Functions

純粹數學 1 (試卷 1) 學習筆記：函數 (1.2)

歡迎來到函數的世界！這一章至關重要——它是微積分、積分以及更高階數學的根基。若能在這裡打好基礎，你之後的 AS/A Level 學習之路將會順暢許多。讓我們開始吧！

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1. 函數的定義、定義域 (Domain) 與值域 (Range)

函數只是一個將輸入值對應到輸出值的規則，但有一個關鍵條件：對於每一個輸入值，都必須且只能有一個對應的輸出值。

比喻：將函數 \(f\) 想成一台高科技自動販賣機。如果你按下輸入「A」的按鈕，你一定會得到輸出「B」。如果按「A」有時會掉出「B」，有時又掉出「C」，那它就不算是個函數了！

必須掌握的術語

• 函數記法： 我們寫成 \(y = f(x)\)。例如，\(f(x) = x^2 - 1\) 或 \(f: x \to x^2 - 1\)。
• 定義域 (Domain)： 指函數能夠接受的所有可能的輸入值（\(x\) 值）集合。
• 值域 (Range)： 指函數根據其定義域所產生的所有實際輸出值（\(y\) 值）集合。

如何確定定義域（輸入）

一般來說，除非遇到以下兩種常見情況，否則定義域通常假定為所有實數 (\(x \in \mathbb{R}\))：

1. 分母為零： 分數的分母絕對不能為零。
   例子：對於 \(f(x) = \frac{1}{x-3}\)，定義域不能包含 \(x=3\)。
2. 負數開平方根： 在 Pure 1 中，負數不能開平方根。
   例子：對於 \(g(x) = \sqrt{x+5}\)，定義域必須滿足 \(x \ge -5\)。

如何確定值域（輸出）

求值域通常透過繪製圖像，或使用代數技巧（如配方法，特別是對於二次函數）來得出。

例子：給定 \(f(x) = x^2 + 4\)，定義域為 \(x \in \mathbb{R}\)。

• 由於 \(x^2 \ge 0\)，\(x^2 + 4\) 的最小值為 \(0 + 4 = 4\)。
• 因此，值域為 \(f(x) \ge 4\)。

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2. 一對一函數與多對一函數

函數的類型決定了我們能否求出反函數。我們主要關注兩種類型：

一對一函數 (One-One Function)

如果每個不同的輸入值都對應到不同的輸出值，該函數就是一對一（或稱為單射）的。沒有任何兩個輸入值會對應到同一個輸出值。

• 例子：\(f(x) = 2x + 1\)
• 檢測方法： 使用水平線測試 (Horizontal Line Test)。若任何水平線與函數圖像的交點多於一個，它就不是一對一函數。

多對一函數 (Many-One Function)

如果有兩個或以上的輸入值對應到同一個輸出值，該函數就是多對一（或稱為滿射）的。

• 例子：\(f(x) = x^2\)。當 \(x=2\) 和 \(x=-2\) 時，\(f(x)\) 同樣都等於 4。

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3. 複合函數 (Composite Functions)

當你連續使用兩個函數時，就會形成複合函數。這是一個將第一個函數的輸出直接作為第二個函數輸入的過程。

記法與順序

• 若有函數 \(f\) 和 \(g\)：
• \(fg(x)\)： 這代表先執行 \(g\)，再將結果代入 \(f\)。(由內向外計算：\(f(g(x))\))。
• \(gf(x)\)： 這代表先執行 \(f\)，再將結果代入 \(g\)。(\(g(f(x))\))。
• \(f^2(x)\) 或 \(ff(x)\)： 這代表將 \(f(x)\) 的結果再代入 \(f\) 一次。

逐步範例

設 \(f(x) = 3x - 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。求 \(fg(x)\)。

1. 從 \(f(g(x))\) 開始。將 \(g(x)\) 替換為定義：\(f(x^2)\)。
2. 現在，觀察函數 \(f\)。\(f\) 的運算規則是將輸入值乘以 3，然後減 1。
3. 因為現在的輸入值是 \(x^2\)，我們得到：\(3(x^2) - 1\)。
4. 結果：\(fg(x) = 3x^2 - 1\)。

