第 1 章：物理量與單位 (9702 AS Level)
歡迎來到 AS 物理的基礎章節！在物理學中，我們所做的一切都涉及測量和描述這個世界，而這一章將為你提供準確且清晰地進行這些工作的必備工具。別擔心，測量誤差或向量的概念看起來可能有點複雜；但在讀完這些筆記後，你將能牢牢掌握這門「物理語言」。
1.1 物理量與估算
物理量 (Physical Quantity) 是指任何可以被測量的東西。要完整定義一個物理量，你需要兩個要素：
- 數值大小 (Numerical Magnitude)（是多少）。
- 單位 (Unit)（是什麼類型）。
例子：如果質量為 5 kg，5 是數值大小，kg 是單位。
進行合理的估算
物理學經常要求你判斷一個答案是否合理。這意味著你必須具備對物理量做出合理估算 (reasonable estimate) 的能力，特別是那些與日常生活相關的物理量。
- 人類身高： 約 1.7 m。（不可能是 17 m 或 0.17 m）。
- 汽車質量： 約 1000 kg (1 公噸)。
- 心跳間隔時間： 約 1 秒。
小貼士：務必將你計算出來的答案與現實數值進行對比。如果你算出一輛汽車的速度為 \(10^{8}\) m/s，你就知道自己肯定算錯了，因為這比光速還快！
重點摘要 1.1：所有物理測量都需要數值和單位。多練習估算常見的物理量，以檢查你的計算結果。
1.2 國際單位制 (SI Units)
SI 制 (Système International d'Unités) 是全球通用的測量標準。它確保了世界各地的科學家和工程師在計算時使用完全相同的基礎。
基本量與基本單位
這些是構成所有其他物理量的基本組成部分。它們無法透過其他單位來定義。
課程大綱要求你熟記以下五個基本量及其單位：
| 物理量 | SI 基本單位 | 符號 |
|---|---|---|
| 質量 (Mass) | 公斤 (kilogram) | kg |
| 長度 (Length) | 米 (metre) | m |
| 時間 (Time) | 秒 (second) | s |
| 電流 (Electric Current) | 安培 (ampere) | A |
| 熱力學溫度 (Thermodynamic Temperature) | 開爾文 (kelvin) | K |
導出單位
導出單位 (Derived units) 是透過基本單位相乘或相除而建立的。它們用於表示導出量（如速度、力或能量）。
例子 1：力 (牛頓, N)
根據 \(F = ma\)：
力 = 質量 \(\times\) 加速度
力的單位 = 質量的單位 \(\times\) 加速度的單位
\(1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg} \times (1 \, \text{m/s}^2) = \mathbf{\text{kg m s}^{-2}}\)
例子 2：電荷 (庫侖, C)
根據 \(Q = It\)：
電荷 = 電流 \(\times\) 時間
電荷的單位 = 電流的單位 \(\times\) 時間的單位
\(1 \, \text{C} = 1 \, \text{A} \times 1 \, \text{s} = \mathbf{\text{A s}}\)
檢查方程式的齊次性 (Homogeneity)
一項關鍵技能是利用基本單位來檢查方程式在維度上是否正確，這稱為檢查齊次性 (homogeneity)。
如果一個方程式是齊次的，那麼等式左側 (LHS) 的總 SI 基本單位必須與右側 (RHS) 的總 SI 基本單位相等。
重要提示：一個齊次方程式未必在物理上完全正確（可能缺少常數，例如 \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) 中的 \(\frac{1}{2}\)），但一個非齊次的方程式絕對是錯誤的！
分步例子：檢查 \(E_k = mv^2\) 是否為齊次。
- 左側單位 (能量, E)：能量即功，\(W = Fd\)。\(W\) 的單位 = \((\text{kg m s}^{-2}) \times \text{m} = \mathbf{\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}}\)
