Permutations and combinations

AS & A Level Mathematics 9709 (Paper 5: Probability & Statistics 1)

Chapter 5.2: 排列與組合 (Permutations and Combinations)

歡迎來到統計學中最令人興奮（有時也最燒腦！）的部分：計算事件發生的總數。無論何時需要計算排列或選取方式，排列（Permutations）與組合（Combinations）都是不可或缺的工具。

別擔心公式初看時會很複雜！ 關鍵在於學會問正確的問題：次序重要嗎？（Does the order matter?） 一旦回答了這個問題，剩下的就只是簡單的計算了。掌握這一章，將為你日後解決更複雜的概率問題打下堅實的基礎。

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Part 1: 必備基礎知識 – 階乘 (Factorials, n!)

在深入研究排列之前，我們需要先掌握階乘 (Factorial) 的概念。

什麼是階乘？

非負整數 \(n\) 的階乘，記作 \(n!\)，是指所有小於或等於 \(n\) 的正整數之積。它簡單地代表了將 \(n\) 個不同項目排成一列的總方法數。

公式：
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1\)

例子： 如果你有 4 位朋友 (A, B, C, D) 和 4 張椅子，他們有多少種就座方式？

• 第 1 張椅子：4 種選擇
• 第 2 張椅子：剩下 3 種選擇
• 第 3 張椅子：剩下 2 種選擇
• 第 4 張椅子：剩下 1 種選擇

排列總數 = \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) 種。

要點提示：
\(0!\) 的值定義為 1。（聽起來很奇怪，但你可以把它理解為：排列 0 個項目只有一種方法——即什麼都不做！）

重點總結： 階乘告訴我們排列「所有」不同項目的方法數。

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Part 2: 排列 (Permutations，次序很重要！)

排列 (Permutation) 是指在選取項目時，次序或位置非常重要的情況。

排列 (P) 的次序測試： 如果改變兩個所選項目的位置會產生一個新的、不同的結果，那麼它就是一個排列。
類比： 設定密碼。「CAT」與「ACT」是不同的。次序很重要！

A. 不同項目的線性排列

當你從 \(n\) 個項目中選取 \(r\) 個項目，並將它們排成一列時，就會用到這個概念。

符號： \(_nP_r\) 或 \(P(n, r\))
這代表「從 \(n\) 個項目中每次取 \(r\) 個進行排列的方法數」。

公式：
\(_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\)

逐步例子：
一場比賽有 10 名選手。金、銀、銅牌有多少種頒發方式？（這裡 \(n=10\)，\(r=3\)）。

1. 確認次序很重要（金銀銅與銀金銅是不同的）。使用排列。
2. 代入公式：\(_ {10} P_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}\)
3. 計算：\(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) 種。

B. 有重複項目的排列 (相同項目)

有時候，你排列的項目並非全都不同（例如，單詞 'BOOK' 中的字母有兩個 O）。如果直接使用 \(n!\)，我們會計算出外觀相同的重複排列。

為了修正重複項目的影響，我們必須用排列總數除以每個重複項目出現次數的階乘。

有重複排列的公式：
如果你有 \(n\) 個總項目，其中第 1 類有 \(r_1\) 個相同項目，第 2 類有 \(r_2\) 個相同項目，依此類推，不同排列的數量為：

\[\frac{n!}{r_1! r_2! \dots r_k!}\]

例子（課程範圍）：
求單詞 NEEDLESS 中字母的不同排列數。

1. 總字母數 \(n=8\)。
2. 計算重複：E 出現 2 次 (\(r_E = 2\))，S 出現 2 次 (\(r_S = 2\))，N、D、L 各出現 1 次。
3. 計算：\(\frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40320}{2 \times 2} = 10080\) 種不同排列。

C. 有限制的排列 (「綑綁法」/Glue Method)

當某些項目必須在一起時（例如，人們必須坐在相鄰的位置），我們使用「綑綁法」。

方法：

1. 將有限制的項目「綑綁」在一起，將它們視為一個單一整體。
2. 計算包括這個新整體在內的總項目排列方法數。
3. 計算限制項目在其單位內部的排列方法數。
4. 將第 2 步和第 3 步的結果相乘。

例子：
4 男 (B) 和 2 女 (G) 排成一列。如果兩名女生必須站在一起，有多少種排列方式？

單位 = (GG)。要排列的總項目 = (單位) + B1 + B2 + B3 + B4 = 5 個項目。

1. 5 個項目的排列：\(5! = 120\) 種。
2. 單位內部 (GG) 的排列：\(2! = 2\) 種（G1G2 或 G2G1）。
3. 總排列數：\(120 \times 2 = 240\) 種。

限制（必須「不」站在一起）：
如果 2 名女生必須不站在一起，計算方法為：
總排列數（無限制）- 排列數（女生在一起）。

• 總排列數（6 人）：\(6! = 720\)
• 女生在一起的排列數（上述已算）：240
• 女生不在一起的排列數：\(720 - 240 = 480\) 種。

