Trigonometry

三角函數（Trigonometry）(Pure Mathematics 3: 9709) 溫習筆記

歡迎來到 Pure Mathematics 3 的三角函數章節！如果你覺得 P1 的三角函數還算簡單，那麼準備好擴充你的工具箱吧。P3 的三角函數建立在基礎恆等式之上，並加入了強大的新函數與公式，特別是 R-公式 (R-formula)，這對於處理波形的合併至關重要。掌握這個課題是 Paper 3 奪分的關鍵！

1. 倒數函數：正割、餘割與餘切

在 P3 中，我們引入了三個新的三角函數。它們其實就是我們熟悉函數的倒數。

1.1 定義與關係

正割 ($\sec \theta$)：餘弦的倒數。
$$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $$
餘割 ($\csc \theta$ 或 $\mathrm{cosec} \theta$)：正弦的倒數。
$$ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $$
餘切 ($\cot \theta$)：正切的倒數。
$$ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$

記憶小貼士：留意一個避免混淆的好方法：以「C」開頭的函數是「S」開頭函數的倒數，反之亦然。（餘割 Cosecant 配正弦 Sine；正割 Secant 配餘弦 Cosine）。

1.2 圖像、定義域與值域

由於這些函數涉及除以 $\sin \theta$ 或 $\cos \theta$，它們的圖像會在原函數為零的地方出現垂直漸近線。

$\mathbf{y = \sec \theta}$： 漸近線出現在 $\cos \theta = 0$ 的位置 (例如 $\pm 90^\circ$, $\pm 270^\circ$)。值域：$\sec \theta \leq -1$ 或 $\sec \theta \geq 1$。
$\mathbf{y = \csc \theta}$： 漸近線出現在 $\sin \theta = 0$ 的位置 (例如 $0^\circ$, $\pm 180^\circ$, $\pm 360^\circ$)。值域：$\csc \theta \leq -1$ 或 $\csc \theta \geq 1$。
$\mathbf{y = \cot \theta}$： 漸近線出現在 $\sin \theta = 0$ 的位置。週期為 $\pi$ (或 $180^\circ$)。值域：所有實數。

重點提示： 先畫出底層函數（$\sin \theta$ 或 $\cos \theta$）的草圖，是找出漸近線位置與倒數函數圖像形狀的最佳方法。

2. 進階畢氏恆等式

我們在基礎恆等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 的基礎上進一步推導。

2.1 推導新恆等式

1. 除以 $\cos^2 \theta$：

$$ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$

得到第一個 P3 恆等式：

$$ \mathbf{\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta} $$

2. 除以 $\sin^2 \theta$：

$$ \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} $$

得到第二個 P3 恆等式：

$$ \mathbf{1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta} $$

2.2 恆等式在簡化與證明中的應用

這些恆等式對於簡化複雜表達式及解方程非常重要。如果簡化過程困難，請嘗試將所有項轉回 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$。

例子： 要解 $\sec^2 \theta = 3 \tan \theta - 1$，你必須先用 $(1 + \tan^2 \theta)$ 代替 $\sec^2 \theta$，從而組成一個關於 $\tan \theta$ 的二次方程來求解。

快速重溫：P3 恆等式集

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ (P1)
$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$ (P3)
$\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta$ (P3)

重點提示： 解方程時，目標通常是讓所有項包含相同的角及相同類型的函數（例如：全轉為 $\sin \theta$ 或全轉為 $\tan 2\theta$）。

3. 加法與倍角公式

這些公式讓你可以展開並合併包含角度和或倍數的三角表達式。

3.1 加法公式 ($A \pm B$)

這些公式會出現在公式冊 (MF19) 中，但熟記它們可以節省大量時間。

正弦： $$ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $$ （符號保持一致。）
餘弦： $$ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $$ （符號相反！）
正切： $$ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $$ （分子符號不變；分母符號相反。）

你知道嗎？ 你可以用這些公式求出非 30, 45, 60 度的精確值，例如 $\cos 15^\circ$。由於 $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$，你可以精確計算 $\cos(45^\circ - 30^\circ)$！

