歡迎來到資料表示法 (Data Representation)！
你有沒有想過，電腦是怎麼分辨自拍照片、音樂檔案和文字訊息的呢？電腦的核心其實是一組極小的開關，它們不是處於 關 (OFF) 就是 開 (ON)。我們用 0 和 1 來表示這些狀態，這就是所謂的 二進制 (Binary)。
在本章中，我們將學習電腦如何僅用這兩個數字來「溝通」，從簡單的整數到複雜的字元都能表示。如果一開始覺得有很多數學運算，別擔心——我們會一步步為你拆解！
1. 二進制量級與字首 (Binary Magnitudes and Prefixes)
在日常生活中，我們使用 十進制字首（以 10 為底）。例如，1 公里等於 1,000 公尺。然而，電腦是以 二進制（以 2 為底）運作的，因此它們使用 二進制字首。
十進制字首 (以 10 為底)
這是你在科學課上常用的單位，它們以 10 的冪次（\(10^3\)）遞增。
- kilo (k): \(10^3 = 1,000\)
- mega (M): \(10^6 = 1,000,000\)
- giga (G): \(10^9 = 1,000,000,000\)
- tera (T): \(10^{12} = 1,000,000,000,000\)
二進制字首 (以 2 為底)
這對電腦來說更精確，因為它們以 2 的冪次（\(2^{10}\)）遞增。
- kibi (Ki): \(2^{10} = 1,024\)
- mebi (Mi): \(2^{20} = 1,048,576\)
- gibi (Gi): \(2^{30} = 1,073,741,824\)
- tebi (Ti): \(2^{40} = 1,099,511,627,776\)
快速小複習： 如果你買了一個「1 Terabyte」的硬碟，你實際上得到的是 \(10^{12}\) 位元組。但電腦可能會顯示稍微少一點的容量，因為它採用的是「Tebibytes」(\(2^{40}\)) 的計算方式。
重點總結： 十進制字首是以 1,000 為基準；二進制字首則是以 1,024 為基準。
2. 數字系統 (Number Systems)
我們需要學會如何在三種主要系統之間進行轉換：十進制 (Denary)（我們常用的數字）、二進制 (Binary)（電腦的數字），以及 十六進制 (Hexadecimal)（二進制的簡寫）。
十進制 (Base 10)
使用 0-9 的數字。位值（place values）分別為個位、十位、百位等。
二進制 (Base 2)
僅使用 0 和 1。位值分別為 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1。
範例：二進制的 1010 等於 (1 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (0 × 1) = 十進制的 10。
十六進制 (Base 16)
使用 0-9 的數字以及 A-F 的字母。
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15。
使用十六進制是因為它比二進制短得多，且人類閱讀時較不易出錯。
十六進制的實際應用： 你會在 HTML 顏色代碼（例如 #FFFFFF 代表白色）和網路裝置的 MAC 位址 中看到十六進制的身影。
二進制編碼十進制 (BCD)
BCD 是一種表示十進制數字的特殊方式。每個十進制位數都會轉換成自己的 4 位元二進制半位元組 (nibble)。
範例：將 12 轉換為 BCD：
1 = 0001
2 = 0010
所以，12 的 BCD 表示法為 0001 0010。
BCD 的實際應用： 用於數位時鐘和計算機，這些裝置需要將個別位數顯示在螢幕上。
重點總結： 二進制是給電腦看的，十六進制是方便人類閱讀二進制，而 BCD 則是用於顯示單個位數。
3. 有符號整數（負數） (Signed Integers)
我們要如何告訴電腦一個數字是負數呢？我們主要使用兩種方法：一補數 (One's Complement) 和 二補數 (Two's Complement)。
一補數 (One's Complement)
要取得一個二進制數字的一補數，只需 翻轉所有位元（將 0 變為 1，1 變為 0）。
二補數 (Two's Complement)（業界標準）
這是表示負數最常見的方式。
第一步： 從該數字的正二進制版本開始。
第二步： 翻轉所有位元（一補數）。
第三步： 將結果加 1。
記憶口訣： 「翻轉後加一！」
你知道嗎？ 在二補數中，最左邊的位元（最高有效位元，Most Significant Bit）具有負值。在一個 8 位元的數字中，位值分別為：-128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1。
重點總結： 使用二補數是因為它允許電腦使用與加法相同的硬體來執行減法。
4. 二進制算術與溢位 (Binary Arithmetic and Overflow)
二進制加法就像十進制加法一樣，只是你需要更早進行「進位」！
二進制加法規則：
- \(0 + 0 = 0\)
- \(0 + 1 = 1\)
- \(1 + 1 = 0\)（進位 1）
- \(1 + 1 + 1 = 1\)（進位 1）
什麼是溢位 (Overflow)？
想像你有一個 8 位元的暫存器（一個可以容納 8 個位元的「儲存盒」）。如果你將兩個數字相加，而結果需要 9 個位元，那麼多出來的那個位元就無處可去。這就稱為 溢位 (Overflow)。
比喻： 這就像汽車的里程表跑到 999,999 英里後又歸零變成 000,000 一樣。電腦可能會給出完全錯誤的答案，因為它「丟失」了那個溢位位元。
重點總結： 當運算結果過大，無法裝入分配的位元數時，就會發生溢位。
5. 字元表示法 (Representing Characters)
電腦不知道字母「A」是什麼，它們只認識數字。字元集 (Character Set) 是一張對照表，告訴電腦哪個數字代表哪個字元。
ASCII (美國資訊交換標準代碼)
- 標準 ASCII： 使用 7 個位元，可表示 128 個字元（英文大小寫字母、數字和基本符號）。
- 擴展 ASCII： 使用 8 個位元，可表示 256 個字元（包含特殊符號和一些帶有重音的字元）。
Unicode
ASCII 很棒，但它無法表示中文、阿拉伯文甚至表情符號！因此創造了 Unicode 來解決這個問題。
- 它使用更多的位元數（通常是 16 或 32 位元）。
- 它可以表示世界上每一種語言。
- Unicode 的前 128 個編碼與 ASCII 完全相同，以保持相容性。
常見誤區： 學生常以為 ASCII 和 Unicode 是「檔案」本身。其實不是！它們只是用來將位元轉換為字母的 編碼系統。
重點總結： ASCII 體積小且僅限於英文；Unicode 則非常龐大，包含了所有你能想像到的字元和表情符號。
最終快速複習框
1. 二進制字首： kibi, mebi, gibi, tebi（1,024 的倍數）。
2. 十六進制： 16 進制 (0-9, A-F)。用於顏色代碼和 MAC 位址。
3. BCD： 每個數字佔 4 個位元（例如 5 = 0101）。用於數位顯示器。
4. 二補數： 翻轉位元並加 1。用於表示負數。
5. 溢位： 當結果對於 CPU 暫存器來說太大時發生。
6. Unicode： 全球字元標準，取代了受限的 ASCII。
你已經完成了資料表示法的筆記！如果轉換運算需要練習幾次才能掌握，請別擔心——熟能生巧。你做得很好！