相容性限制（課程重點）

為了能成功形成複合函數 \(fg\)，\(g\) 的值域必須包含在 \(f\) 的定義域之中。

你知道嗎？如果 \(g\) 的輸出值為 10，但 \(f\) 只定義在小於 5 的輸入值，那麼複合函數 \(fg\) 就無法存在（或者必須限制其定義域）。

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4. 反函數 (\(f^{-1}\))

反函數會逆轉 \(f(x)\) 的過程。如果 \(f\) 將 2 對應到 5，那麼 \(f^{-1}\) 就會將 5 對應回 2。

定義域與值域的互換

• \(f^{-1}\) 的定義域即為 \(f\) 的值域。
• \(f^{-1}\) 的值域即為 \(f\) 的定義域。

這對於正確定義反函數至關重要，特別是在處理有限制定義域的情況時。

逐步教學：如何透過代數求反函數

求 \(h(x) = (2x + 3)^2 - 4\) 在定義域 \(x < -1.5\) 下的反函數。

1. 令 \(y = h(x)\)： \(y = (2x + 3)^2 - 4\)。
2. 互換 \(x\) 和 \(y\)： \(x = (2y + 3)^2 - 4\)。
3. 分離 \(y\)（移項）：
   • \(x + 4 = (2y + 3)^2\)
   • \(\pm \sqrt{x+4} = 2y + 3\)
4. 確定正負號與最終值域：
   • 原定義域為 \(x < -1.5\)。這意味著 \(2x + 3 < 0\)。
   • 由於 \(2y+3\) 必須為負（因為 \(y\) 是反函數的輸出/值域，必須對應原函數的定義域），我們選擇負平方根。
   • \(- \sqrt{x+4} = 2y + 3\)
   • \(2y = -3 - \sqrt{x+4}\)
   • \(y = \frac{-3 - \sqrt{x+4}}{2}\)
5. 寫出反函數： \(h^{-1}(x) = \frac{-3 - \sqrt{x+4}}{2}\)。

圖像關係

\(y = f^{-1}(x)\) 的圖像與 \(y = f(x)\) 的圖像關於直線 \(y = x\) 對稱（鏡像）。

視覺化：沿著直線 \(y=x\) 將紙摺疊起來。兩個圖像應該會完美重合！

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5. 函數的變換 (Transformations)

變換描述了如何透過平移或拉伸基本圖形 \(y = f(x)\) 來產生新的圖形。

如果一開始覺得困難別擔心——只要記住，在括號內部發生的變換通常是反直覺的（和你預期的相反）！

記憶口訣：內部 vs. 外部

• 括號/函數外部 (\(f(x) + a\))： 影響 \(y\) 值。屬於垂直變換，且運作方式直覺（加代表向上，減代表向下）。
• 括號/函數內部 (\(f(x + a\)))： 影響 \(x\) 值。屬於水平變換，且運作方式非直覺（加代表向左，減代表向右）。

變換	圖形影響	動作類型	術語
\(y = f(x) + a\)	垂直平移，向量為 \(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\)	平移	若 \(a>0\) 向上移，\(a<0\) 向下移。
\(y = f(x + a)\)	水平平移，向量為 \(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\)	平移	若 \(a>0\) 向左移，\(a<0\) 向右移。
\(y = af(x)\)	所有 \(y\) 座標乘以 \(a\)	拉伸（垂直）	平行於 \(y\) 軸拉伸，比例因子為 \(a\)。若 \(a=-1\)，則為關於 x 軸的反射。
\(y = f(ax)\)	所有 \(x\) 座標除以 \(a\)	拉伸（水平）	平行於 \(x\) 軸拉伸，比例因子為 \(1/a\)。若 \(a=-1\)，則為關於 y 軸的反射。

簡單的組合變換

當同時出現多種變換時，順序非常重要，特別是當水平和垂直的拉伸/平移同時發生時。對於簡單組合，請遵循此順序：先拉伸/反射，後平移。

例子：將 \(y = f(x)\) 變換為 \(y = 2f(x) - 3\)。

1. 垂直拉伸，比例因子為 2（來自 \(2f(x)\)）。
2. 垂直平移，向量為 \(\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}\)（來自 \(-3\)）。