3.2 倍角公式 ($2A$)

這些公式直接由加法公式令 $A = B$ 推導出來。

正弦： $$ \mathbf{\sin 2A = 2 \sin A \cos A} $$
正切： $$ \mathbf{\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}} $$
餘弦（三重威脅）： $\cos 2A$ 有三種形式，你必須知道何時有效地使用它們（尤其是在積分題中）。
1. $$ \mathbf{\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A} $$
2. $$ \mathbf{\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1} $$ （若只想保留 $\cos$ 時使用）
3. $$ \mathbf{\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A} $$ （若只想保留 $\sin$ 時使用）

重要使用技巧： 倍角公式不僅用於「加倍」；它們是用來「轉換角度」。如果你看到 $\sin 6x$，可以把它寫成 $2 \sin 3x \cos 3x$。如果你看到 $\cos^2 5x$，可以寫成 $\frac{1}{2}(1 + \cos 10x)$。這種半角/倍角技巧在解方程時經常需要用到。

重點提示： 加法與倍角公式是證明題及統一表達式（使其僅含一種角度）的關鍵工具。

4. 和角公式 (R-Formula)

和角公式（又稱 R-公式）用於將包含正弦與餘弦組合的表達式（如 $a \sin \theta + b \cos \theta$）轉化為單一的三角波形，例如 $R \sin(\theta \pm \alpha)$ 或 $R \cos(\theta \pm \alpha)$。

類比： 想像將兩個不同的聲波合併成一個清晰、響亮的波。R-公式就是找出這個合成波的振幅 ($R$) 與相位差 ($\alpha$)。

4.1 目標與形式

你需要能夠將 $a \sin \theta + b \cos \theta$ 轉化為以下四種形式之一：

$$ R \sin(\theta + \alpha) $$
$$ R \sin(\theta - \alpha) $$
$$ R \cos(\theta + \alpha) $$
$$ R \cos(\theta - \alpha) $$

其中 $R > 0$ 且 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (或 $0 < \alpha < \pi/2$ 弧度)。

4.2 計算步驟（例子：$R \sin(\theta + \alpha)$）

讓我們以 $3 \sin \theta + 4 \cos \theta$ 為例。我們想把它寫成 $R \sin(\theta + \alpha)$ 的形式。

第一步：利用加法公式展開所選的 R-形式。

$$ R \sin(\theta + \alpha) = R (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) $$

$$ 3 \sin \theta + 4 \cos \theta = (R \cos \alpha) \sin \theta + (R \sin \alpha) \cos \theta $$

第二步：比較 $\sin \theta$ 與 $\cos \theta$ 的係數。

比較 $\sin \theta$ 的係數： $$ 3 = R \cos \alpha \quad \text{ (方程 1)} $$ 比較 $\cos \theta$ 的係數： $$ 4 = R \sin \alpha \quad \text{ (方程 2)} $$

第三步：計算 R（振幅）。

將兩個方程平方並相加：

$$ 3^2 + 4^2 = (R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 $$

$$ 9 + 16 = R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $$

由於 $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$：

$$ 25 = R^2 \quad \implies \mathbf{R=5} $$

第四步：計算 $\alpha$（相位差）。

用方程 2 除以方程 1：

$$ \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{4}{3} $$

$$ \tan \alpha = \frac{4}{3} $$

使用計算機（確保單位正確，角度或弧度，視題目要求而定）：

$$ \mathbf{\alpha \approx 53.13^\circ} $$

第五步：寫出最終表達式。

$$ \mathbf{3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 5 \sin(\theta + 53.1^\circ)} \text{ (準確至三位有效數字)} $$

4.3 R-公式的應用

1. 最大值與最小值：

由於 $-1 \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1$，表達式 $R \sin(\theta + \alpha)$ 具有：

最大值：R (當 $\sin(\theta + \alpha) = 1$ 時)
最小值：-R (當 $\sin(\theta + \alpha) = -1$ 時)

