AS Level 物理 (9702) 學習筆記：第三章 – 動力學 (Dynamics)

你好，未來的物理學家！歡迎來到動力學 (Dynamics) 這一章。如果運動學（第二章）教會你物體是「如何」運動的（速度、加速度），那麼動力學則解釋了它們「為什麼」會這樣運動——它是研究力以及力如何導致運動的學科。


本章是未來所有力學主題的基礎，因此在這裡掌握牛頓定律和動量的概念，將會讓你往後的 AS 物理學習之旅變得順暢得多！讓我們開始吧。

3.1 質量、慣性與牛頓運動定律

質量與慣性

在討論力之前，我們需要先理解質量 (Mass) 的概念。

  • 質量 (\(m\))： 這是衡量物體所含物質多少的量度，是一個純量 (scalar quantity)（只有大小，沒有方向）。
  • 慣性 (Inertia)： 質量從根本上來說是物體抵抗運動狀態改變的屬性。物體的質量越大，要讓它開始運動、停止運動或改變運動方向就越困難。

類比：想像一下推一輛裝滿羽毛的購物車，與推一輛裝滿磚塊的購物車。裝磚塊的車質量更大，因此慣性也更大，這使得要改變它的速度變得更困難。

牛頓第一定律：慣性定律

牛頓第一定律指出，除非受到合外力 (resultant/net external force) 的作用，否則物體將保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。

  • 如果合力 \(F_{resultant} = 0\)，物體會保持恆定速度（這包括靜止，即 \(v=0\)）。
牛頓第二定律：力與加速度

牛頓第二定律是動力學中最核心的數學關係，它聯繫了力、質量和加速度。

定義 1：\(F = ma\)

作用於物體的合力與它產生的加速度成正比，且加速度的方向與合力方向相同。

$$F = ma$$

  • \(F\) 必須是合力 (Resultant Force)（即作用於物體的所有力的向量和）。
  • \(F\) 的單位是牛頓 (N)。\(1 \text{ N} = 1 \text{ kg m s}^{-2}\)。

定義 2：力作為動量的變化率

力更基本的定義是普遍適用的（即使在質量會改變的情況下也適用）：

力等於動量的變化率 (rate of change of momentum)。

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$

我們將在 3.3 節更深入探討動量 (\(p\))。

重量 (\(W\))

重量 (Weight) 定義為重力場對質量的影響。它是一種力，總是垂直向下（指向重力場中心）。

$$W = mg$$

  • \(W\) 是重量（力，單位 N）。
  • \(m\) 是質量（單位 kg）。
  • \(g\) 是自由落體加速度（重力場強度，單位 m s\(^{-2}\) 或 N kg\(^{-1}\)）。

關鍵區別：質量在任何地方都是恆定的；而重量取決於當地的重力場強度 (\(g\))。

牛頓第三定律：作用力與反作用力

牛頓第三定律指出，如果物體 A 對物體 B 施加一個力（作用力），那麼物體 B 也會對物體 A 施加一個大小相等且方向相反的力（反作用力）。

  • 這對力必須屬於同一性質（例如：兩者都是重力，或是兩者都是接觸力）。
  • 這對力作用在不同的物體上。

例子：火箭向後噴出熱氣（作用力）。熱氣對火箭產生一個大小相等、方向相反的推力（反作用力）。正是這個向上的力推動了火箭。

快速回顧：牛頓定律口訣 (I-A-R)
  • Inertia 慣性 (N1L)：若 \(F_{net}=0\)，速度不變。
  • Acceleration 加速度 (N2L)：\(F_{net} = ma\)。
  • Reaction 反作用力 (N3L)：力總是成對出現，大小相等、方向相反，且作用於不同物體。

3.2 非勻速運動與阻力

理解阻力 (Resistive Forces)

在現實世界中，物體很少能完全自由地運動。它們通常會遇到阻力，如摩擦力 (friction) 和阻力 (drag/viscous forces，如空氣阻力)。

  • 摩擦力： 兩接觸表面之間阻礙運動的力。
  • 黏滯力/阻力（空氣阻力）： 在流體（液體或氣體）中運動時阻礙物體移動的力。

定性理解： 在 AS 程度，我們不需要針對這些力進行複雜的計算，但你必須知道：

  1. 阻力通常與運動方向相反。
  2. 黏滯力/阻力會隨著速度增加而增大。（想一想慢速騎單車和高速騎單車的區別——速度越快，空氣阻力就越大。）
終端速度 (Terminal Velocity) 的概念

