掌握微分法（純數 Pure Mathematics 2）
歡迎來到純數 P2 的微分章節！如果你已經掌握了 P1 的微分基礎，那你應該知道微分的核心在於求取曲線的變率（rate of change），也就是斜率。
在 P2 中，我們將會進一步提升這些技巧，引入如 \(e^x\)、\(\ln x\) 以及進階三角函數等新穎且有趣的函數。同時，我們也會學習強大的新法則——乘法法則（Product Rule）、除法法則（Quotient Rule）、隱函數微分法（Implicit Differentiation）以及參數微分法（Parametric Differentiation），這些法則讓我們幾乎能對任何函數組合進行微分。
熟練這些技巧至關重要，因為它們是後續 Paper 3 微積分內容的基石！
1. P2 微分基礎：你的新工具箱
在 P1 中，你主要使用的是幂法則（power rule）來處理 \(x^n\)。在 P2，你需要將以下五個基本微分公式熟記於心。它們通常會與連鎖律（chain rule）結合在一起考查。
重點複習：核心微分公式 (\(f(x) \rightarrow f'(x)\))
-
指數函數：
若 \(y = e^x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = e^x\)。
（類比：\(e^x\) 是「微積分之王」——微分後它依然保持不變。這是唯一一個微分後仍等於自身的函數！） -
自然對數函數：
若 \(y = \ln x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\)。 -
正弦函數：
若 \(y = \sin x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \cos x\)。 -
餘弦函數：
若 \(y = \cos x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = -\sin x\)。
（記憶小撇步：任何以「C」開頭的三角函數（\(\cos x\)、\(\cot x\)、\(\csc x\)），其導數必定帶有負號！） -
正切函數：
若 \(y = \tan x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x\)。
複合函數法則（連鎖律複習）
連鎖律（Chain Rule）對於處理函數中的函數（複合函數）至關重要，在 P2 的新函數中頻繁出現。
若 \(y = f(g(x))\)，則 \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \times g'(x)\)。
處理複合函數的步驟：
- 對外層函數進行微分（同時保持內部函數不變）。
- 將結果乘以內層函數的導數。
例題： 微分 \(y = e^{4x^2 - 1}\)。
1. 外層函數是 \(e^u\)，其導數為 \(e^{4x^2 - 1}\)。
2. 內層函數是 \(4x^2 - 1\)，其導數為 \(8x\)。
因此，\(\frac{dy}{dx} = 8x \cdot e^{4x^2 - 1}\)。
關鍵要點： 務必熟練掌握 \(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\) 和 \(\tan x\) 的微分。隨時檢查是否需要對複合函數應用連鎖律。
2. 乘法與除法微分法
當兩個關於 \(x\) 的函數相乘或相除時，不能簡單地分別微分。你必須使用乘法法則或除法法則。
2.1. 乘法法則（Product Rule）
用於微分形式為 \(y = u \cdot v\) 的函數，其中 \(u\) 和 \(v\) 均為 \(x\) 的函數。
公式： \(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)（也可以寫作 \(u v' + v u'\)）
步驟：
- 定義 \(u\) 和 \(v\)，並求出它們的導數 \(\frac{du}{dx}\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)。
- 代入公式計算。
例題： 求 \(y = x^2 \ln x\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
設 \(u = x^2\)，則 \(\frac{du}{dx} = 2x\)。
設 \(v = \ln x\)，則 \(\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\)。
\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = x^2 \left( \frac{1}{x} \right) + (\ln x) (2x)\)
\(\frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x\)。
2.2. 除法法則（Quotient Rule）
用於微分形式為 \(y = \frac{u}{v}\) 的函數，其中 \(u\) 和 \(v\) 均為 \(x\) 的函數。
公式： \(\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)（也可以寫作 \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)）
記憶小撇步： 許多同學記為「低乘上微減上乘低微，再除以低平方」（即先對分母（low）進行處理）。
例題： 求 \(y = \frac{2x - 4}{3x + 2}\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
設 \(u = 2x - 4\)，則 \(\frac{du}{dx} = 2\)。
設 \(v = 3x + 2\)，則 \(\frac{dv}{dx} = 3\)。
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x+2)(2) - (2x-4)(3)}{(3x+2)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 4 - (6x - 12)}{(3x+2)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{16}{(3x+2)^2}\)。
常見錯誤： 在應用除法法則時，次序非常重要！分子部分一定要先寫分母（\(v\)）乘上分子的導數（\(u'\)）。
關鍵要點： 乘法用 \(u v' + v u'\)，除法用 \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)。
3. 隱函數微分法（Implicit Differentiation）
有時，定義曲線的方程式中 \(x\) 和 \(y\) 混在一起，要將其整理為 \(y = f(x)\) 的形式非常困難甚至不可能。這就是隱函數（implicit function）（例如 \(x^2 + y^2 = xy + 7\)）。