2. 解方程：

R-公式將棘手的方程（如 $3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 2$）轉化為易解的基礎三角方程：

$$ 5 \sin(\theta + 53.13^\circ) = 2 $$

$$ \sin(\theta + 53.13^\circ) = 0.4 $$

接著解出複合角 $(\theta + \alpha)$，然後減去 $\alpha$ 即可求得 $\theta$。(記得將 $\theta$ 的範圍調整至 $(\theta + \alpha)$ 的範圍！)

常見錯誤： 當使用展開法（比較係數）時，$\alpha$ 永遠是銳角 ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$)。不要使用 CAST 圖表去尋找 $\alpha$ 的其他可能值。係數 $a$ 和 $b$ 的正負號已經決定了最終波形平移的象限。

R-公式重點總結： R 永遠利用畢氏定理計算：$R = \sqrt{a^2 + b^2}$。$\alpha$ 利用 $\tan \alpha = \left|\frac{b}{a}\right|$（或 $\left|\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right|$）求得，並始終保持 $\alpha$ 為銳角。

5. 解進階三角方程

這是將所有工具融會貫通的地方。你必須精確處理題目要求的區間以及所求的函數。

5.1 解題標準程序

1. 統一表達式： 使用恆等式（第 2 和第 3 節）將方程轉換為只包含以下其中一種形式：

一個三角函數（例如：全為 $\tan x$），或
一種角度（例如：全為 $\theta$ 或全為 $2\theta$），或
和角形式 ($R\sin(\theta + \alpha)$)。

2. 調整範圍： 如果你解的是修改過的角（例如 $2\theta$，或 $\theta + 30^\circ$），請確保相應地調整給定的定義域（區間）。

例子： 如果 $0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$，那麼 $0^\circ \leq 2\theta \leq 720^\circ$。

3. 求主值 (Principal Value, PV)： 使用反三角函數（例如 $\sin^{-1}, \cos^{-1}$）計算基本角。在此階段忽略數值的正負號。

4. 利用 CAST 找出所有解： 使用 CAST 圖表（或圖像）找出在調整後的範圍內，所有對應於原始比例符號的角度。

5. 最後一步： 將解調整回原始變量 ($\theta$)。

5.2 常見的棘手情況

情況 1：使用倍角解題

如果你同時有 $\sin 2\theta$ 和 $\cos \theta$，必須轉換倍角：

$$ \sin 2\theta - \cos \theta = 0 $$ $$ 2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0 $$ $$ \cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0 $$

這會拆解成兩個獨立且簡單的方程來解：$\cos \theta = 0$ 和 $\sin \theta = 1/2$。

情況 2：包含倒數函數的方程

如果你遇到像 $\tan \theta + \cot \theta = 4$ 的情況：

$$ \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 4 $$

兩邊同乘 $\tan \theta$ 得到一個關於 $\tan \theta$ 的二次方程：

$$ \tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0 $$

接著使用二次方程公式求解，得出兩個 $\tan \theta$ 的基本值，再用標準程序解出 $\theta$。

5.3 弧度 (Radians) 的重要性

許多 P3 題目會以弧度指定區間（例如 $-\pi < x < \pi$ 或 $0 \leq x \leq 2\pi$）。

確保你的計算機設為 弧度模式 (Radian Mode)。
記住關鍵值：$\pi \approx 3.142$，$2\pi \approx 6.283$。
如果你在使用 R-公式，從一開始就以弧度計算 $\alpha$。

給同學的建議：千萬別漏掉象限！

務必先畫出 CAST 圖，並在動用計算機之前寫出每個相關象限的公式。例如，若 $\sin x = -0.5$，你知道解必須在 T 和 C 象限。主值 (PV) 為 $30^\circ$，因此解為 $180^\circ + 30^\circ$ 和 $360^\circ - 30^\circ$。保持系統化作業可確保你找到區間內所有的根。

重點提示： P3 的三角函數題是非常講求程序的。找出正確的恆等式或公式、統一表達式、調整範圍，並使用 CAST 方法系統地找出所有解。

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