歡迎來到熱力學：熱力學第一定律！

你好，未來的物理學家！這一章的主題是能量——確切地說，是能量如何進入一個系統（例如封閉在容器中的氣體）或從中流出。熱力學第一定律 (First Law of Thermodynamics) 本質上就是應用於熱力系統的能量守恆定律 (conservation of energy)。它既基礎又強大，只要你搞定了符號慣例，你會發現它比聽起來要簡單得多！

如果起初覺得這部分有些棘手，別擔心；我們會將其拆解為決定任何系統能量的三個簡單組成部分。

16.1 快速複習：內能 (\(\Delta U\))

在深入研究熱力學第一定律之前，我們需要先了解「U」的部分：內能。

什麼是內能？

一個系統的內能 (\(U\)) 是指由於分子無規則運動及其位置而儲存在系統內部的總能量。它是以下兩類能量的總和：

  • 無規則動能 (Random Kinetic Energy, KE)： 與分子的無規則運動（平移、旋轉、振動）有關。這一分量直接取決於氣體的溫度。
  • 無規則位能 (Random Potential Energy, PE)： 與分子間的力（鍵結）有關。對於理想氣體，這通常被視為零，但對於真實物質而言，這非常重要。

重點總結：

如果物體的溫度升高，其分子的平均動能就會增加，因此其內能 (\(U\)) 也會增加。

ⓘ 核心定義

內能完全由系統的狀態（其溫度、壓強和體積）決定。系統如何達到該狀態並不重要，重要的是最終狀態是什麼。

快速複習摘要： 溫度 \(T\) 上升 \(\Rightarrow\) 動能 KE 增加 \(\Rightarrow\) 內能 \(\Delta U\) 增加。

16.2 改變內能的三種方式

熱力學第一定律指出，你可以透過兩種方式改變系統的內能 (\(\Delta U\))：以熱量形式轉移能量 (\(q\))，或透過做功 (\(W\))。

A. 以加熱方式轉移能量 (\(q\))

當系統與其周圍環境之間存在溫度差時，能量會以熱量的形式轉移。這個量用 \(q\) 表示。

\(q\) 的符號慣例：
  • 正 \(q\) (即 \(q > 0\))： 能量透過加熱轉移到系統中（系統被加熱）。這會增加內能。
  • 負 \(q\) (即 \(q < 0\))： 能量透過加熱從系統中流出（系統冷卻）。這會減少內能。

類比：試想將一杯熱咖啡（你的系統）放在爐子上（環境）。爐子將能量傳遞給咖啡，因此 \(q\) 為正值。

B. 做功 (\(W\))

當力導致系統體積發生變化時，就會做功，通常是透過移動活塞等邊界來實現的。

計算恆壓下的做功

如果氣體在恆定壓強 (\(p\)) 下發生體積變化，則做功 (\(W\)) 為：

$$W = p \Delta V$$

其中：

  • \(p\) 是恆定壓強（單位：Pa）
  • \(\Delta V\) 是體積變化量（單位：\(\text{m}^3\)）
關鍵區別：對氣體做功 vs. 氣體對外做功

在物理學 (9702) 中，熱力學第一定律是根據對系統所做的功來定義的。這是大多數同學最容易混淆的地方，請務必留意！

公式 \(\Delta U = q + W\) 中的功 \(W\) 項代表對系統所做的功 (work done ON the system)。

常見錯誤提醒！

熱力學中有兩種慣例。有些教科書使用 \(\Delta U = q - W\)，其中 \(W\) 是氣體對外所做的功。對於劍橋 A Level 物理 (9702)，你必須使用「對系統做功為正」的慣例。

官方公式為：\(\Delta U = q + W\)。

\(W\) 的符號慣例（對系統所做的功）：
  • 對氣體做功（壓縮）： 如果周圍環境將活塞向內推，氣體體積減小 (\(\Delta V < 0\))。環境對氣體做了功，\(W\) 為正值。這會增加內能。
  • 氣體對外做功（膨脹）： 如果氣體將活塞向外推，氣體體積增大 (\(\Delta V > 0\))。氣體對環境做了功，\(W\) 為負值（因為「對氣體做的功」是負的）。這會減少內能。

做功計算步驟：

  1. 計算做功的數值大小：\(|W| = p |\Delta V|\)。
  2. 根據體積變化判斷符號：
    • 如果體積增加（膨脹），代表氣體在對外做功，\(W\) 為負值。
    • 如果體積減小（壓縮），代表外界對氣體做了功，\(W\) 為正值。

你知道嗎？ 在公式 \(W = p\Delta V\) 中，如果 \(\Delta V\) 是正值（膨脹），則用該公式算出的 \(W\) 是正值。但因為我們使用的是「對氣體做功」的慣例，我們必須手動反轉符號，因為膨脹意味著對氣體所做的功是負的。

16.3 熱力學第一定律

熱力學第一定律將內能變化 (\(\Delta U\))、熱傳遞 (\(q\)) 和做功 (\(W\)) 聯繫起來。

核心公式

熱力學第一定律的數學表達式為：

$$ \Delta U = q + W $$

其中：

  • \(\Delta U\)：系統內能的增加量。（單位：焦耳，J）
  • \(q\)：透過加熱傳遞給系統的能量（輸入的熱量）。（單位：焦耳，J）
  • \(W\)：對系統所做的功（透過壓縮）。（單位：焦耳，J）

這個公式簡單地陳述了能量守恆：系統儲存能量的總變化量 (\(\Delta U\))，必須等於透過熱量 (\(q\)) 或做功 (\(W\)) 越過系統邊界的總能量。

銀行帳戶類比

如果你將氣體的內能 (\(\Delta U\)) 想像成銀行帳戶：

  • 存款（\(q\) 為正）： 為系統增加熱量。
  • 提款（\(q\) 為負）： 系統散失熱量。
  • 存款（\(W\) 為正）： 壓縮系統（有人對你的帳戶做了功）。
  • 提款（\(W\) 為負）： 膨脹系統（氣體對環境做了功，因此其內能減少）。

你的帳戶餘額總變化量 (\(\Delta U\)) 就是透過熱量和做功進行的存款與提款之和。

應用熱力學第一定律的逐步指南

解題時，請遵循以下步驟以確保符號正確：

  1. 確定目標： 你是要計算 \(\Delta U\)、\(q\) 還是 \(W\)？
  2. 檢查 \(q\) 的符號： 熱量是加入（正值）還是移除（負值）？
  3. 檢查 \(W\) 的符號：
    • 如果氣體體積被壓縮（減小），\(W\) 為正值。
    • 如果氣體體積膨脹（增加），\(W\) 為負值。
  4. 計算： 將數值（帶上正確的符號！）代入 \(\Delta U = q + W\)。
\(\Delta U = q + W\) 的符號慣例總結
項 過程 符號結果 對內能的影響
\(q\) 加熱 / 能量轉移給系統 正值 (\(+\)) 增加 \(U\)
\(q\) 冷卻 / 能量從系統流出 負值 (\(-\)) 減少 \(U\)
\(W\) 對系統做功（壓縮） 正值 (\(+\)) 增加 \(U\)
\(W\) 系統對外做功（膨脹） 負值 (\(-\)) 減少 \(U\)

💡 重點總結：熱力學第一定律

熱力學第一定律是熱力學系統的能量守恆。請記住精確的定義：

  • \(\Delta U\)：內能的增加量。
  • \(q\)：轉移給系統的熱量。
  • \(W\)：對系統所做的功。

搞定符號，你就已經成功了一半！