Linear combinations of random variables

隨機變數的線性組合 (Paper 6, 第 6.2 節)

哈囉！歡迎來到統計學 P2 中最實用且經常出現的考點：隨機變數的線性組合 (Linear Combinations of Random Variables)。別被這個長長的名字嚇到了——這一章其實就是在教你，當我們把不同的隨機結果結合、相加或相減時，該如何計算它們的平均值（期望值）和變異數（離散程度）。

可以這樣想：如果你知道早上通勤時間 (X) 和下午回程時間 (Y) 的平均值與變異性，那麼你要如何算出全天總交通時間 (X + Y) 的平均值和變異性呢？這一章就是給你這些簡單的規則來解決問題！

1. 單一隨機變數的轉換：\(aX + b\)

在我們合併兩個變數（如 \(X+Y\)）之前，先來看看如何轉換單一變數 \(X\)。這在計算成本、調整測量刻度或單位轉換時非常有用。

A. 期望值的規則（平均值）

期望值（\(E\)）用來衡量分佈的中心。它遵循非常直觀的規則：

規則 1：縮放與平移

\[ E(aX + b) = aE(X) + b \]

類比：想像 \(X\) 是咖啡的價格，其 \(E(X) = \$4\)。如果政府徵收 \( \$0.50 \) 的定額稅 (\(b=0.5\))，然後店家將原價加倍 (\(a=2\))，那麼新的期望價格就是 \(2(\$4) + \$0.50 = \$8.50\)。期望值很簡單，它是線性的。

B. 變異數的規則（離散程度）

變異數 (\(Var\)) 用來衡量圍繞平均值的離散程度或變異性。這裡是學生最容易犯錯的地方，請務必留意！

規則 2：變異數不受平移影響

對每個數值加上或減去一個常數 (\(b\)) 只會移動整個分佈，但不會改變數值之間的離散程度。

\[ Var(X + b) = Var(X) \]

規則 3：變異數會將縮放因子平方

如果你將變數乘以一個常數 \(a\)，則離散程度會乘以 \(a^2\)。這是因為變異數是利用與平均值的平方差計算出來的。

\[ Var(aX + b) = a^2 Var(X) \]

重點：常數 \(b\) 在變異數計算中會完全消失。

2. 合併兩個獨立隨機變數：\(aX \pm bY\)

在現實生活中，我們很少只處理一個變數。我們需要合併兩個（或多個）不同變數的規則，例如計算兩個隨機挑選的蘋果的總重量 (\(X+Y\))。

以下變異數規則的關鍵前提是：變數 \(X\) 和 \(Y\) 必須是獨立的。（在 AS & A Level 數學中，除非題目另有說明，否則通常假設它們是獨立的。）

A. 合併後的期望值規則

期望值依然非常直接，並且永遠按線性方式合併：

規則 4：和與差的期望值

總和的平均值等於平均值的總和；差的平均值等於平均值的差。

\[ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) \]

註：即使 X 和 Y 不獨立，此規則依然成立，但課程重點在於將其與變異數的獨立性假設結合應用。

B. 合併變異數的黃金法則

這是本章中最重要且最常被誤用的公式。

規則 5：變異數永遠相加（針對獨立變數）

無論你是在計算總和的變異數 (\(X+Y\))，還是差值的變異數 (\(X-Y\))，個別的變異數永遠相加。

\[ Var(aX \pm bY) = Var(aX) + Var(bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) \]

為什麼即使是減法，變異數也要相加？
類比：考慮兩個行程時間 X 和 Y。如果你計算總時間 \(X+Y\)，不確定性增加了；如果你計算兩者之差 \(X-Y\)，不確定性同樣增加了！你對 X 不確定，對 Y 也不確定。相減並不會神奇地抵消不確定性，反而會使其累積。你對最終結果的掌握度降低了，這意味著離散程度（變異數）變大了。

常見錯誤提醒！
絕對不要寫 \(Var(X - Y) = Var(X) - Var(Y)\)。這是錯誤的。如果你看到變數之間有減號，大腦請立即切換成變異數相加模式：\(Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)\)。

3. 合併特定分佈

當合併隨機變數時，所得分佈的形狀很重要，特別是如果你打算計算機率（例如使用常態分佈表）。關鍵概念是：對於某些常見的分佈，線性組合的結果通常會保持在相同的分佈族群中。

A. 常態變數的線性組合

如果 \(X\) 服從常態分佈，且 \(Y\) 也服從常態分佈，那麼它們的線性組合一定服從常態分佈（前提是它們獨立）。

如果 \(X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)\)，\(Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)\)，且兩者獨立，那麼：

\[ aX \pm bY \sim N \left( E(aX \pm bY), \ Var(aX \pm bY) \right) \]