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Part 3: 組合 (Combinations，次序不重要！)

組合 (Combination) 是指在選取項目時，選取的次序無關緊要。

組合 (C) 的次序測試： 如果改變兩個所選項目的位置結果是一樣的，那麼它就是一個組合。
類比： 選擇團隊/委員會。委員會 {約翰, 瑪麗} 與 {瑪麗, 約翰} 是同一個委員會。次序不重要！

A. 不同項目的選取

當你從 \(n\) 個項目中選取 \(r\) 個項目，但不需要將它們排列時，就會用到這個概念。

符號： \(_nC_r\) 或 \(\binom{n}{r}\)
這代表「從 \(n\) 個項目中每次取 \(r\) 個進行組合的方法數」。

公式：
\(_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

你知道嗎？ 組合公式其實就是排列公式除以 \(r!\)。我們除以 \(r!\) 是因為所選項目有 \(r!\) 種排列方式，而在組合中，既然次序不重要，我們就需要消除這些重複的排列。

逐步例子：
你有 10 位朋友，需要選出 3 位去看電影。有多少種選法？（這裡 \(n=10\)，\(r=3\)）。

1. 確認次序不重要（A, B, C 與 C, B, A 是同一組人）。使用組合。
2. 代入公式：\(_ {10} C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! 7!}\)
3. 計算：\(\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\) 種。

組合的重要屬性：
從 10 個中選出 3 個，等於選出 7 個「留下來（不選）」。
\(_ {10} C_3 = \_ {10} C_7\)。這種對稱性有時可以簡化計算。

重點總結： 組合是關於選取一個位置無關的子群體。

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Part 4: 解決複雜問題 (排列與組合結合)

許多考試題目要求將排列與組合混合使用，通常涉及不同的群組或限制。

A. 涉及不同群組的問題 (「AND」乘法法則)

如果選擇過程需要從 A 組中選取 m 個項目，並且 (AND) 從 B 組中選取 k 個項目，你需要分別計算每組的選取可能性，然後將結果相乘。

例子：
從 8 名男士和 6 名女士中組成一個 5 人委員會，要求其中必須剛好有 3 名男士和 2 名女士。

從 8 人中選 3 男：\(_8C_3 = 56\)
從 6 人中選 2 女：\(_6C_2 = 15\)
總方法數 = (選男方法) \(\times\) (選女方法)
總方法數 = \(56 \times 15 = 840\)

B. 涉及多個情況的問題 (「OR」加法法則)

如果場景可以由情況 1 或 (OR) 情況 2 來滿足（這些情況互斥——不能同時發生），你將結果相加。

例子：
使用上述群組（8 男，6 女），有多少種方法可以組成 5 人委員會，且至少有 4 名男士？

「至少 4 名男士」意味著：情況 1（4 男 AND 1 女）或 情況 2（5 男 AND 0 女）。

情況 1： 4 男 1 女
\(_8C_4 \times \_6C_1 = 70 \times 6 = 420\)

情況 2： 5 男 0 女
\(_8C_5 \times \_6C_0 = 56 \times 1 = 56\)

總方法數 = \(420 + 56 = 476\)

C. 先選擇後排列法則

如果題目要求先選擇一個子群組，然後對該子群組進行排列，則必須結合使用 C 和 P。

步驟 1 (選擇)： 使用組合 (\(_nC_r\)) 來選取項目。
步驟 2 (排列)： 使用階乘 (\(r!\)) 來排列所選項目。

注意： 從數學上講，\(_nC_r \times r! = \_nP_r\)。你本質上是在執行一個排列操作。然而，理解這兩個獨立步驟對於處理複雜約束條件至關重要。

例子：
從 7 幅畫中選出 3 幅掛在牆上。有多少種不同的展示方式？

1. 選擇：\(_7C_3 = 35\) 種選取方式。
2. 排列：\(3! = 6\) 種排列這些所選畫作的方式。
3. 總展示方式：\(35 \times 6 = 210\)。(或者直接用 \(_7P_3 = 210\))。

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常見錯誤與避坑指南

1. 忘記次序測試： 永遠要問：如果我交換兩個項目，結果會不同嗎？如果是，請使用 P。如果不是，請使用 C。

2. 誤用「綑綁法」： 如果項目 A 和 B 必須在一起，別忘了內部的排列：(AB) 和 (BA) 是不同的內部排列，所以你必須乘以 \(2!\)。

3. 忽略重複項目： 如果在排列字母，一定要檢查是否有重複，記得要除以重複次數的階乘。

4. 在「至少」問題中重複計算： 計算「至少 X」時，確保你的不同情況（情況 1、情況 2 等）沒有交集。使用「OR」法則（加法）僅適用於互斥的情況。

請記住，練習才是關鍵！一旦你能正確判斷題目屬於排列還是組合，計算就會變得非常自然。加油！