AS Level Physics 9702：運動學 (Kinematics) 學習筆記

歡迎來到運動學的世界！

哈囉，未來的物理學家！運動學聽起來可能很複雜，但它其實只是在研究物體如何運動——它們跑得多快、移動了多遠，以及它們的運動狀態如何變化。我們在這裡會暫時不考慮導致運動的力（那是下一章「動力學 Dynamics」的內容！）。

這一章是整個力學的基石。掌握這些概念會讓你在 AS Physics 的其他部分如魚得水。如果一開始覺得有點難，別擔心；我們會用淺顯易懂的語言和日常生活中的例子來拆解這些概念！

1. 定義關鍵術語：純量與向量

在進入方程式之前，我們需要先學會運動學的「語言」。物理學將物理量分為兩類：

1.1 純量 vs. 向量（快速複習）

純量 (Scalars)：只需大小 (magnitude) 即可完整描述的物理量。它們沒有方向性。
例子：距離、速率、質量、時間、能量。

向量 (Vectors)：同時需要大小和方向才能描述的物理量。方向非常重要！
例子：位移、速度、加速度、力、動量。

記憶小撇步：Vector (向量) 總是包含 Values (大小) 和 Very important direction (非常重要的方向)。

1.2 運動定義 (課程大綱 2.1.1)
  • 距離 (Distance, \(d\))：路徑的總長度。（純量）
    例子：如果你先向東走 5 m，再向西走 3 m，總距離是 8 m。
  • 位移 (Displacement, \(s\))：從起點到終點的直線距離，且必須包含方向。（向量）
    例子：在上面的例子中，你的最終位移是向東 2 m。
  • 速率 (Speed)：距離隨時間的變化率。
    $$ \text{Speed} = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}} $$ （純量。單位：\(\text{m s}^{-1}\)）
  • 速度 (Velocity, \(v\))：位移隨時間的變化率。
    $$ \text{Velocity} = \frac{\text{Displacement}}{\text{Time}} $$ （向量。單位：\(\text{m s}^{-1}\)）
  • 加速度 (Acceleration, \(a\))：速度隨時間的變化率。
    $$ a = \frac{\text{Change in Velocity}}{\text{Time taken}} = \frac{v - u}{t} $$ （向量。單位：\(\text{m s}^{-2}\)）

重點筆記：一定要精確！速率和距離不在乎方向，但速度和位移絕對在乎。計算速度時，請務必使用位移，而非距離。

2. 運動的圖象分析 (課程大綱 2.1.2 - 2.1.5)

圖象是運動學中的利器。它們讓我們能一眼看穿物體的運動狀況，並透過斜率或面積輕鬆計算出關鍵物理量。

2.1 位移-時間 (d-t) 圖

這類圖象以位移 (\(s\)) 為 y 軸，時間 (\(t\)) 為 x 軸。

  • 斜率代表什麼：速度 (Velocity) (課程大綱 2.1.4)。 $$ \text{Gradient} = \frac{\text{Change in } y}{\text{Change in } x} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \text{Velocity} $$
  • 圖形解讀：
    • 水平線（斜率為零）表示速度為零（物體靜止）。
    • 斜率為正的直線表示速度為正且恆定（等速運動）。
    • 曲線表示速度在改變，意味著物體正在加速。
2.2 速度-時間 (v-t) 圖

這類圖象以速度 (\(v\)) 為 y 軸，時間 (\(t\)) 為 x 軸。這是運動學計算中最強大的工具。

  • 斜率代表什麼：加速度 (Acceleration) (課程大綱 2.1.5)。 $$ \text{Gradient} = \frac{\text{Change in } y}{\text{Change in } x} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \text{Acceleration} $$
  • 面積代表什麼：位移 (Displacement) (課程大綱 2.1.3)。
    面積計算方式為 \(v \times t\)，既然 \(v = s/t\)，故 \(s = v \times t\)。
逐步分析：速度-時間圖

