🎓 純數學 1：第 1.1 章 二次方程學習筆記 📚
你好，歡迎來到二次方程（Quadratics）的世界！這一章絕對是你 AS/A Level 學習旅程的基石。二次方程描述了一種名為拋物線（parabola）的特定曲線，你在日常生活中隨處可見——從拋出的球的軌跡到衛星天線的形狀。掌握這些技巧不僅能讓你輕鬆在 Paper 1 拿分，還能為後續的主題（如坐標幾何和微分）打下堅實的基礎。
讓我們一起分步驟拆解這些強大的方程式吧！
1. 理解二次函數及其圖像
標準形式
二次函數是一個二次多項式，通常寫作標準形式：
\[y = ax^2 + bx + c\]
其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 是常數，且最關鍵的是 \(a \neq 0\)。
拋物線（圖像的形狀）
- 二次函數的圖像稱為拋物線。
- 它有一個頂點，稱為頂點（vertex）。
利用 a 判斷形狀：
- 如果 \(a > 0\)（\(a\) 為正數），拋物線開口向上。它呈現 U 型，就像一個「笑臉」😊。此時頂點是最小值點（minimum point）。
- 如果 \(a < 0\)（\(a\) 為負數），拋物線開口向下。它呈現倒 U 型，就像一個「苦臉」😞。此時頂點是最大值點（maximum point）。
重點總結：標準形式 \(ax^2 + bx + c\) 提供了公式所需的係數，而 \(a\) 的符號則直接告訴你圖像是開口向上還是向下（即最小值還是最大值）。
2. 配方法 (Completing the Square, C.T.S.)
配方法是一種代數技巧，在二次方程中有兩大用途：
- 輕鬆找出圖像的頂點（轉向點）。
- 當因式分解困難或無法進行時，用來求解二次方程。
配方法形式
任何二次方程 \(ax^2 + bx + c\) 都可以重寫為以下形式：
\[a(x+p)^2 + q\]
該拋物線的頂點位於點 \((-p, q)\)。
分步驟：配方法（當 a = 1 時）
讓我們以 \(y = x^2 + 6x + 5\) 為例：
- 將 \(b\) 項減半： 取 \(x\) 的係數（\(b\)）並除以 2。（在這裡，\(6/2 = 3\)）。這就是你的 \(p\)。
- 寫出括號： 首先寫出平方項 \((x+3)^2\)。
- 減去平方項： \((x+3)^2\) 展開後是 \(x^2 + 6x + 9\)。你需要減去額外增加的常數（\(9\)）來平衡方程式。
- 加上原始的 \(c\) 項： 加上題目原有的常數（\(+5\)）。
- 化簡：
\(y = (x+3)^2 - 9 + 5\)
\(y = (x+3)^2 - 4\)
你知道嗎？ 由於 \(p=3\)，\(q=-4\)，所以頂點位於 \((-3, -4)\)。
處理 \(a \neq 1\) 的情況
如果 \(a\) 不是 1（例如 \(2x^2 - 8x + 3\)），首先只從 \(x^2\) 和 \(x\) 項中提取 \(a\)：
\(2x^2 - 8x + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3\)
現在，對括號內的 \((x^2 - 4x)\) 進行配方：
\(2\left[(x - 2)^2 - 4\right] + 3\)
將 2 乘回括號內：
\(2(x - 2)^2 - 8 + 3 = 2(x - 2)^2 - 5\)
頂點位於 \((2, -5)\)。
重點總結： 配方法將二次方程轉化為頂點形式。記住竅門：將中間項減半，平方它，然後減去該數以保持表達式平衡！
3. 判別式 (\(b^2 - 4ac\))
判別式，以希臘字母 Delta (\(\Delta\)) 表示，是二次公式中根號下的關鍵部分。它能在無需求解方程式的情況下，告訴你根的性質（即圖形與 x 軸相交的次數）。
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
三種情況：
-
\(\Delta > 0\)（判別式為正）：
- 意義：有兩個不同的實根。
- 圖像：拋物線與 x 軸在兩個不同的點相交。
-
\(\Delta = 0\)（判別式為零）：
- 意義：有一個實根（重根，或相同的根）。
- 圖像：拋物線在其頂點處與 x 軸僅有一個切點（即與 x 軸相切）。
-
\(\Delta < 0\)（判別式為負）：
- 意義：無實根（根是複數，但在 P1 中，我們只稱之為「無實根」）。
- 圖像：拋物線完全位於 x 軸上方（若 \(a>0\)）或完全位於 x 軸下方（若 \(a<0\)）。
應用：直線與曲線
這是判別式發揮巨大作用的地方！如果你被要求判斷直線 \(y = mx + c\) 與二次曲線 \(y = ax^2 + bx + d\) 相交的次數，請將兩個方程式相等：
\[ax^2 + bx + d = mx + c\]
將其重排為 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 形式的新二次方程。然後，對這條新方程式使用判別式，即可找出交點數量。
例子： 找出直線 \(y = x + k\) 與曲線 \(y = x^2 - 3x + 1\) 相交時 \(k\) 的取值範圍：
- 令兩者相等： \(x^2 - 3x + 1 = x + k\)
- 重排： \(x^2 - 4x + (1 - k) = 0\)
- 若要相交，需滿足 \(\Delta \geq 0\)。取 \(A=1\)、\(B=-4\)、\(C=(1-k)\)。
- \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1-k) \geq 0\)。
重點總結： 判別式是你判斷存在性和相切性的工具。記住：正數代表兩個，零代表一個（重根），負數代表沒有。
4. 求解二次方程與不等式
求解方程 (\(ax^2 + bx + c = 0\))
求解二次方程有三種方法，你必須熟練掌握每一種：
- 因式分解： 如果可行，這是最快的方法。（例如，\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 可得 \((x-2)(x-3) = 0\)）。
