固體形變 (AS Level Physics 9702, Topic 6)
歡迎來到固體形變 (Deformation of Solids) 這章！聽起來可能很專業，但其實這就是發生在我們身邊的物理現象。每當你拉伸彈簧、站在地板上，甚至是咬一口蘋果時，力都在使物質改變形狀——也就是發生形變。
在本章中，我們將探討物料在受力時的反應，並介紹應力 (stress)、應變 (strain)、虎克定律 (Hooke's Law) 以及至關重要的楊氏模數 (Young Modulus) 等基本概念。對於設計建築物、橋樑以及任何需要承受力而不倒塌的結構的工程師來說，理解這些概念是非常關鍵的！
6.1 應力與應變：改變形狀的基礎
甚麼是形變？
形變 (Deformation) 簡單來說，就是固體物體因為受力而導致形狀或大小的改變。在 AS 物理課程中，我們只考慮一維 (1D) 的形變——這意味著物體沿著受力方向變長或變短。
導致形變的力主要有兩種類型：
- 拉力 (Tensile Forces)： 將物體拉開的力，導致伸長 (extension)（變得更長）。
- 壓力 (Compressive Forces)： 將物體向內擠壓的力，導致壓縮 (compression)（變得更短）。
認識虎克定律與彈簧常數
對於許多物料（如彈簧、金屬線和桿）來說，當施加一個力（或載荷 load）時，伸長量通常與力成正比。這種關係被稱為虎克定律 (Hooke's Law)。
如果你在彈簧上掛一個 1 N 的砝碼，它伸長了 1 cm；那麼掛上 2 N 的砝碼，它就會伸長 2 cm（前提是別把它拉得太長！）。
虎克定律： 力與伸長量成正比。
\[F \propto x\]
彈簧常數 (k)
為了將上述的正比關係寫成等式，我們引入了彈簧常數 (spring constant)，即 \(k\)。
\[F = kx\]
其中：
- \(F\) 為所施加的力或載荷（單位：牛頓，N）。
- \(x\) 為伸長或壓縮量（長度的變化，單位：米，m）。
- \(k\) 為彈簧常數（單位：\(\text{N m}^{-1}\)）。
你可以把 \(k\) 想像成彈簧或金屬線的「剛度 (stiffness)」。\(k\) 值越大，意味著物料越剛硬（難以拉伸），需要較大的力才能產生微小的伸長量。
比例極限
虎克定律只適用於達到某個點之前，該點稱為比例極限 (limit of proportionality)。超過這個點後，力和伸長量不再呈線性關係，圖表也不再是穿過原點的直線（請參閱 6.2 節）。
快速回顧：虎克定律重點
- 關係式：\(F = kx\)
- \(k\) 的單位：\(\text{N m}^{-1}\)
- 法則：僅在達到比例極限前有效。
定義應力 (\(\sigma\))、應變 (\(\epsilon\)) 與楊氏模數 (E)
雖然虎克定律對於彈簧非常實用，但它只描述了特定物件的反應。為了讓工程師能夠比較不同物料（例如鋼材與塑料），他們需要與物體初始大小或形狀無關的性質。這就是應力和應變的作用。
1. 應力 (\(\sigma\))
應力 (Stress) 定義為單位橫截面積上所受的力。它反映了力的集中程度。
\[\text{應力 } (\sigma) = \frac{\text{力 } (F)}{\text{橫截面積 } (A)}\] \[\sigma = \frac{F}{A}\]
- 應力的國際單位 (SI Unit)： \(\text{N m}^{-2}\) 或帕斯卡 (Pa)。
類比：想像用手指戳泥膠。如果你用整個拇指戳（面積大，應力小），它可能不會凹陷；但如果你用指甲戳（面積小，應力大），即使力的大小相同，它也能輕易留下凹痕。
2. 應變 (\(\epsilon\))
應變 (Strain) 定義為單位原始長度的伸長量。它是衡量物體長度相對變化的一種指標。
\[\text{應變 } (\epsilon) = \frac{\text{伸長量 } (x)}{\text{原始長度 } (L)}\] \[\epsilon = \frac{x}{L}\]