想像一個騎單車的人加速、巡航，最後煞車的過程：

  1. 初始階段（加速）：線條向上傾斜。
    斜率：為正且恆定。代表恆定加速度 (Constant acceleration)。
  2. 中間階段（巡航）：線條為水平。
    斜率：零。代表零加速度（等速運動）。
  3. 最終階段（煞車）：線條向下傾斜。
    斜率：為負且恆定。代表恆定負加速度（亦即減速 Deceleration）。
  4. 總位移：計算線條下方的面積（通常是一個梯形，或是長方形與三角形的組合）。

快速總結：圖象規則

  • d-t 圖：斜率 = Velocity (速度)
  • v-t 圖：斜率 = Acceleration (加速度)；面積 = Sinplacement (Displacement 位移)

3. 等加速度運動 (SUVAT 方程式) (課程大綱 2.1.6, 2.1.7)

許多物理問題都涉及加速度恆定 (Uniform/Constant) 且物體沿直線運動的情況。針對這些特殊情況，我們有一組超好用的數學工具，也就是 SUVAT 方程式。

3.1 變數定義

我們使用五個關鍵變數，它們全都是向量（這意味著你需要先選定一個正方向並貫徹始終！）：

  • S = 位移 (Displacement, \(s\))
  • U = 初速度 (Initial velocity, \(u\))
  • V = 末速度 (Final velocity, \(v\))
  • A = 恆定加速度 (Constant acceleration, \(a\))
  • T = 時間 (Time taken, \(t\))
3.2 四個 SUVAT 方程式

這些方程式源自速度與加速度的定義，以及等加速度運動下 v-t 圖的特性。

  1. $$ v = u + at $$ （由加速度定義推導）
  2. $$ s = \frac{(u+v)}{2} t $$ （位移 = 平均速度 \(\times\) 時間）
  3. $$ s = ut + \frac{1}{2} a t^2 $$ （將 (1) 代入 (2) 得出）
  4. $$ v^2 = u^2 + 2as $$ （將 (1) 和 (2) 消去 \(t\) 得出）

使用 SUVAT 的重要提示：
要解任何運動學問題，你必須已知五個變數中的其中三個，才能求出第四個。先把 SUVAT 表列出來，填入已知數值，就能找到解題方向。

常見錯誤：
你只能在加速度 \(a\) 為恆定值時使用 SUVAT 方程式。如果加速度隨時間改變（例如受到隨速度變化的空氣阻力），你必須使用圖象法或微積分（雖然微積分通常超出了 AS 水平的範圍）。

*推導焦點 (課程大綱 2.1.6)*

了解這些方程式如何從基本定義推導出來很重要：

  1. 推導 \(v = u + at\)：
    根據定義，加速度等於速度變化量除以時間： $$ a = \frac{v - u}{t} $$ 重組後得到： $$ at = v - u $$ $$ \mathbf{v = u + at} $$
  2. 推導 \(s = ut + \frac{1}{2} a t^2\)：
    已知位移等於平均速度乘以時間： $$ s = \left(\frac{u+v}{2}\right) t $$ 將方程式 1 (\(v = u + at\)) 代入： $$ s = \left(\frac{u + (u + at)}{2}\right) t $$ $$ s = \left(\frac{2u + at}{2}\right) t $$ $$ s = \left( u + \frac{1}{2} at \right) t $$ $$ \mathbf{s = ut + \frac{1}{2} a t^2} $$

重點筆記：SUVAT 方程式是你處理任何直線恆定加速度運動的數學利器。

4. 自由落體與重力加速度 (g) (課程大綱 2.1.7, 2.1.8)

等加速度運動的一個關鍵應用就是物體在重力作用下的運動（假設沒有空氣阻力），這被稱為自由落體 (Free fall)。

4.1 重力加速度

當物體在真空中僅受重力影響下落時，其加速度為常數，這個值稱為重力加速度 (Acceleration of free fall, \(g\))。

  • 在地球表面附近，\(g\) 的值約為 \(9.81 \text{ m s}^{-2}\)。
  • 在解決這類問題時，只需將 \(a = g\) 代入 SUVAT 方程式即可。
  • 關鍵規則：方向決定一切！在使用 SUVAT 處理垂直運動時：
    • 選定一個方向（通常向上或向下）作為正方向。
    • 如果你選「向上」為正，則 \(g\) 必須為負 (\(a = -9.81 \text{ m s}^{-2}\))。
    • 如果你選「向下」為正，則 \(g\) 為正 (\(a = +9.81 \text{ m s}^{-2}\))。
冷知識：

