Numerical solution of equations

方程式的數值解法（Paper 2，課題 2.6）

各位數學家好！歡迎來到純數學 2 中最實用的章節之一：方程式的數值解法。

在現實世界中，許多複雜的方程式（特別是涉及混合函數的，如 \(e^x = \sin x\) 或 \(x^3 + \ln x = 5\)）無法僅透過代數運算求得準確解。本章將教導大家強大的數值技巧，用以找出這些方程式根的精確近似值。你將學會如何定位根的位置，並透過疊代過程（iterative process）來優化答案。讓我們開始吧！

關鍵術語回顧

• 根 (Root)：方程式 \(f(x) = 0\) 的解。在圖形上，這就是曲線與 \(x\) 軸相交的點。
• 數值方法 (Numerical Method)：一種用於求得問題近似解的數學技巧，通常依賴重複性的計算。

1. 近似定位根的位置

在估算根之前，我們需要知道它大致的範圍。課程大綱要求掌握兩種主要的定位方法：圖解法和符號變換法（Sign Change Rule）。

1.1 圖解法 (Graphical Method)

此方法透過將複雜的方程式拆解為兩個較簡單的函數圖形，並找出它們的交點，從而估算出根的近似值。

步驟：

1. 由方程式 \(f(x) = 0\) 開始。
2. 將其重組成 \(g(x) = h(x)\) 的形式，其中 \(g(x)\) 和 \(h(x)\) 是你容易繪畫的函數。
3. 在同一個坐標系上繪畫 \(y = g(x)\) 和 \(y = h(x)\) 的圖形。
4. 交點的 \(x\) 坐標即為原方程式的近似根。

例子： 若要找出 \(x^3 + 2x - 1 = 0\) 的根。
你可以將其重組成 \(x^3 = 1 - 2x\)。
繪畫 \(y = x^3\) 和 \(y = 1 - 2x\)。你會發現它們在 \(x=0.5\) 附近相交，這就是你的起始值。

1.2 符號變換法 (Sign Change Method)

這是正式且準確地證明根存在於特定區間內的方法。

概念： 若函數 \(f(x)\) 在區間 \([a, b]\) 上是連續的（即圖形沒有斷點、跳躍或漸近線），且 \(f(a)\) 與 \(f(b)\) 的符號相反，則該區間內必定存在一個根。

比喻： 想像你正跨越一座山丘。如果你從海拔以下出發（\(f(a) < 0\)），最後到達海拔以上（\(f(b) > 0\)），而且過程中腳從未離開地面（即函數是連續的），那麼你必定在某處跨越了海平面（即 \(f(x) = 0\)）！

操作步驟：

1. 根據你的方程式 \(f(x)=0\) 定義函數 \(f(x)\)。
2. 確定你要測試的區間 \([a, b]\)（例如：\(x=1\) 和 \(x=2\) 之間）。
3. 計算 \(f(a)\) 和 \(f(b)\)。
4. 清晰地寫出結論：
   • 若 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 符號相反（一正一負），請寫下：「由於存在符號變換且 \(f(x)\) 是連續的，因此根位於 \(a\) 與 \(b\) 之間。」

! 常見錯誤提醒 !
千萬別忘了提及「連續」(continuous) 這個關鍵詞。如果函數不是連續的（例如 \(y = \frac{1}{x}\) 在 \(x=0\) 附近），即使出現符號變換，兩個點之間也不一定存在根。在考試中，除非函數明顯是不連續的（例如有漸近線），否則通常可以假設其連續性。

2. 使用 \(x_{n+1} = F(x_n)\) 公式進行疊代

一旦你知道了根的大致位置，疊代法就能讓你透過重複計算，逐步逼近準確數值。

2.1 疊代公式

近似值序列由以下規則定義：
$$x_{n+1} = F(x_n)$$
這裡，\(x_n\) 是第 \(n\) 次近似值，而 \(x_{n+1}\) 是下一個（通常更準確的）近似值。

