Pure Mathematics 1 (Paper 1) 學習筆記：第 1.8 章 積分 (Integration)

歡迎來到積分的世界！如果說微分（Differentiation）是用來求變化率（例如速度或斜率），那麼積分（Integration）就是一個逆運算的過程，用來求總累積量（例如距離或面積）。你可以把它想像成數學裡的「倒帶鍵」！

本章是數學的基石。掌握積分後，你將能計算複雜曲線下的面積，並求出奇特形體的體積。如果剛開始覺得有點困難也別擔心，反向思考需要多加練習才能熟練。


1. 不定積分：逆運算過程

1.1 反微分的概念

積分在正式學術上稱為反微分（Anti-differentiation）。如果我們對函數 \(y = F(x)\) 進行微分得到 \(f(x)\)，那麼對 \(f(x)\) 進行積分就會讓我們回到 \(F(x)\)。

  • 如果 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \)，那麼 \( \int f(x) dx = y = F(x) \)。

符號 \( \int \) 是積分符號，而 \( dx \) 告訴我們是對 x 進行積分。

1.2 積分冪次法則（核心公式）

這是處理簡單多項式 \(x^n\) 的核心法則：

如果 \( n \) 為任何有理數（-1 除外）：

$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

冪次法則步驟：
  1. 將冪次加 1（從 \(n\) 變為 \(n+1\)）。
  2. 將整個項除以新的冪次（\(n+1\)）。
  3. 最後一定要記得加上積分常數 \(C\)。

例子： 求 \( \int x^3 dx \)：
新的冪次為 \( 3 + 1 = 4 \)。除以 4。
$$ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C $$

注意：特殊情況 n = -1
請記住，在 P1 課程中，當 \(n = -1\) 時（即積分 \( \frac{1}{x} \)），不能使用冪次法則。這個特例會在 Paper 2/3 中涵蓋。對於 P1，課程大綱明確指出此法則適用於所有 -1 除外的有理數 \(n\)。

1.3 積分常數 C

對任何常數進行微分，結果均為零。因此，當我們進行積分時，會失去關於原始常數的資訊。為了處理這個未知數，我們必須始終加上 C。

類比： 想像你在追蹤一個移動物體。微分給你速度，積分給你位置。如果你知道速度，你就能知道位置是如何變化的，但你不知道物體的「初始位置」。這個未知的起始點就是 \(C\)。

求出 C（解題技巧）

要找到 \(C\) 的具體值，你需要一個初始條件——即原始曲線經過的一個點 \((x, y)\)。這在解決這類問題時非常重要：

「已知 \( \frac{dy}{dx} = 2x - 3 \) 且曲線通過點 \((1, -2)\)，求該曲線的方程式。」

解題步驟：

  1. 對 \( \frac{dy}{dx} \) 積分，得到包含 \(x\) 和 \(C\) 的 \(y\) 方程式。 $$ y = \int (2x - 3) dx = x^2 - 3x + C $$
  2. 將已知點 \((1, -2)\) 代入方程式。 $$ -2 = (1)^2 - 3(1) + C $$ $$ -2 = 1 - 3 + C \implies -2 = -2 + C $$
  3. 解出 \(C\)。在此例中，\(C = 0\)。
  4. 寫出特定解（曲線方程式）。 $$ y = x^2 - 3x $$

1.4 合成函數的積分：反連鎖律 (Reverse Chain Rule)

P1 課程要求你能夠積分形式為 \((ax+b)^n\) 的線性合成函數。

$$ \int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C $$

這基本上就是標準的冪次法則，但你還必須除以 a（括號內表達式的微分）。

例子： 求 \( \int (2x + 3)^4 dx \)：
此處 \(n=4\) 且 \(a=2\)。
$$ \int (2x + 3)^4 dx = \frac{(2x + 3)^5}{2(5)} + C = \frac{1}{10}(2x + 3)^5 + C $$

快速複習：不定積分

1. 定義： 微分的逆運算。

2. 冪次法則： 冪次加 1，除以新冪次。（\(n \neq -1\)）。

3. 必備項： 不定積分一定要加 + C。

4. 合成函數法則： 若積分 \((ax+b)^n\)，記得除以 a。


2. 定積分：求淨變化量

2.1 什麼是定積分？

定積分是有特定上限和下限（或稱界限）\(a\) 和 \(b\) 的積分。它會產生一個數值，通常代表 \(x=a\) 到 \(x=b\) 之間的面積或淨變化量。

$$ \int_a^b f(x) dx $$

2.2 微積分基本定理

此定理告訴我們如何計算定積分：

$$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $$

其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的反導函數。

計算步驟：
  1. 找到不定積分 \(F(x)\)。（此處不需要加上 \(+C\)，因為在計算 \(F(b) - F(a)\) 時常數會抵銷）。
  2. 將上限 (\(b\)) 代入 \(F(x)\) 得到 \(F(b)\)。
  3. 將下限 (\(a\)) 代入 \(F(x)\) 得到 \(F(a)\)。
  4. 計算差值：\(F(b) - F(a)\)。

例子： 計算 \( \int_1^2 (3x^2 - 4) dx \)