伽利略曾經展示過，在沒有空氣阻力的情況下，所有物體下落的速度都相同，與質量無關。這就是為什麼在月球上，羽毛和鐵鎚會同時落地！

4.2 測量 g 的實驗 (課程大綱 2.1.8)

一個常見的實驗是測量物體垂直下落的時間。

  1. 一個小物體（如鋼珠）被電磁鐵吸住，切斷電流時開始下落，同時計時器啟動 (\(t=0\))。
  2. 小球通過放置在已知垂直距離 (\(s\)) 的兩個或多個光閘。
  3. 電子計時器記錄下通過光閘所需的時間 (\(t\))。
  4. 由於物體從靜止開始，初速度 \(u=0\)。我們使用 SUVAT 方程式： $$ s = ut + \frac{1}{2} a t^2 $$ 因為 \(u=0\)： $$ s = \frac{1}{2} g t^2 $$
  5. 重組後可得 \(g = \frac{2s}{t^2}\)。如果你繪製 \(s\) (y軸) 對 \(t^2\) (x軸) 的圖，應該會得到一條通過原點的直線，且斜率等於 \(\frac{1}{2} g\)。

重點筆記：自由落體意味著唯一的加速度就是 \(g\)。應用 SUVAT 時，一定要先定義好你的正方向。

5. 二維運動（拋體運動）(課程大綱 2.1.9)

拋體運動 (Projectile motion) 描述的是被拋射到空中的物體（如投出的球或子彈）路徑，前提是忽略空氣阻力。

5.1 運動獨立性原則

解決拋體問題的關鍵在於體認到：水平運動和垂直運動是完全獨立的。

想像這兩個系統同時在運作：

  1. 水平運動 (x方向)：
    • 沒有任何水平方向的力（假設沒有空氣阻力）。
    • 因此，加速度為零 (\(a_x = 0\))。
    • 物體以恆定速度 (\(v_x\)) 移動。
    • 方程式：$$ \text{位移 } s_x = v_x \times t $$
  2. 垂直運動 (y方向)：
    • 唯一的力是重力。
    • 加速度是常數，等於 \(g\)，且向下作用 (\(a_y = g\))。
    • 物體遵循 SUVAT 方程式。
    • 方程式（例如垂直初速度為零時）：$$ s_y = u_y t + \frac{1}{2} g t^2 $$
5.2 如何解決拋體問題

這兩個獨立運動之間的橋樑就是時間 (\(t\))。拋體在水平方向移動的時間，與它在垂直方向移動的時間完全相同。

解題步驟：

  1. 分解初速度：如果物體以角度 \(\theta\) 拋出，將初速度 \(u\) 分解為水平分量 (\(u_x\)) 和垂直分量 (\(u_y\))： $$ u_x = u \cos \theta $$ $$ u_y = u \sin \theta $$
  2. 水平分析：使用 \(s_x = u_x t\) 來求水平距離或飛行時間。
  3. 垂直分析：使用 SUVAT 方程式（帶入 \(a_y = \pm g\)）來求最大高度、到達最大高度的時間（此時 \(v_y = 0\)）或總飛行時間。
  4. 整合：通常你需要先利用垂直運動資訊求出 \(t\)，再將該 \(t\) 代入水平方程式求距離。

類比：想像把球水平地拋下懸崖。從離開手的瞬間，重力開始把它向下拉（垂直運動），但它的水平速度維持不變（水平運動），直到落地為止。

重點筆記：拋體運動只是兩個一維運動同時發生，並由時間 (\(t\)) 連結在一起。請務必分開處理水平 (\(a=0\)) 和垂直 (\(a=g\)) 的計算。