Vectors

A Level Pure Mathematics 3 (9709) 學習筆記：向量 (3.7)

歡迎來到向量的世界！這一章節是 Pure Mathematics 3 中最實用且概念上最令人滿足的部分之一。為什麼呢？因為向量讓我們有能力去描述和解決二維及三維空間中涉及位置、移動和力的問題。你可以將其想像成你座標幾何技能的升級版，讓你能夠處理現實世界中不僅僅發生在平面圖表上的問題！

如果三維空間剛開始讓你感到困惑，請不用擔心。我們會使用清晰的標記法和大量的視覺解釋，一步步拆解每一個概念。

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1. 向量基礎：定義與標記法

1.1 純量 (Scalar) 與 向量 (Vector)

在數學中，數量主要分為兩類：

• 純量： 只有 大小 (magnitude)。
  例子：質量 (5 kg)、速率 (60 km/h)、溫度 (20°C)。
• 向量： 同時具有 大小 (magnitude) 和 方向 (direction)。
  例子：速度 (60 km/h 向北)、力 (10 N 向下)、位移 (5 m 向東)。

類比： 純量告訴你「有多少」，而向量則告訴你「有多少以及往哪裡去」。

1.2 標準標記法

我們使用特殊的標記法來區分向量與純量。在印刷中，向量通常用粗體 \(\mathbf{a}\) 表示；手寫時，則通常在字母下方加底線 \(\underline{a}\)。

在 P3 中，向量通常以兩種主要方式表達：

1. 列向量形式 (Component Form)： 最適合用於計算。

   二維：\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
   三維：\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)

2. \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 形式 (單位向量形式)： 同樣非常適合計算，特別是在顯示方向時。\(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\) 和 \(\mathbf{k}\) 分別是 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 軸方向上的單位向量（大小為 1）。

   三維：\(\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)

2. 位置向量與位移向量

2.1 位置向量 (Position Vectors)

位置向量 (\(\mathbf{r}\) 或 \(\mathbf{a}\)) 指定了點 \(A\) 相對於原點 \(O\) 的位置。

如果點 \(A\) 的座標為 \((x, y, z)\)，則其位置向量為 \(\vec{OA} = \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)。

2.2 位移向量 (兩點間的向量)

代表從點 \(A\) 到點 \(B\) 的行程的向量稱為位移向量，即 \(\vec{AB}\)。

要計算 \(\vec{AB}\)，你需要用終點 (\(B\)) 的位置向量減去起點 (\(A\)) 的位置向量：

公式： \(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\)

記憶小撇步： 位移向量永遠是「終點減起點」。

2.3 向量運算與幾何

加法與減法： 按分量進行運算。這在幾何上遵循三角形法則（或平行四邊形法則）。

若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，則：

\(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}\)

幾何解釋 (平行四邊形法則)：

如果 \(OABC\) 是一個平行四邊形，那麼對角線向量 \(\vec{OB}\) 就是鄰邊的總和：\(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}\)。這是你在證明題中必須熟練運用的重要幾何解釋！

純量乘法： 將向量 \(\mathbf{a}\) 乘以純量 \(k\)，會改變其大小（長度），但不會改變方向（若 \(k > 0\)）。

\(k\mathbf{a} = k \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k a_1 \\ k a_2 \\ k a_3 \end{pmatrix}\)

如果 \(k\) 是負數，向量的方向會反轉（指向相反方向）。

2.4 求中點

線段 \(AB\) 中點 \(M\) 的位置向量是 \(A\) 和 \(B\) 位置向量的平均值。

中點公式： \(\vec{OM} = \mathbf{m} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})\)

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3. 大小與單位向量

3.1 計算大小

向量 \(\mathbf{a}\) 的大小（或長度）表示為 \(|\mathbf{a}|\)（有時也寫作 \(\|\mathbf{a}\|\)）。由於這些分量構成了一個直角三角形（在三維中為長方體），我們使用畢氏定理。

若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，則：

大小公式： \(|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)

例子： 若 \(\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 6\mathbf{k}\)，則 \(|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7\)。