我們使用隱函數微分法，透過對所有項進行關於 \(x\) 的微分來求出 \(\frac{dy}{dx}\)。
對 \(y\) 項進行微分的關鍵步驟
每當你對包含 \(y\) 的項進行微分時，必須將 \(y\) 視為 \(x\) 的函數，並應用連鎖律。
若 \(f(y)\) 是 \(y\) 的函數，則 \(\frac{d}{dx}[f(y)] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)。
- 微分 \(y^2\) 變成 \(2y \cdot \frac{dy}{dx}\)。
- 微分 \(\sin(y)\) 變成 \(\cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)。
隱函數微分法步驟
例題： 求 \(x^2 + y^2 = xy + 7\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
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逐項對 \(x\) 微分：
\(\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(7)\)
（注意：對於 \(xy\) 項，我們使用乘法法則，設 \(u=x, v=y\)） -
套用微分規則及 \(y\) 的連鎖律：
\(2x + 2y \frac{dy}{dx} = \left[ x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 \right] + 0\) -
將所有 \(\frac{dy}{dx}\) 項移至同一側：
\(2y \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - 2x\) -
提取 \(\frac{dy}{dx}\) 並求出結果：
\(\frac{dy}{dx} (2y - x) = y - 2x\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}\)
關鍵要點： 隱函數微分法本質上就是將連鎖律應用於 \(y\)。每當微分一個包含 \(y\) 的項，記得乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
4. 參數微分法（Parametric Differentiation）
在 P2 中，曲線可能會由第三個變數（通常是 \(t\)，稱為參數）來定義。我們不再是 \(y = f(x)\)，而是分別有 \(x\) 和 \(y\) 對 \(t\) 的函數定義（例如 \(x = 2t^3, y = 3t^2\)）。
要找出 \(\frac{dy}{dx}\)，我們使用連鎖律的變形公式：
參數微分公式
公式： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)
參數微分步驟
例題： 曲線定義為 \(x = t - e^{2t}\) 及 \(y = t + e^{2t}\)。求 \(\frac{dy}{dx}\)。
-
求 \(\frac{dx}{dt}\)：
\(\frac{dx}{dt} = 1 - 2e^{2t}\) （記得對 \(e^{2t}\) 使用連鎖律） -
求 \(\frac{dy}{dt}\)：
\(\frac{dy}{dt} = 1 + 2e^{2t}\) -
代入公式：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 + 2e^{2t}}{1 - 2e^{2t}}\)
你知道嗎？ 參數方程非常適合描述物體運動，其中 \(t\) 代表時間，讓我們能得出物體在任何時刻的確切位置 \((x, y)\)。
關鍵要點： 分別對參數 \(t\) 微分 \(x\) 和 \(y\)，然後用 \(\frac{dy}{dt}\) 除以 \(\frac{dx}{dt}\)。
5. 微分法的應用
5.1. 切線與法線
核心應用與 P1 相同，但現在你需要將其應用於複雜的 P2 函數（包括隱函數和參數形式）。
- 在點 \((x_0, y_0)\) 處，切線（Tangent）的斜率為 \(m_T = \frac{dy}{dx}\) 在該點的值。
- 法線（Normal，與切線垂直）的斜率為 \(m_N = -\frac{1}{m_T}\)。
- 使用直線方程 \(y - y_0 = m(x - x_0)\) 求出直線方程式。
5.2. 相關變率（Connected Rates of Change）
此應用連結了隨時間變化的不同變數（例如：若球體半徑以特定速率增加，球體體積增加的速率為何）。
我們使用連鎖律結構來連結變率：
若 \(A\) 依賴於 \(B\)，而 \(B\) 又依賴於時間 \(t\)，則 \(A\) 對 \(t\) 的變率為：
$$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dB} \times \frac{dB}{dt}$$
例題： 圓形油漬的半徑 \(r\) 正以 \(0.5 \text{ m/s}\) 的速率增加（\(\frac{dr}{dt} = 0.5\)）。求當 \(r=10 \text{ m}\) 時，面積 \(A\) 增加的速率（\(\frac{dA}{dt}\)）。
- 確定關係式： \(A = \pi r^2\)。
- 找出導函數連結： \(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\)。
- 應用連鎖律： \(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)。
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代入計算： \(\frac{dA}{dt} = (2\pi r) \times (0.5)\)。
當 \(r=10\) 時：\(\frac{dA}{dt} = (2\pi \cdot 10) \times 0.5 = 10\pi \text{ m}^2/\text{s}\)。
關鍵要點： 相關變率問題總是依賴於三個變數的連結，其中包含兩個已知的變率以及一個透過公式（如面積或體積）計算出的導數。
快速複習：P2 微分關鍵技巧
- 新導數： \(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\tan x\)。
- 乘法法則 (UV)： \(u v' + v u'\)。
- 除法法則 (U/V)： \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)。
- 隱函數： 微分 \(y\) 項時，記得乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 參數方程： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)。