當物體在均勻重力場中下落並遇到空氣阻力（或黏滯阻力）時，它的運動不是均勻的，直到達到一個稱為終端速度 (terminal velocity) 的恆定最大速度。

下落物體（例如跳傘運動員）的運動過程：

  1. 開始 (\(t=0\))： 物體迅速加速。此時僅受重量 (W，向下) 作用，阻力為零 (D=0)。合力 \(F_{net} = W\)。
  2. 加速階段： 速度增加。隨著速度增大，阻力 (D) 也隨之增大。\(F_{net} = W - D\)。由於 \(F_{net} > 0\)，物體仍在加速，但加速度在逐漸減小。
  3. 終端速度 (\(v_T\))： 物體達到某個速度，此時阻力 (D) 恰好等於重量 (W)。
    此時，\(D = W\)。因此，合力 \(F_{net} = 0\)。
  4. 由於 \(F_{net} = 0\)，根據牛頓第一定律：物體不再加速，並以最大且恆定的速度繼續下落，這就是終端速度。

你知道嗎？降落傘的工作原理是透過大幅增加表面積，從而在較低的速度下顯著增大阻力 (D)，讓跳傘者能以一個更安全、更慢的終端速度著陸。

3.3 線動量及其守恆

線動量 (\(p\))

線動量 (Linear Momentum) 是衡量物體「運動量」的指標。

定義為物體的質量與其速度的乘積。

$$p = mv$$

  • 動量 (\(p\)) 是向量（它有方向，且與速度方向相同）。
  • 單位：kg m s\(^{-1}\) (公斤·米/秒)。
力與動量（重溫牛頓第二定律）

我們之前提到，力是動量的變化率：\(F = \Delta p / \Delta t\)。

這個方程式在碰撞場景中特別有用：

如果一個力 \(F\) 在時間間隔 \(\Delta t\) 內作用，動量的總變化為：

$$\text{動量變化 } (\Delta p) = F \times \Delta t$$

量值 \(F \Delta t\) 通常被稱為衝量 (Impulse)，代表改變物體運動狀態所需的突然推力或拉力。

動量守恆定律 (PCM)

動量守恆定律是物理學中最重要定律之一。

內容： 對於一個相互作用的系統，若無外力對該系統做功或施加合外力，則該系統的總動量保持恆定。

簡單來說：

$$\text{相互作用前的總動量} = \text{相互作用後的總動量}$$

$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$

（記住：由於動量是向量，你必須賦予方向——例如：向右運動為正，向左運動為負。）

動量守恆定律的應用

動量守恆定律用於解決碰撞問題（物體互相撞擊）和爆炸問題（物體從靜止分離）。

例子（反衝）： 當槍發射子彈時，發射前槍-子彈系統的總動量為零。發射後，子彈向一個方向獲得動量，槍則向另一個方向獲得大小相等、方向相反的動量（反衝），以確保系統總動量保持為零。

$$0 = (m_{bullet} v_{bullet}) + (m_{gun} v_{gun})$$

3.4 碰撞：彈性與非彈性

雖然動量在任何相互作用中都總是守恆的（前提是沒有外力），但系統的總能量不一定守恆。這區分了兩種類型的相互作用：

1. 彈性碰撞 (Elastic Collisions)

在彈性碰撞中，總動量和總動能 (KE) 都守恆。

  • 動量： 守恆 (\(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\))。
  • 動能： 守恆 (\(\Sigma KE_{before} = \Sigma KE_{after}\))。
  • 相對速度： 碰撞前的接近相對速度等於碰撞後的遠離相對速度。

例子：原子粒子之間的碰撞或撞球碰撞（接近彈性）。

2. 非彈性碰撞 (Inelastic Collisions)

在非彈性碰撞中，總動量守恆，但總動能不守恆。部分動能轉化為其他形式，如熱能、聲能或永久變形（損壞）。

  • 動量： 總是守恆。
  • 動能： 不守恆 (\(\Sigma KE_{before} > \Sigma KE_{after}\))。部分動能損耗/轉換了。

例子：車禍，或是兩塊黏土碰撞後黏在一起（完全非彈性碰撞）。

二維動量

動量守恆定律適用於向量。如果相互作用發生在二維平面上（如兩個冰球在某個角度碰撞），你必須分別對各分量應用動量守恆：

  • x 方向的總動量守恆。
  • y 方向的總動量守恆。
🛑 避免常見錯誤

學生經常混淆守恆定律：

  • 除非題目明確說明碰撞是彈性 (elastic) 的，否則絕不要假設動能守恆。
  • 只要沒有合外力，在任何碰撞/爆炸中，務必假設動量守恆，無論它們是彈性還是非彈性。


動力學（第三章）核心重點

動力學透過力來解釋運動。牛頓第二定律 (\(F=ma\) 或 \(F=\Delta p / \Delta t\)) 是當存在合力時計算加速度的關鍵工具。如果沒有合力，動量守恆。在分析有阻力的運動時，記住當阻力與重量平衡時達到終端速度，此時合力為零。