這意味著什麼：如果你將兩個常態變數相加或相減，新的變數依然是常態分佈。你只需要利用第 2 節的規則計算出新的平均值和變異數即可。

情境範例：成年男性體重 (\(M\)) 服從常態分佈，兒童體重 (\(C\)) 也服從常態分佈。如果你各選一人，總重量 (\(M+C\)) 也會是常態分佈。這非常重要，因為這意味著你可以使用標準常態分佈 (\(Z\)) 來計算總重量的機率。

B. 卜瓦松變數的線性組合

課程大綱要求你掌握兩個獨立卜瓦松變數之和的結果。至於卜瓦松變數的縮放或相減，通常超出了 Paper 6 的考核範圍。

規則 6：獨立卜瓦松變數之和

如果 \(X\) 和 \(Y\) 是獨立的卜瓦松分佈，則它們的和 \(X+Y\) 也服從卜瓦松分佈，其平均參數 (\(\lambda\)) 為兩者之和。

如果 \(X \sim Po(\lambda_X)\)，\(Y \sim Po(\lambda_Y)\)，且兩者獨立，那麼：

\[ X + Y \sim Po(\lambda_X + \lambda_Y) \]

情境範例：Jane 收到的郵件數 (\(X\)) 服從 \(Po(2)\)，David 收到的郵件數 (\(Y\)) 服從 \(Po(3)\)。如果兩者獨立，兩人收到的總郵件數 (\(X+Y\)) 服從 \(Po(2+3) = Po(5)\)。

這個特性與一般規則一致，因為對於卜瓦松分佈而言，\(E(X) = \lambda\) 且 \(Var(X) = \lambda\)。

• \(E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \lambda_X + \lambda_Y\)
• \(Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = \lambda_X + \lambda_Y\)

因為新變數 \(X+Y\) 的平均值和變異數都是 \(\lambda_X + \lambda_Y\)，它完全符合參數為 \(\lambda_X + \lambda_Y\) 的卜瓦松分佈定義。

4. 解題步驟策略

大多數涉及線性組合的題目，都需要在計算機率之前，細心地應用期望值和變異數規則。

範例：總生產時間

組裝零件 A 的時間（以分鐘計）為 \(T_A \sim N(10, 4)\)。組裝零件 B 的時間為 \(T_B \sim N(15, 9)\)。一名工人在獨立的情況下完成了 3 個零件 A 和 2 個零件 B。試求總時間 \(T_{Total}\) 的分佈。

步驟 1：定義合併後的變數。
總時間為 \(T_{Total} = T_{A1} + T_{A2} + T_{A3} + T_{B1} + T_{B2}\)。
或者，由於所有 \(T_A\) 都是獨立且分佈相同，我們可以寫成： \[ T_{Total} = 3T_A + 2T_B \]

步驟 2：計算期望值 (\(E\))。

\[ E(T_{Total}) = E(3T_A + 2T_B) = 3E(T_A) + 2E(T_B) \] \[ E(T_{Total}) = 3(10) + 2(15) = 30 + 30 = 60 \text{ 分鐘} \]

步驟 3：計算變異數 (\(Var\))。

記住，變異數永遠相加，且係數要平方！

\[ Var(T_{Total}) = Var(3T_A + 2T_B) = 3^2 Var(T_A) + 2^2 Var(T_B) \] \[ Var(T_{Total}) = 9(4) + 4(9) = 36 + 36 = 72 \]

步驟 4：說明結果的分佈。

由於 \(T_A\) 和 \(T_B\) 均為常態分佈，它們的組合也服從常態分佈。

\[ T_{Total} \sim N(60, 72) \]

接著，你就可以使用這個新分佈，透過標準常態分佈的 Z 轉換來解決任何機率問題。

關於平方係數的重要提示：
\(X_1 + X_2 + X_3\) 與 \(3X\) 之間的區別常令人困惑。

• 如果你處理的是三個獨立觀測值之和（例如三個不同且隨機選取的零件），其變異數為 \(Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)\)。如果它們分佈相同，這就等於 \(3 Var(X)\)。
• 如果你處理的是一個觀測值乘以 3（縮放因子），其變異數為 \(Var(3X) = 3^2 Var(X) = 9 Var(X)\)。

請務必確保你的公式反映了題目的實際情況：你是在計算多個物品的總和，還是在對單一物品進行縮放？ 當 \(Y\) 只是常數零時，公式 \(Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)\) 可以優雅地處理這兩種情況。