3.2 單位向量

單位向量是大小正好為 1 的向量。它通常純粹用來定義一個方向。

要找到 \(\mathbf{a}\) 方向上的單位向量，只需將向量 \(\mathbf{a}\) 除以它自身的大小即可：

單位向量 \(\hat{\mathbf{a}}\) 公式： \(\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}\)

提示： 將一個向量正規化 (Normalising) 的意思就是將其轉換為單位向量。

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4. 直線方程式

在 P3 中，我們不是用 \(y=mx+c\) 來描述直線，而是使用向量。這使我們能夠輕鬆地在三維空間中進行運算。

4.1 直線的向量方程式

一條直線由以下兩點唯一確定：

1. 直線上一點的位置向量 \(\mathbf{a}\)。
2. 直線所遵循的方向向量 \(\mathbf{b}\)。

直線上任一點的位置向量 \(\mathbf{r}\) 可以寫為：

向量方程式： \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)

這裡，\(t\) 是一個純量參數（任意實數）。透過改變 \(t\) 的值，你就可以從點 \(\mathbf{a}\) 出發，沿著方向 \(\mathbf{b}\) 在直線上移動。

例子： 一條通過點 \(A\)（位置向量 \(\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j}\)）且平行於方向向量 \(\mathbf{b} = 3\mathbf{i} - \mathbf{k}\) 的直線，其方程式為：
\(\mathbf{r} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) + t(3\mathbf{i} - \mathbf{k})\)

4.2 以分量形式書寫

如果我們將分量分開書寫，通常能讓解聯立方程式變得更容易：

若 \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)，\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，則直線方程式可拆分為三個獨立的方程式：

分量形式 (參數方程式)：
\(x = a_1 + t b_1\)
\(y = a_2 + t b_2\)
\(z = a_3 + t b_3\)

步驟：找出通過兩點的直線方程式

1. 確定兩點 \(A\) 和 \(B\) 的位置向量。
2. 選擇其中一個作為你的固定點 \(\mathbf{a}\) (例如 \(\mathbf{a} = \vec{OA}\))。
3. 透過計算兩點間的位移來求出方向向量 \(\mathbf{b}\)：\(\mathbf{b} = \vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\)。
4. 將這些代入 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。

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5. 兩直線之間的關係

給定兩條直線 \(L_1: \mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\) 和 \(L_2: \mathbf{r} = \mathbf{c} + s\mathbf{d}\)，我們必須判斷它們是平行、相交還是歪斜 (skew)。(注意：我們對兩條直線使用了不同的參數 \(t\) 和 \(s\)，這至關重要！)

5.1 平行線

如果兩條直線的方向向量互為純量倍數，則它們是平行的。

若 \(\mathbf{b} = k\mathbf{d}\)（其中 \(k\) 為某純量），則 \(L_1\) 平行於 \(L_2\)。

如果它們平行，請檢查點 \(\mathbf{c}\) 是否位於 \(L_1\) 上，以判斷它們是否為同一條直線（即，你能否找到一個 \(t\) 值使得 \(\mathbf{c} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)？）。

5.2 相交線

如果方向向量不平行，直線可能會相交於一點。

步驟：找出交點

1. 將兩條直線方程式設為相等：\(\mathbf{a} + t\mathbf{b} = \mathbf{c} + s\mathbf{d}\)。
2. 將此向量方程式拆解為三個分量方程式（分別對應 \(x\)、\(y\) 和 \(z\)）。
3. 使用其中任意兩個方程式（例如 \(x\) 和 \(y\)）組成聯立方程式，並解出參數 \(t\) 和 \(s\)。
4. 關鍵驗證步驟： 將求得的 \(t\) 和 \(s\) 值代入*第三個*（尚未使用的，例如 \(z\)）方程式。
   • 如果第三個方程式兩邊相等（LHS = RHS），則兩線相交。
   • 如果第三個方程式兩邊不等，則兩線為歪斜 (skew)。
5. 如果相交，將 \(t\) (或 \(s\)) 的值代回原直線方程式 \(L_1\) (或 \(L_2\))，即可求出交點的位置向量。