- 應力的國際單位 (SI Unit)： 應變是兩個長度的比值 (\(\text{m/m}\))，因此它是無因次量 (dimensionless)（沒有單位）。
你知道嗎？應變通常以百分比表示，或者乘以 \(10^{-6}\)（微應變），因為大多數工程物料在斷裂前只會發生極其微小的形變！
3. 楊氏模數 (E)
楊氏模數 (Young Modulus)（有時稱為彈性模數）是聯繫應力和應變的物理性質。在未超過比例極限的情況下，它定義為拉伸應力與拉伸應變的比值。
對於給定的物料和溫度，這個值是一個常數。它是衡量物料剛度的權威指標。
\[\text{楊氏模數 } (E) = \frac{\text{應力 } (\sigma)}{\text{應變 } (\epsilon)}\] \[E = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}\]
- 楊氏模數的國際單位 (SI Unit)： 由於應變沒有單位，\(E\) 的單位與應力相同：\(\text{N m}^{-2}\) 或 Pa。它通常非常大（例如鋼約為 \(200 \times 10^9 \text{ Pa}\)）。
記憶小貼士： 記住它們分別是什麼！
- 應力 (\(\sigma\))： 單位面積的力 (\(F/A\)) —— 它是「施壓」的程度。
- 應變 (\(\epsilon\))： 單位長度的伸長量 (\(x/L\)) —— 它是「改變」的程度。
- 楊氏模數 (E)：兩者的比值 (\(\sigma/\epsilon\)) —— 決定了物料的「剛度」。
6.2 彈性與塑性行為
彈性形變 vs. 塑性形變
當你對物料施加載荷時，其結構可能會發生兩種情況：
1. 彈性形變 (Elastic Deformation)
彈性形變是暫時性的。一旦外力移除，物體就會恢復到原本的尺寸。在彈性材料中，原子間的鍵被拉伸或壓縮，但當應力消失時，它們會彈回原位。
例子：輕微拉伸一條新的橡皮筋。當你鬆開手，它會彈回原本的長度。
2. 塑性形變 (Plastic Deformation)
塑性形變是永久性的。當載荷移除後，物體不會回到原本的形狀或大小。這是因為施加的力導致物料內部的原子互相滑動，進入了新的、永久性的位置。
例子：彎曲一個金屬迴紋針，直到它保持彎曲狀態。
彈性限度 (Elastic Limit)
彈性限度是物料開始產生永久性（塑性）形變之前的臨界點。對於大多數金屬，彈性限度與比例極限非常接近。
常見誤區： 不要混淆「比例極限」(F 與 x 不再成正比的點) 與「彈性限度」(永久損傷開始的點)。雖然在簡單的 AS 題目中它們常被視為同一點，但嚴格來說，比例極限發生在彈性限度之前。
功與彈性位能
當物料被拉伸或壓縮時，外力會做功。這些功會以彈性位能 (Elastic Potential Energy, \(E_p\)) 的形式儲存在物料中（就像儲存在彈簧裡的能量一樣）。
力-伸長量圖 (F-x Graphs)
當物料發生形變時，所做的功 (\(W\)) 或儲存的能量 (\(E_p\)) 等於力-伸長量圖下的面積。
如果物料僅在比例極限內被拉伸，圖表會呈現一條直線，形成一個三角形。
\[\text{所做的功 } (W) = \text{圖表下的面積}\]
因為三角形面積為 \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)：
高 \(= F\)（力）
底 \(= x\)（伸長量）
彈性位能 (\(E_p\))（在比例極限內）：
\[E_p = \frac{1}{2} Fx\]
利用虎克定律 (\(F = kx\))，我們可以代入 \(F\)：
