學習筆記：5.5 常態分佈 (The Normal Distribution)
你好！歡迎來到「概率與統計 1」(Probability & Statistics 1) 的最後一個章節。常態分佈 (Normal Distribution) 可以說是統計學中最重要的一個連續分佈。為什麼呢？因為現實世界中許多事物——從人的身高到測量誤差——都遵循這種規律。掌握這個主題，你就能解決關於這些現實變量的複雜問題。如果一開始覺得有點棘手，別擔心，我們會一步一步拆解！
1. 理解常態分佈 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
常態分佈用於建立連續隨機變量 (Continuous Random Variable, CRV) 的模型。連續隨機變量是指在給定範圍內可以取任何數值的變量（例如身高、溫度、時間）。
鐘形曲線 (The Bell Curve)
常態分佈的圖形通常被稱為鐘形曲線，因為它有獨特的形狀。
- 它圍繞平均值 \(\mu\) 完全對稱。
- 平均值 (\(\mu\))、中位數和眾數都在同一個中心點上。
- 曲線下的總面積永遠是 1（代表 100% 的概率）。
記號與參數
我們使用兩個關鍵參數來描述常態分佈：
隨機變量 \(X\) 服從常態分佈的記號是：
$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$
- \(\mu\) (Mu)： 這是平均值（或期望值）。它標定了曲線的中心位置。
- \(\sigma^2\) (Sigma squared)： 這是方差。它衡量數據的離散程度。
- \(\sigma\) (Sigma)： 這是標準差。它是方差的平方根，在理解數據離散程度時通常比方差更直觀。
重點總結： 平均值 \(\mu\) 告訴你鐘形曲線的中心在哪裡，而標準差 \(\sigma\) 則告訴你曲線有多寬或多窄。
2. 標準常態分佈 (\(Z\))
每個常態分佈根據其 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 的不同，形態都會略有差異。為了避免需要無限多張表格，我們將任何常態變量 \(X\) 轉換為標準形式，稱為標準常態分佈 (Standard Normal Distribution)。
標準常態隨機變量記作 \(Z\)。
$$Z \sim N(0, 1)$$這個分佈的平均值 \(\mu = 0\)，方差 \(\sigma^2 = 1\)。
使用常態分佈表 (\(\Phi(z)\))
MF19 小冊子中提供的表格給出了標準常態分佈的值，記作 \(\Phi(z)\)。
\(\Phi(z) = P(Z < z)\)
這意味著表格給出的永遠是給定 \(Z\) 值左側的面積（概率）。
記憶小貼士： 把 \(\Phi\) (Phi) 想成累計概率——它收集了直到該點為止的所有概率。
3. 標準化：\(Z\)-公式
要將任何常態分佈 \(N(\mu, \sigma^2)\) 中的變量 \(X\) 轉換為標準變量 \(Z\)，我們使用標準化 (Standardisation) 的過程：
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$- \((X - \mu)\) 計算了 \(X\) 與平均值的距離。
- 除以 \(\sigma\) 則是將此距離以標準差為單位進行衡量。
例子類比： 想像一場考試得了 70 分。這算高嗎？這取決於平均分！
如果平均值 (\(\mu\)) 是 50，標準差 (\(\sigma\)) 是 10：
\(Z = \frac{70 - 50}{10} = 2\)。這個分數比平均水平高出 2 個標準差——非常優秀！
\(Z\)-分數能精確告訴你任何分數高出或低於平均水平的幅度。
標準化步驟：
- 找出 \(\mu\) 和 \(\sigma\)（記住：\(\sigma\) 是方差 \(\sigma^2\) 的平方根）。
- 找出你感興趣的 \(x\) 值。
- 使用公式 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) 將 \(X\) 轉換為 \(Z\)。
- 畫出曲線！這對於確定要計算哪部分的面積至關重要。
快速回顧：重要特性
因為常態分佈是連續的：
$$P(X < x) = P(X \leq x)$$
取得特定單一點的概率永遠為零。
4. 使用 \(Z\)-表解決概率問題
在解決問題時，你必須始終將原始 \(X\) 曲線上的所需面積轉換為 \(Z\) 曲線上的面積，這樣才能在 \(\Phi(z)\) 表中查到值。
情況 1：\(P(Z < a)\)，其中 \(a > 0\)（左側面積）
這可以直接查表：
$$P(Z < a) = \Phi(a)$$
情況 2：\(P(Z > a)\)，其中 \(a > 0\)（右側面積）
由於總面積為 1，右側面積即 1 減去左側面積：
$$P(Z > a) = 1 - P(Z < a) = 1 - \Phi(a)$$
情況 3：\(P(Z < -a)\)，其中 \(-a < 0\)（負值左側的面積）
表格只顯示正的 \(Z\)。由於對稱性，\(-a\) 左側的面積與 \(a\) 右側的面積相同。
$$P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - \Phi(a)$$
（課程大綱註：表格指明了這種關係：\( \Phi(-z) = 1 - \Phi(z) \)）
