Coordinate geometry

🧠 純數 1 (9709) 學習筆記：坐標幾何 (1.3)

你好，未來的數學家！歡迎來到坐標幾何的世界。這一章非常重要，因為它將你已經熟悉的代數知識與你可以具象化的圖形和幾何直接聯繫起來。

你可以把這一章想像成學習「如何解讀地圖」的數學規則。一旦掌握了這些規則，你就能計算距離、找出中點，並精確地描述直線或曲線（如圓形）在空間中的位置。打好這一章的基礎，對於之後學習「微分」和「積分」至關重要！

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第一節：直線的基礎

坐標幾何的基石在於計算兩點 A \((x_1, y_1)\) 與 B \((x_2, y_2)\) 之間的這三個基本屬性。

1.1 點與線段的關鍵公式

A. 距離 (長度)

這能告訴你兩點之間的距離有多遠。我們使用畢氏定理 (Pythagoras theorem) 來求解。

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

比喻：如果你向東走 3 個單位（x 的變化），再向北走 4 個單位（y 的變化），那麼直線距離（斜邊）就是 5 個單位。

B. 中點 (Midpoint)

中點就是兩點位置的平均值。

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

C. 斜率 (Gradient), \(m\)

斜率衡量直線的陡峭程度。它是垂直變化（上升量）與水平變化（平移量）的比值。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

重點提示： 如果 \(m\) 為正值，直線向上傾斜（從左到右）；如果 \(m\) 為負值，直線向下傾斜。

1.2 直線方程的形式

你需要熟練使用以下三種不同形式的直線方程：

1. 斜截式 (Gradient-Intercept Form): \(y = mx + c\)

• \(m\) 是斜率。
• \(c\) 是 y 軸截距（直線與 y 軸相交的位置）。
• 最適合繪圖或快速辨識斜率與截距。

2. 點斜式 (Point-Gradient Form): \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

• 如果你已知斜率 \(m\) 和線上一點 \((x_1, y_1)\)，這是求直線方程最高效的形式。

3. 一般式 (General Form): \(ax + by + c = 0\)

• \(a, b,\) 和 \(c\) 為整數。
• 最適合處理聯立方程（用以求交點）。

1.3 平行線與垂直線

斜率 \(m\) 是理解直線幾何關係的關鍵。

A. 平行線

當且僅當兩條直線具有相同的斜率時，它們才平行。

$$m_1 = m_2$$

B. 垂直線

如果兩條直線的斜率乘積為 \(-1\)，則它們垂直（相交成 90° 角）。

$$m_1 \times m_2 = -1 \quad \text{或} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

記憶小撇步： 要找到垂直線的斜率，必須「倒數再變號」（取其倒數並改變正負號）。
例子：如果 \(m_1 = \frac{2}{3}\)，那麼 \(m_2 = -\frac{3}{2}\)。

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第二節：直線與曲線的交互作用

當解決涉及直線和曲線（特別是二次曲線或另一條直線）的問題時，題目通常要求你找出它們的交點，或者確定它們相交的條件。

2.1 求交點

兩圖形的交點代表它們的方程在聯立求解時的解。

解題步驟：

1. 將兩個方程相等（通常是將直線方程 \(y = mx + c\) 代入二次方程中）。
2. 將所得方程整理成標準二次方程形式：\(Ax^2 + Bx + C = 0\)。
3. 解二次方程求出 \(x\)（透過因式分解、公式法或配方法）。
4. 將 \(x\) 的值代回直線方程，求出對應的 \(y\) 值。

你知道嗎？ 所求得的 \((x, y)\) 點就是同時滿足兩個方程的唯一解。

2.2 使用判別式判斷交點性質

若你有一個二次方程 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)，判別式 (Discriminant)，\(\Delta\)，能告訴你根的性質（圖形相交的次數）。

$$\Delta = B^2 - 4AC$$

• 若 \(\Delta > 0\)：有兩個不同的實根。直線與曲線在兩個不同點相交。
• 若 \(\Delta = 0\)：有一個重根。直線是曲線的切線（僅在一個點與曲線接觸）。
• 若 \(\Delta < 0\)：無實根。直線與曲線完全不相交。

此方法常用於求未知常數（如 \(k\)）的取值範圍，例如當直線 \(y = x + k\) 切於某條二次曲線時。

🚫 常見錯誤警示

求解交點時，請務必先將直線方程代入曲線方程，然後在套用判別式之前，將其簡化為 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 的形式。千萬不要直接使用原曲線方程的係數！

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第三節：探索圓形

圓由其固定的圓心和半徑來定義。你需要熟練使用兩種圓的方程形式，並應用關鍵的幾何屬性。

3.1 圓的標準方程

如果一個圓的圓心為 \((a, b)\)，半徑為 \(r\)，其方程為：

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

例子：圓心為 \((3, -2)\)，半徑為 5 的圓，方程為 \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)。

3.2 求圓心與半徑 (配方法)

有時圓的方程會以展開式給出：\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)。要找出圓心和半徑，必須使用配方法 (Completing the Square)。

解題步驟：

1. 將 \(x\) 項和 \(y\) 項分組：
   \((x^2 + 2gx) + (y^2 + 2fy) + c = 0\)
2. 分別對 \(x\) 項和 \(y\) 項配方：
   \((x + g)^2 - g^2 + (y + f)^2 - f^2 + c = 0\)
3. 整理成標準形式 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)：
   $$(x + g)^2 + (y + f)^2 = g^2 + f^2 - c$$

從最終的標準形式中，你可以立刻辨識出：

• 圓心： \((-g, -f)\)
• 半徑： \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)

如果剛開始覺得這很複雜也不用擔心。多練習一般方程的配方，這很快就會變成你的直覺！

3.3 圓與直線的幾何屬性

在解決涉及切線、交點或弦的問題時，請依賴這些基礎幾何事實：

• 切線與半徑垂直： 圓的切線永遠與切點處的半徑垂直。（這裡要用到 \(m_1 m_2 = -1\) 的規則！）
• 半圓內的角： 直徑所對的圓周角永遠是直角 (\(90^\circ\))。
• 弦的垂直平分線： 圓中任何一條弦的垂直平分線，必通過圓心。

應用範例： 如果題目要求你在 P 點的切線方程，你需要先求出半徑的斜率（從圓心到 P 點）。接著，切線的斜率就是半徑斜率的負倒數。