5.3 歪斜線 (Skew Lines)

如果兩條直線不平行且不相交，則它們為歪斜。這只可能發生在三維空間中。如果你從特定角度看，它們看起來像是在交叉，但實際上它們永不相交。

如何判斷是否歪斜： 按照相交線的步驟 (5.2) 進行。如果從前兩個方程式求出的 \(t\) 和 \(s\) 無法通過第三個方程式的驗證，則說明它們是歪斜的。

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6. 純量積 (點積，Dot Product)

純量積是一個基礎工具，用於求兩向量之間的夾角以及判斷是否垂直。

6.1 定義與計算

兩個向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的純量積（或點積）結果是一個 純量（一個數字）。

根據給定的資訊，有兩種計算方式：

1. 使用分量：

   若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)：

   公式 1： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)

   這只是將對應的分量相乘，然後將結果加總。
2. 使用大小與夾角：

   若 \(\theta\) 為 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 之間的夾角（將兩者尾端相接時）：

   公式 2： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta\)

6.2 找出兩向量（或直線）之間的夾角

我們結合上述兩個公式來分離 \(\cos \theta\)：

夾角公式： \(\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\)

步驟：找出夾角 \(\theta\)

1. 使用公式 1（分量）計算純量積 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\)。
2. 計算 \(\mathbf{a}\) 的大小 \(|\mathbf{a}|\)。
3. 計算 \(\mathbf{b}\) 的大小 \(|\mathbf{b}|\)。
4. 將結果代入夾角公式，並解出 \(\theta = \arccos(\dots)\)。

注意： 當尋找兩條*直線*之間的夾角時，必須使用直線的方向向量 (\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{d}\))。

6.3 垂直性檢查 (正交性)

這是純量積最重要的應用。

如果兩個向量垂直（成 90° 角），則 \(\theta = 90^\circ\)。由於 \(\cos(90^\circ) = 0\)，因此純量積必須為零。

垂直條件： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)

6.4 應用：垂足 (Foot of the Perpendicular)

一個常見的 P3 問題是從點 \(P\) 到直線 \(L\) 尋找垂足 \(N\)。

設直線 \(L\) 為 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。由於 \(N\) 位於 \(L\) 上，其位置向量 \(\mathbf{n}\) 可表示為 \(\mathbf{n} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。

步驟：

1. 用參數 \(t\) 表示向量 \(\vec{PN}\) (即從 \(P\) 到直線上一般點 \(N\) 的向量)：
   \(\vec{PN} = \mathbf{n} - \mathbf{p} = (\mathbf{a} + t\mathbf{b}) - \mathbf{p}\)。
2. 由於 \(\vec{PN}\) 必須垂直於直線 \(L\)，因此 \(\vec{PN}\) 必須垂直於直線的方向向量 \(\mathbf{b}\)。
3. 應用垂直條件：\(\vec{PN} \cdot \mathbf{b} = 0\)。
4. 解出該純量方程式中的參數 \(t\)。
5. 將 \(t\) 的值代回 \(\mathbf{n}\) 的表示式，即可求出 \(N\) 的位置向量。

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排除內容總結 (9709 P3 向量無需研讀的部分)

為了保持你的學習重點，請記住以下進階向量概念不需要在 9709 Pure Mathematics 3 中學習：

• 向量積 (外積，Cross Product)： 這種運算產生一個垂直於原兩向量的向量，在考綱範圍之外。
• 一般分點公式： 雖然包含中點，但一般點將線段分成 \(\lambda:\mu\) 比例的公式是不需要的。
• 歪斜線間的最短距離： 你只需要*判斷*兩線是否為歪斜，不需要計算它們之間的最短距離。
• 平面的方程式： 平面幾何超出 P3 向量的範圍。

專注於大小、直線方程式、判斷相交/歪斜，以及純量積的應用！

你一定沒問題的！向量是一個強大的技能，能將代數與幾何美妙地連結起來。繼續練習這些步驟吧！