- 右側單位 (\(mv^2\))：質量的單位 (\(m\)) \(\times\) 速度單位的平方 (\(v^2\))
\(mv^2\) 的單位 = \(\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg} \times (\text{m}^2 \text{s}^{-2}) = \mathbf{\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}}\) - 比較：左側單位 (\(\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}\)) = 右側單位 (\(\text{kg m}^{2} \text{s}^{-2}\)。該方程式是齊次的。
SI 前綴
前綴是處理極大或極小數值的必備捷徑。
| 前綴 | 符號 | 乘數 | 冪次 |
|---|---|---|---|
| Tera (太) | T | 1,000,000,000,000 | \(10^{12}\) |
| Giga (吉) | G | 1,000,000,000 | \(10^{9}\) |
| Mega (兆) | M | 1,000,000 | \(10^{6}\) |
| Kilo (千) | k | 1,000 | \(10^{3}\) |
| (基本單位) | |||
| Deci (分) | d | 0.1 | \(10^{-1}\) |
| Centi (厘) | c | 0.01 | \(10^{-2}\) |
| Milli (毫) | m | 0.001 | \(10^{-3}\) |
| Micro (微) | \(\mu\) | 0.000001 | \(10^{-6}\) |
| Nano (納) | n | 0.000000001 | \(10^{-9}\) |
| Pico (皮) | p | 0.000000000001 | \(10^{-12}\) |
你知道嗎？大小寫非常重要！M (Mega, \(10^6\)) 與 m (milli, \(10^{-3}\)) 完全不同。
重點摘要 1.2：記住 5 個基本單位。利用齊次性檢查來找出公式中的維度錯誤。熟練掌握標準 SI 前綴。
1.3 誤差與不確定度
沒有測量是完美的。誤差和不確定度是實驗物理學中不可避免的一部分。
隨機誤差 vs. 系統誤差
你需要理解這兩類誤差之間的區別：
1. 隨機誤差 (Random Errors)
- 定義：導致測量結果隨機分佈在真實值周圍的誤差。它們不可預測，且每次讀數都可能不同。
- 原因：人為因素（例如：使用秒錶時反應時間不一致）、環境波動（例如：微小的振動）、讀取刻度困難（例如：視差誤差）。
- 影響：降低精密度 (precision)。
- 解決方案：進行多次重複測量並取平均值。
2. 系統誤差 (Systematic Errors)
- 定義：導致所有測量結果一致性地向同一方向偏離的誤差（總是偏高或總是偏低）。
- 原因：儀器校準錯誤、環境影響或零點誤差 (zero error)（即儀器在正確數值應為零時，卻顯示非零值，例如：天平在放上物體前已顯示 0.5 g）。
- 影響：降低準確度 (accuracy)。
- 解決方案：找出原因並重新校準儀器（例如：校正零點誤差）或更換實驗方法。
精密度與準確度
這兩個術語經常被混淆！可以用擲飛鏢作類比：
- 準確度 (Accuracy)：測量值與真實值（靶心）的接近程度。受系統誤差影響。
- 精密度 (Precision)：多次測量結果之間的接近程度（飛鏢是否落在同一個緊密區域）。受隨機誤差影響。
結果可以是精密的（所有讀數都很接近），但不準確（由於巨大的零點誤差，導致所有讀數遠離真實值）。
不確定度的組合
當你使用測量值（每個測量值都有其不確定度）來計算導出量時，必須組合它們的不確定度。針對課程大綱，我們有兩條簡單規則：
規則 1：加法與減法 (\(Z = A + B\) 或 \(Z = A - B\))
如果你將兩個物理量相加或相減，你需要將它們的絕對不確定度相加。
\(Z\) 的絕對不確定度 = (\(A\) 的絕對不確定度) + (\(B\) 的絕對不確定度)
例子：透過兩次讀數之差測量長度 L：\(L_2 = 10.0 \pm 0.1 \text{ cm}\) 和 \(L_1 = 2.0 \pm 0.1 \text{ cm}\)。長度 L 為 \(8.0 \pm (0.1 + 0.1) \text{ cm} = 8.0 \pm 0.2 \text{ cm}\)。