- 配方法： 如果題目要求以根式（surd）形式作答，或是要找出頂點結構，則此法至關重要。
- 二次公式： 適用於所有二次方程，保證有效。對於難以因式分解的情況非常重要。
二次公式（背下來！）
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
別擔心如果忘了——MF19 公式冊裡有提供！ 但熟記它能節省時間。
常見錯誤： 忘記將整個表達式（包括 \(-b\) 和根號部分）都除以 \(2a\)。
求解二次不等式
求解不等式（包含 \(\leq, <, >, \geq\)）需要額外的一步：畫草圖！
求解 \(x^2 - 5x + 6 > 0\) 的步驟：
- 找出根： 求解方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)。我們算出根為 \(x=2\) 和 \(x=3\)。
- 畫出圖像： 由於 \(a=1\)（正數），這是一個開口向上的笑臉拋物線，與 x 軸相交於 2 和 3。
- 確定所需區域： 不等式為 \(> 0\)，意味著我們要找出 \(x\) 在哪些區域時圖像位於 x 軸上方。
- 寫出解： 當 \(x < 2\) 或 \(x > 3\) 時，圖像位於 x 軸上方。
解： \(x < 2\) 或 \(x > 3\)
如果不等式是 \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\)，那麼你要找的就是 x 軸下方的區域，答案則為 \(2 \leq x \leq 3\)。
重點總結： 務必先找出根。對於不等式，一定要畫草圖。這能防止常見的符號錯誤。
5. 聯立方程
你必須能夠解一條線性方程與一條二次方程組成的聯立方程。
方法：代入法（Substitution）
核心思想是利用線性方程導出一個變量（例如 \(y\)）的表達式，然後代入二次方程。這樣問題就簡化為求解單一個二次方程。
例子：
方程 1 (線性): \(x + y = 5\)
方程 2 (二次): \(x^2 + 2y^2 = 17\)
分步驟過程：
- 在線性方程中分離一個變量： 從 (1) 得 \(y = 5 - x\)。
- 代入二次方程： 用 \((5 - x)\) 取代 (2) 中的 \(y\)：
\(x^2 + 2(5 - x)^2 = 17\)
- 展開並化簡： 小心地展開 \((5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2\)。
\(x^2 + 2(25 - 10x + x^2) = 17\)
\(x^2 + 50 - 20x + 2x^2 = 17\)
\(3x^2 - 20x + 33 = 0\) - 解出二次方程： 解出 \(x\)（通過因式分解或公式）。假設你算出兩個 \(x\) 的解，例如 \(x_1 = 3\) 和 \(x_2 = 3.66\)。
- 找出對應的另一個變量值： 使用最簡單的方程（方程 1: \(y = 5 - x\)）為每個 \(x\) 值求出對應的 \(y\) 值。
若 \(x=3\)，則 \(y = 5 - 3 = 2\)。解： \((3, 2)\)。
若 \(x=3.66\)，則 \(y = 5 - 3.66 = 1.34\)。解： \((3.66, 1.34)\)。
溫馨提示： 永遠記得最後一步！聯立方程通常產生兩組解，而不僅僅是一個變量的兩個值。你必須清晰地呈現座標。
重點總結： 聯立方程總是依賴代入法。解完二次方程後，千萬別忘了回頭求出第二個變量！
6. 可轉化為二次形式的方程
有些方程可能看起來很嚇人，因為它們含有高次冪、分數次冪或三角函數，但透過簡單的換元，它們可以被簡化為二次方程。這些方程在某個 \(x\) 的函數上呈二次形式。
識別模式
尋找那些其中一項的冪是另一項兩倍的方程，例如課程大綱中的這些例子：
- \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) （這裡，4 是 2 的兩倍。）
- \(6x + \sqrt{x} - 1 = 0\) （如果令 \(u = \sqrt{x}\)，那麼 \(u^2 = x\)。）
- \(\tan^2 x = 1 + \tan x\) （這裡，冪 2 是冪 1 的兩倍。）
求解可轉化方程（分步驟）
讓我們解 \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)：
- 識別基礎變量： 令 \(u = x^2\)。
- 執行換元： 由於 \(x^4 = (x^2)^2 = u^2\)，方程變為：
\[u^2 - 5u + 4 = 0\]
- 解出 \(u\) 的二次方程： 因式分解得 \((u - 4)(u - 1) = 0\)。
\(u\) 的解為： \(u = 4\) 或 \(u = 1\)。
- 求回 \(x\)（關鍵步驟！）： 記得定義 \(u = x^2\)。我們必須換元回來求出 \(x\) 的值。
- 若 \(u = 4\): \(x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)
- 若 \(u = 1\): \(x^2 = 1 \implies x = \pm 1\)
原方程有四個解： \(x = -2, -1, 1, 2\)。
類比：
把換元想像成臨時換裝。你換上 \(u\) 的衣服來處理複雜的代數，但在最後必須換回你原本的衣服（\(x\)）來回答問題！
重要注意事項（涉及根號或受限域的方程）：
如果你處理的是 \(6x + \sqrt{x} - 1 = 0\)，令 \(u = \sqrt{x}\) 意味著 \(u\) 必須是正數（\(u \geq 0\)）。如果你解出的 \(u\) 有負值，在求 \(x\) 之前必須捨棄該根。
重點總結： 利用換元（例如 \(u = f(x)\)）將困難的問題轉化為簡單的二次方程，但務必檢查新變量 \(u\) 是否有定義域限制，並始終記得還原換元以找出 \(x\) 的最終答案。