情況 4：\(P(Z > -a)\)，其中 \(-a < 0\)（負值右側的面積）
由於對稱性，\(-a\) 右側的面積涵蓋了整個正半部分加上 \(P(0 < Z < a)\) 的面積。這等同於整個面積 \(P(Z < a)\)：
$$P(Z > -a) = P(Z < a) = \Phi(a)$$
情況 5：\(P(a < Z < b)\)（兩個值之間的面積）
將較大值的累計概率減去較小值的累計概率。
$$P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a) = \Phi(b) - \Phi(a)$$
給同學的關鍵提示： 一定要畫出鐘形曲線並標出所需的區域。這能直觀地確認你需要使用哪個公式（\(1 - \Phi\) 還是直接 \(\Phi\)）。
重點總結： 所有常態分佈概率問題都依賴於對目標面積進行操作，直到你能用基本的累計函數 \(\Phi(z)\) 來表示它。
5. 反向常態分佈問題
有時，題目會給你概率（面積），並要求你找出對應的 \(X\) 值，或是參數 \(\mu\) 或 \(\sigma\)。這稱為反向標準化 (Reverse Standardisation)。
反向計算步驟：
- 找出 \(Z\)-分數： 使用給定的概率（面積）並查閱 \(Z\)-表（反向查找）來找出對應的 \(z\)-值。
- 確定正負號：
- 如果給定的概率面積小於 0.5，則 \(z\)-值必須為負。
- 如果給定的概率面積大於 0.5，則 \(z\)-值必須為正。
- 使用標準化公式： 將已知值代入 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) 並解出未知參數（\(X\)、\(\mu\) 或 \(\sigma\)）。
例子： 如果 \(P(X < x_1) = 0.1587\)。由於 0.1587 小於 0.5，\(x_1\) 必須位於平均值的左側，其對應的 \(Z\)-分數 \(z_1\) 必須是負數。
我們在表中查找面積 \(1 - 0.1587 = 0.8413\)，得到 \(z = 1.00\)。
因此，\(x_1\) 的實際 \(Z\)-分數為 \(\mathbf{z_1 = -1.00}\)。
常見錯誤： 在反向問題中，當概率小於 0.5 時，忘記調整 \(Z\)-分數的正負號。
6. 用常態分佈近似二項分佈
常態分佈作為連續分佈，有時可以用來估計離散的二項分佈 (Binomial Distribution) 的概率。當試驗次數 \(n\) 非常大，導致直接計算困難時，這非常有用。
近似條件
當以下條件滿足時，認為使用常態分佈近似二項分佈 \(X \sim B(n, p)\) 是合適的：
- 試驗次數 \(n\) 很大。
- 同時滿足 \(\mathbf{np > 5}\) 和 \(\mathbf{nq > 5}\)（其中 \(q = 1 - p\)）。
近似參數
若滿足上述條件，我們使用常態分佈 \(N(\mu, \sigma^2)\) 來近似 \(X\)，參數如下：
$$ \mu = np $$
$$ \sigma^2 = npq $$
連續性修正 (Continuity Correction, CC) - 這非常關鍵！
由於我們從離散分佈（二項分佈，結果為整數）轉換為連續分佈（常態分佈），我們必須應用連續性修正。
連續性修正涉及將整數值的邊界調整 0.5。將每個整數 \(x\) 視為在連續尺度上涵蓋了從 \((x - 0.5)\) 到 \((x + 0.5)\) 的區間。
連續性修正總結：
| 離散二項概率 | 連續常態近似 |
|---|---|
| \(P(X = x)\) | \(P(x - 0.5 < X < x + 0.5)\) |
| \(P(X \leq x)\) | \(P(X < x + 0.5)\) |
| \(P(X < x)\) | \(P(X < x - 0.5)\) |
| \(P(X \geq x)\) | \(P(X > x - 0.5)\) |
| \(P(X > x)\) | \(P(X > x + 0.5)\) |
例子： 假設你想求恰好 10 次成功的概率，\(P(X=10)\)。
在連續尺度上，「恰好 10」由 9.5 到 10.5 的區間表示。
近似值：\(P(9.5 < X < 10.5)\)。
例子： 如果題目要求「小於 15」，意即 \(X \leq 14\)。
允許的最大整數是 14。連續邊界必須延伸至 14.5。
近似值：\(P(X < 14.5)\)。
近似步驟：
- 檢查條件：\(np > 5\) 且 \(nq > 5\)。
- 計算 \(\mu = np\) 和 \(\sigma^2 = npq\)。
- 對所需的整數邊界應用連續性修正（加或減 0.5）。
- 使用 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) 進行標準化。
- 按照第 4 節的方法使用 \(Z\)-表求解。
你知道嗎？ 常態分佈出現得如此頻繁是因為中心極限定理 (Central Limit Theorem)（Paper 6/S2 的內容）。該定理指出，無論個別變量原本的分佈如何，許多獨立隨機變量的總和或平均值往往會趨向於常態分佈！
重點總結： 當用常態分佈近似二項分佈時，請記住兩個關鍵步驟：從二項分佈參數計算正確的 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\)，並永遠應用連續性修正（加減 0.5）。