\[E_p = \frac{1}{2} (kx)x = \frac{1}{2} kx^2\]如果形變是塑性的怎麼辦？ 如果物料被拉伸超過了彈性限度，儲存的能量將無法完全恢復。載荷曲線下的面積代表總功，但當力移除時，物體會沿著與彈性區域平行的一條直線回落，留下永久的伸長量。所做功（載荷）與恢復的能量（卸載）之間的差異，即為以熱能形式損耗的能量。
重點總結：能量
- 所做的功/儲存的能量 = F-x 圖下的面積。
- 僅當形變為彈性時（即在比例極限內），才使用 \(E_p = \frac{1}{2} Fx\) 或 \(E_p = \frac{1}{2} kx^2\)。
實驗：測定金屬線的楊氏模數
本章的一個關鍵技能是描述用於測定金屬線楊氏模數 (\(E\)) 的實驗方法（6.1，第 6 點）。這經常出現在評核試題中！
步驟流程
目標是測量公式 \(E = \frac{FL}{Ax}\) 中所需的四個量：
1. 設置：
- 使用一條長且細的金屬線（通常 2-3 米）以最大化伸長量 \(x\)，並最小化長度 \(L\) 的百分比不確定度。
- 金屬線的一端被牢牢夾住。
- 在測試線旁邊設置第二條相同的對照線（或「模擬線」），以抵消支撐結構的任何移動或溫度的變化。
2. 測量原始尺寸 (L 和 A)：
- 測量測試段金屬線的原始長度 (\(L\))（例如從夾具到刻度開始的位置）。
- 使用螺旋測微器測量金屬線的直徑 (\(d\))，在金屬線上不同位置測量多次並取平均值。這有助於計算橫截面積：\(A = \pi (d/2)^2\)。
3. 測量力與伸長量 (F 和 x)：
- 在金屬線末端安裝刻度尺和游標標記（用於測量伸長量 \(x\)）。
- 先施加一個小的初始拉力（這可以消除線材的扭結並保持平直）。游標刻度上的初始讀數即為伸長量的零點讀數。
- 透過增加已知的砝碼，分階段增加載荷 (\(F\))。
- 記錄每個質量下的游標讀數。伸長量 (\(x\)) 即為當前讀數與零點讀數之間的差值。
4. 分析：
- 繪製載荷 (\(F\)) 對伸長量 (\(x\)) 的圖表（y 軸為 F，x 軸為 x）。
- 找出線性區域（即虎克定律適用的範圍）。
- 計算該線性段的斜率。該斜率為 \(\frac{F}{x}\)，即等於彈簧常數 \(k\)。
5. 最終計算：
- 將斜率 (\(k\)) 代入楊氏模數公式的變換形式： \[E = \frac{F}{x} \times \frac{L}{A}\] \[E = k \times \frac{L}{A}\]
為什麼要用對照線？ 對照線提供了一個穩定的參考點。如果整個儀器稍微移動，或者金屬線因輕微的溫度變化而膨脹，對照線上的參考標記也會隨之移動，從而確保游標刻度測得的僅是由所施加載荷引起的伸長量。
快速回顧：楊氏模數實驗
- 測量 L（米尺）。
- 測量 d（螺旋測微器）\(\rightarrow\) 計算 A。
- 改變 F（砝碼）。
- 測量 x（游標刻度/標記）。
- 計算 \(E = \text{斜率} \times (L/A)\)。
關鍵定義與公式總結
定義：
- 載荷 (F)： 施加於物料上的力。
- 伸長量 (x)： 由拉力引起的長度增加量。
- 比例極限： \(F \propto x\) 的適用範圍臨界點。
- 彈性限度： 物料發生永久性形變之前的臨界點。
- 彈性形變： 可逆的形變。
- 塑性形變： 永久性的形變。
- 應力 (\(\sigma\))： 單位面積的力。
- 應變 (\(\epsilon\))： 單位原始長度的伸長量。
公式：
虎克定律： \(F = kx\)
應力： \(\sigma = \frac{F}{A}\)
應變： \(\epsilon = \frac{x}{L}\)
楊氏模數： \(E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{FL}{Ax}\)
彈性位能 (E.P.E.)： \(E_p = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} kx^2\) （僅在比例極限內有效）