規則 2：乘法、除法與冪次 (\(Z = A \times B\) 或 \(Z = A / B\) 或 \(Z = A^n\))
如果你將物理量相乘或相除，你需要將它們的百分比不確定度相加。
計算步驟：
- 計算每個初始量的百分比不確定度： \[\text{百分比不確定度} = \left( \frac{\text{絕對不確定度}}{\text{數值}} \right) \times 100\%\]
- 將這些百分比相加，得出最終結果 (\(Z\)) 的百分比不確定度。
- （可選，但經常要求）將最終的百分比不確定度轉換回絕對不確定度。
例子：若密度 (\(\rho\)) 由質量 (\(m\)) 和體積 (\(V\)) 計算得出，\(\rho = m/V\)。
\[\frac{\Delta\rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}\]
對於冪次 (\(Z = A^n\))：如果數值 A 提升到 \(n\) 次方，則將其百分比不確定度乘以 \(n\)。
\[\frac{\Delta Z}{Z} = n \times \frac{\Delta A}{A}\]快速複習：不確定度規則
- 物理量相加/相減 $\implies$ 相加絕對不確定度。
- 物理量相乘/相除 $\implies$ 相加百分比不確定度。
- 冪次運算 ($A^n$) $\implies$ 將百分比不確定度乘以 $n$。
重點摘要 1.3：系統誤差降低準確度；隨機誤差降低精密度。在計算中組合變量時，根據計算類型，始終將不確定度（絕對值或百分比）相加。
1.4 標量與向量
物理量根據方向是否重要被劃分為兩類。
標量與向量的區別
1. 標量 (Scalar Quantities)
- 定義：僅由數值大小定義的物理量。方向無關緊要。
- 例子：質量、時間、能量、溫度、距離、速率。
2. 向量 (Vector Quantities)
- 定義：由數值大小和方向共同定義的物理量。
- 例子：力、速度、加速度、動量、位移。
記憶法：向量 (Vector) 會告訴你要去哪裡 (需要方向！)。
共面向量的加減法
由於向量具有方向，必須使用幾何（圖解）或三角函數方法進行相加，而非簡單的算術運算。
加法（頭尾法 / 平行四邊形法）：
- 畫出第一個向量。
- 從第一個向量的箭頭（頭）開始畫第二個向量。
- 合力向量（總和）是從第一個向量的起點（尾）指向第二個向量的終點（頭）。
減法：
從向量 \(\mathbf{A}\) 中減去向量 \(\mathbf{B}\) (\(\mathbf{A} - \mathbf{B}\))，等於加上 \(\mathbf{B}\) 的負向量 (\(\mathbf{A} + (-\mathbf{B})\))。負向量 \(-\mathbf{B}\) 的大小與 \(\mathbf{B}\) 相同，但指向完全相反的方向。
向量分解為垂直分量
通常，力或速度會以一定的角度作用。將單一向量 (\(\mathbf{F}\)) 分解 (resolving) 為兩個垂直分量（通常是水平分量 \(F_x\) 和垂直分量 \(F_y\)），會讓分析運動和力變得容易得多。
如果一個向量 \(\mathbf{F}\) 以與水平方向成 \(\theta\) 角的方向作用：
1. 平行分量（水平，鄰近 \(\theta\) 的邊）：
\[F_x = F \cos \theta\]
2. 垂直分量（垂直，對應 \(\theta\) 的邊）：
\[F_y = F \sin \theta\]
類比：想像你在推除草機。如果你斜著推（主作用力 \(\mathbf{F}\)），你的部分力氣會推動除草機前進 (\(F_x\))，另一部分則會將其向下壓向地面 (\(F_y\))。
別擔心一開始覺得難：向量分解是 AS 物理中最重要的技能之一。多練習畫直角三角形來確定哪一邊是 \(\sin \theta\)，哪一邊是 \(\cos \theta\)。通常，鄰近角度 \(\theta\) 的邊會使用餘弦函數 ($\cos$)。
重點摘要 1.4：標量只需要數值大小（如速率），而向量則需要大小和方向（如速度）。我們透過幾何法相加向量，並利用三角函數將它們分解為垂直分量以便計算。