡 \(\frac{3 + 4i}{1 - i}\)。(\(1 - i\) 的共軛為 \(1 + i\))。
$$ \frac{3 + 4i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3+4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$
$$ \text{分子：} 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i - 4 = -1 + 7i$$
$$ \text{分母：} 1^2 + 1^2 = 2$$
$$ \text{結果：} \frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i $$
1.2 多項式方程式與共軛根
這是解多項式方程式的一個基本結論：
• 如果一個多項式方程式擁有實係數，那麼任何非實數（複數）的根必須成共軛對出現。
比喻： 如果你有一對耳環，其中一隻是複數 (\(a+ib\))，另一隻就一定是它的共軛複數 (\(a-ib\))。
含義： 如果題目告訴你 \(z=1+2i\) 是一個實係數三次方程式的根，你立刻就會知道 \(z^* = 1-2i\) 也一定是它的根。
第 1 節重點總結： 像處理代數一樣處理複數算術，但要靈活運用 \(i^2 = -1\)。做除法時，永遠記得使用分母的共軛複數。
2. 幾何表示法：阿爾岡圖 (Argand Diagram)
正如我們使用 \(xy\) 平面來表示實數一樣，我們使用阿爾岡圖來繪製複數。這讓我們能在幾何上直觀地理解複數運算。
• 水平軸是實軸 (Real Axis) (\(x\))。
• 垂直軸是虛軸 (Imaginary Axis) (\(y\))。
複數 \(z = x + iy\) 被繪製為點 \((x, y)\)，或表示為從原點指向該點的位置向量。
2.1 模 (Modulus) 與幅角 (Argument)（極坐標）
在阿爾岡圖中，\(z\) 的位置可以用距離與方向來描述，即模與幅角。
A. 模 (\(|z|\) 或 \(r\))：
模是指從原點到點 \(z\) 的距離。它永遠是非負數。
比喻： 這其實就是勾股定理！
B. 幅角 (\(\arg z\) 或 \(\theta\))：
幅角是指正實軸與連接原點到 \(z\) 的線段之間的夾角。
• 幅角通常以弧度 (radians) 為單位。
• 主幅角 (Principal argument) 通常定義在區間 \(-\pi < \theta \leq \pi\) 內（如果題目另有規定，則可能是 \(0 \leq \theta < 2\pi\)）。
計算幅角：
1. 找出參考角 \(\alpha = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|\)（始終使用 \(x\) 與 \(y\) 的正值）。
2. 判斷 \(z = x + iy\) 所在的象限：
• 第一象限 (\(x>0, y>0\))：\(\theta = \alpha\)
• 第二象限 (\(x<0, y>0\))：\(\theta = \pi - \alpha\)
• 第三象限 (\(x<0, y<0\))：\(\theta = -(\pi - \alpha)\) 或 \(\theta = \alpha - \pi\)
• 第四象限 (\(x>0, y<0\))：\(\theta = -\alpha\)
常見錯誤： 計算機上的 \(\tan^{-1}\) 函數只會返回第一或第四象限的結果。你必須檢查 \(x\) 與 \(y\) 的正負號，將複數放置在正確的象限，並相應地調整角度！
第 2 節重點總結： 模是距離，使用勾股定理計算。幅角是角度，使用 arctan 計算，並根據 \(x\) 與 \(y\) 的正負號調整到正確象限。
3. 極形式與指數形式 (\(re^{i\theta}\))
一旦我們有了模 \(r\) 與幅角 \(\theta\)，我們就可以用極形式 (Polar Form) 來表示 \(z\)：
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$以及非常方便的指數形式 (Exponential Form)：
$$z = re^{i\theta}$$這些形式對於快速進行乘法與除法至關重要，特別是在處理高次冪時（雖然超過簡單平方的高次冪通常留待高等數學 Further Maths 探討）。
3.1 極形式下的乘法與除法
若 \(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) 且 \(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\)：
A. 乘法： 模相乘，幅角相加。