1. 積分： \( F(x) = x^3 - 4x \)

2. 代入界限： $$ [x^3 - 4x]_1^2 = [(2)^3 - 4(2)] - [(1)^3 - 4(1)] $$ $$ = [8 - 8] - [1 - 4] $$ $$ = 0 - (-3) = 3 $$

定積分的結果為 3。


3. 積分的應用：面積

在 P1 中，定積分最主要的幾何應用是求由曲線與直線所圍成的區域面積。

3.1 曲線與 x 軸圍成的面積

由曲線 \(y = f(x)\)、x 軸以及直線 \(x=a\) 和 \(x=b\) 所圍成的面積 \(A\) 為：

$$ A = \int_a^b f(x) dx $$

重要注意事項：軸下方的面積

  • 如果 \(f(x) \ge 0\) 在區間 \([a, b]\) 內，積分結果就是正的面積。
  • 如果 \(f(x) < 0\)（曲線在 x 軸下方），積分結果會是負數。由於面積必須為正，你必須取積分結果的絕對值。

常見錯誤提醒！
如果曲線在 \(a\) 和 \(b\) 之間穿過 x 軸，你必須將積分拆分成多個區段，並在加總前分別計算軸下方區域的絕對值。

如果 \(f(x)\) 在 \(c\) 點穿過 x 軸（\(a < c < b\)）：
$$ A = \left| \int_a^c f(x) dx \right| + \int_c^b f(x) dx $$

3.2 曲線與直線之間的面積

如果區域是由曲線 \(y_C\) 和直線 \(y_L\) 圍成，兩者之間的面積可以透過積分上方函數與下方函數的差來求得。

$$ A = \int_a^b (y_{top} - y_{bottom}) dx $$

步驟：

  1. 透過解 \(y_C = y_L\) 找到交點（\(a\) 和 \(b\)），這些就是你的積分界限。
  2. 判斷在區間 \([a, b]\) 內哪個函數在上方（\(y_{top}\)）。畫個草圖非常有幫助！
  3. 建立並計算定積分。

3.3 兩條曲線之間的面積

原則與 3.2 相同。如果 \(y_1\) 是上限曲線而 \(y_2\) 是下限曲線，界限為 \(a\) 和 \(b\)：

$$ A = \int_a^b (y_1 - y_2) dx $$

面積計算要點：

務必檢查函數是否穿過 x 軸，或「上方」曲線是否發生變換。如果是，記得在交點或 x 截距處拆分積分！


4. 積分的應用：旋轉體體積

積分可以用來計算二維區域繞著某一軸（通常是 x 軸或 y 軸）旋轉 360° 所形成的立體體積。

你知道嗎？ 這個方法是透過將旋轉軸上無數個極薄的圓盤（像極小的硬幣）的體積加總起來實現的。

4.1 繞 x 軸旋轉

當由 \(y = f(x)\)、x 軸以及 \(x=a\) 和 \(x=b\) 所圍成的面積繞 x 軸旋轉 360° 時，體積 \(V\) 為：

$$ V = \int_a^b \pi y^2 dx $$

注意：積分前必須將 \(y^2\) 完全表示為 \(x\) 的函數。

4.2 繞 y 軸旋轉

當由曲線、y 軸以及 \(y=c\) 和 \(y=d\) 所圍成的面積繞 y 軸旋轉 360° 時，體積 \(V\) 為：

$$ V = \int_c^d \pi x^2 dy $$

注意：必須將 \(x^2\) 完全表示為 \(y\) 的函數。如果你從 \(y = f(x)\) 開始，你需要重新整理方程式以求得 \(x^2\) 的 \(y\) 表達式。

例子： 如果 \(y = x^2\)，則 \(x^2 = y\)。若繞 y 軸旋轉，則積分公式為 \( V = \int_c^d \pi (y) dy \)。

4.3 兩條曲線之間的體積（墊圈法 Washer Method）

如果旋轉區域位於兩條曲線 \(y_{outer}\)（外曲線）和 \(y_{inner}\)（內曲線）之間，則產生的體積為外曲線產生的體積減去內曲線產生的體積。

當繞 x 軸旋轉，且界限為 \(x=a\) 到 \(x=b\) 時：

$$ V = \pi \int_a^b (y_{outer}^2 - y_{inner}^2) dx $$

當旋轉區域的邊界不是旋轉軸本身時，就會用到這個技巧（例如：將曲線與直線 \(y=5\) 之間的區域繞 x 軸旋轉）。

旋轉體積公式記憶法：

要記住用哪個公式，請根據積分變數來判斷：

  • 若積分變數為 dx（界限在 x 軸上），則使用 y 變數： \( \pi \int y^2 dx \)。
  • 若積分變數為 dy（界限在 y 軸上），則使用 x 變數： \( \pi \int x^2 dy \)。

你已經掌握了 Pure Mathematics 1 中積分的核心內容！請持續練習代數運算，特別是在體積題目中整理 \(x^2\) 或 \(y^2\) 的方程式，並記得在計算面積時時刻檢查是否有穿過軸的情況。