關鍵在於理解函數 \(F(x)\) 是從何而來的。

2.2 重組方程式

要使用疊代法，方程式 \(f(x) = 0\) 必須重組成 \(x = F(x)\) 的形式。

例子： 假設你想解 \(x^3 + 2x - 1 = 0\)。

重組 A（簡單式）：
$$2x = 1 - x^3$$ $$x = \frac{1 - x^3}{2}$$
因此，\(F(x) = \frac{1 - x^3}{2}\)，疊代公式為： $$x_{n+1} = \frac{1 - (x_n)^3}{2}$$

重組 B（立方根式）：
$$x^3 = 1 - 2x$$ $$x = \sqrt[3]{1 - 2x}$$
因此，\(F(x) = \sqrt[3]{1 - 2x}\)，疊代公式為： $$x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - 2x_n}$$

你知道嗎？
方程式可以有許多不同的重組方式，但並非每一種都能求得解！有些重組會導致疊代過程發散（離根越來越遠）。在考試中，通常會給你特定的疊代公式，或清楚指示該如何重組。

3. 疊代過程的實際應用

疊代過程是專為計算機操作而設計的。以下步驟指南將確保你高效地運用計算機。

目標： 將根精確到規定的準確度（例如：3 位小數）。

疊代步驟：

1. 找出起始值 (\(x_1\))： 這通常由題目給出，或是從符號變換法推導出來（例如：若根在 1.5 和 1.6 之間，一個好的起始值可能是 \(x_1 = 1.55\)）。
2. 計算 \(x_2\)： 將 \(x_1\) 代入公式 \(x_{n+1} = F(x_n)\)。
   計算機小技巧： 輸入 \(x_1\)，按 "="，然後輸入你的公式，使用「ANS」按鈕來代表 \(x_n\)。
3. 計算後續數值： 反覆按 "=" 鍵即可產生 \(x_3, x_4, x_5, \dots\)。計算機會自動將上一個答案 (ANS) 代入公式。
4. 檢查收斂與準確度： 繼續計算，直到兩個連續的近似值在要求的精度（小數位或有效數字）下完全相同。

收斂檢查例子（目標：3 位小數）：

• \(x_5 = 1.23456\)
• \(x_6 = 1.23481\) (3 位小數不同)
• \(x_7 = 1.23490\)
• \(x_8 = 1.23491\)
• \(x_9 = 1.23491\) (第 4 位小數仍在變動，但在 5 位小數處數值已一致，足以確定 3 位小數無誤)

由於 \(x_8\) 和 \(x_9\) 四捨五入後均為 1.235（3 位小數），因此根確認為 1.235。

準確度小撇步

在疊代步驟中，務必保留至少四到五位小數，只有在計算最後答案時，才根據題目要求的精度進行四捨五入。如果過早四捨五入，可能會導致最終答案錯誤。

4. 理解收斂與發散

雖然你不需要知道收斂的數學判定條件（課程大綱特別排除了這一點！），但你必須理解成功疊代與失敗疊代之間的區別。

4.1 收斂疊代 (Convergent Iteration)

若序列中的數值越來越接近一個定值（根），該序列即為收斂。

當你在計算機上進行成功的疊代時：

• \(x_n\) 的數值會開始趨於平穩。
• 它們可能呈現振盪（來回跳動，但每次都更接近根——「蛛網式」模式）。
• 它們可能單調地接近根（一直增加或一直減少——「階梯式」模式）。

4.2 發散疊代 (Divergent Iteration)

若序列中的數值離根越來越遠，或是跳動劇烈且無法穩定下來，該序列即為發散。

如果你的序列開始發散，意味著你選擇或被給予的重組式 \(x = F(x)\) 不適合求該特定根。

發散在計算機上的表現：

• 數值變得越來越大（例如：\(x_5 = 10, x_6 = 50, x_7 = 200\)）。
• 數值在兩個或多個數值間劇烈跳動而無法穩定（例如：2.1, -5.8, 12.5, -30.9...）。

別擔心，剛開始覺得複雜是很正常的！ 大多數 Paper 2 的試題都會提供一個收斂的公式和合適的起始值，讓你可以專注於精確地執行計算過程。核心技能在於：透過符號變換確認根的位置，以及精確地在計算機上完成疊代步驟。