$$z_1 z_2 = (r_1 r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$• 模：\(|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = r_1 r_2\)
• 幅角：\(\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 = \theta_1 + \theta_2\)
幾何效果： 乘以 \(z_2\) 會將 \(z_1\) 拉伸 \(r_2\) 倍，並逆時針旋轉 \(\theta_2\) 角度。
B. 除法： 模相除，幅角相減。
$$\frac{z_1}{z_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right) e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$• 模：\(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}\)
• 幅角：\(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2 = \theta_1 - \theta_2\)
第 3 節重點總結： 極形式簡化了乘法（\(r\) 相乘，\(\theta\) 相加）與除法（\(r\) 相除，\(\theta\) 相減）。
4. 進階運算與軌跡 (Loci)
4.1 尋找複數的兩個平方根
求 \(\sqrt{w}\)（其中 \(w = a + ib\)）會得到兩個複數根，即 \(z = x + iy\)。
過程（使用笛卡兒形式）：
1. 假設平方根為 \(z = x + iy\)。
2. 將兩邊平方：\((x + iy)^2 = a + ib\)。
$$x^2 + 2ixy + (iy)^2 = a + ib$$
$$x^2 - y^2 + i(2xy) = a + ib$$
3. 比較實部與虛部，建立聯立方程式：
$$ \text{實部：} x^2 - y^2 = a \quad \quad \text{(方程式 1)}$$
$$ \text{虛部：} 2xy = b \quad \quad \text{(方程式 2)}$$
4. 使用方程式 2 將 \(y\) 以 \(x\) 表示（或反之），並代入方程式 1。
5. 解 \(x\)（這通常會得出關於 \(x^2\) 的二次方程式）。找出對應的 \(y\) 值。
6. 由於 \(b\) 可能是正數或負數，請使用 \(2xy = b\) 檢查正負號。若 \(b\) 為正，\(x\) 與 \(y\) 同號；若 \(b\) 為負，\(x\) 與 \(y\) 異號。
注意：考試時必須完整展示推導過程。
4.2 阿爾岡圖中的軌跡 (Loci)
軌跡 (Locus) 是滿足特定幾何條件的點集。在複數中，簡單的方程式或不等式定義了阿爾岡圖中的特定形狀。
令 \(z\) 為一般點，\(a\) 與 \(b\) 為對應於點 \(A\) 與 \(B\) 的固定複數。
情況 1：與固定點的距離 (\(|z - a| = k\))
• 式子 \(|z - a|\) 代表點 \(z\) 與固定點 \(a\) 之間的距離。
• 軌跡：以 \(A\) 為圓心，半徑為 \(k\) 的圓。
$$|z - (1 + 2i)| = 3$$ 解讀： 所有距離點 \((1, 2)\) 正好 3 個單位的點 \(z\)。（如果是不等式如 \(< k\)，則為圓的內部。）
情況 2：與兩固定點等距 (\(|z - a| = |z - b|\))
• \(z\) 到 \(a\) 的距離等於 \(z\) 到 \(b\) 的距離。
• 軌跡：線段 \(AB\) 的垂直平分線 (Perpendicular Bisector)。
$$|z - 4| = |z - 2i|$$ 解讀： 所有到 \(A(4, 0)\) 與 \(B(0, 2)\) 等距的點 \(z\)。
情況 3：幅角為定值 (\(\arg(z - a) = \alpha\))
• 這代表向量 \(\vec{AZ}\) 與正實軸所成的角度。
• 軌跡：從固定點 \(A\) 出發的半直線或射線 (Ray)。
$$\arg(z - (-2)) = \frac{\pi}{4}$$ 解讀： 從 \(A(-2, 0)\) 出發，以 \(45^\circ\) (\(\pi/4\) 弧度) 角度延伸的射線。點 \(A\) 本身不包含在軌跡中，因為幅角在向量的原點處未定義。
C. 共軛與算術的幾何效果：
• 共軛 (\(z \to z^*\))： 這是關於實軸的鏡像反射。
• 加法/減法 (\(z_1 \pm z_2\))： 這是向量加法/減法（平行四邊形法則）。
• 乘法/除法： 這些運算會導致旋轉與縮放（詳見極形式章節）。
第 4 節重點總結： 複數方程式通常定義了基本的幾何圖形。請牢記三種主要的軌跡類型（圓、垂直平分線、射線）。