歡迎來到多項式世界！
在本章中，我們將探討方程式的根（解方程式時得到的答案）與其係數（變數前面的數字）之間的奧秘關係。
你可以把多項式方程式想像成一份食譜。係數是包裝上列出的成分，而根就是做好的蛋糕。即使我們還沒有把蛋糕「烘焙」出來，只要觀察這些成分，我們就能對它的風味瞭若指掌！這在進階數學（Further Mathematics）中是一項至關重要的技能，因為它讓我們不必先求出根的確切數值，就能解決複雜的問題。
1. 基礎概念：根與係數
無論你面對的是二次（degree 2）、三次（degree 3）還是四次（degree 4）方程式，根與係數之間的關係都存在著一種優美且重複的規律。
二次方程式（degree 2）
對於方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\)，設其根為 \(\alpha\) (alpha) 和 \(\beta\) (beta)。
1. 根之和： \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
2. 根之積： \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
三次方程式（degree 3）
對於方程式 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)，設其根為 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\) (gamma)。
1. 根之和： \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\)
2. 兩兩根之積的和： \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\)
3. 根之積： \(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)
四次方程式（degree 4）
對於方程式 \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)，設其根為 \(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) 和 \(\delta\) (delta)。
1. 根之和： \(\sum \alpha = -\frac{b}{a}\)
2. 兩兩根之積的和： \(\sum \alpha\beta = \frac{c}{a}\)
3. 三個根之積的和： \(\sum \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)
4. 四個根之積： \(\alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a}\)
溫習小貼士：留意正負號的規律！它總是從根之和的負號開始，然後交替變換：\(-, +, -, +\)。分母則永遠是最高次項的係數 \(a\)。
你知道嗎？這些關係被稱為韋達定理 (Vieta's Formulas)，是以法國數學家弗朗索瓦·韋達（François Viète）的名字命名的。他正是數學史上最早開始使用字母來代表數字的人之一！
重點總結：根之和總是 \(-\frac{第二個係數}{第一個係數}\)，而根之積則涉及最後一個係數。正負號永遠交替。
2. 根的對稱函數 (Symmetric Functions of Roots)
所謂對稱函數，就是指一個運算式，如果你將其中任意兩個根對調（例如將 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 對調），該運算式的值完全不變。在考試中，你經常會被要求在不求出根的情況下，計算這些函數的值。
常見例子：
要找出 \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\)，請使用以下恆等式：
\((\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\)
經重組後得到：
\(\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2\sum \alpha\beta\)
如果這看起來有點複雜，別擔心！只要記住，你的目標始終是利用我們在第 1 節學過的「基本元件」（和、兩兩積之和等）來重新改寫運算式。
避免常見錯誤：千萬別以為 \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2\)。這是不對的！你必須減去「多出來」的中間項：\(2\alpha\beta\)。
3. 根的變換（使用代換法）
有時候，題目會給你一個已知根為 \(\alpha, \beta, \gamma\) 的方程式，並要求你找出一個新的方程式，其根與舊根有關，例如 \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\) 或 \(\alpha^2, \beta^2, \gamma^2\)。
我們不需要求出原本的根，而是使用代換法 (Substitution)。這就像是為方程式進行一場「數學改造」。
步驟拆解：
1. 設 \(y\) 為你想要的新根（例如，如果新根是舊根的平方，設 \(y = x^2\)）。
2. 將此關係重組，使 \(x\) 成為主項（例如，\(x = \sqrt{y}\)）。
3. 將這個 \(x\) 的運算式代入原方程式中。
4. 化簡方程式，使其看起來像一個標準的多項式（分母不能有平方根或分數）。
例子：對於原方程式 \(x^3 + 2x^2 - 5x + 6 = 0\)，求一個以 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}\) 為根的方程式。
步驟 1：設 \(y = \frac{1}{x}\)。
步驟 2：因此，\(x = \frac{1}{y}\)。
步驟 3：取代 \(x\)：\((\frac{1}{y})^3 + 2(\frac{1}{y})^2 - 5(\frac{1}{y}) + 6 = 0\)。
步驟 4：將整條式子乘以 \(y^3\) 以消除分數：\(1 + 2y - 5y^2 + 6y^3 = 0\)。
重組後： \(6y^3 - 5y^2 + 2y + 1 = 0\)。
類比：你可以將代換法想像成一名翻譯官。如果原本的根說的是「X」語言，而你需要它們改說「Y」語言，你就使用代換規則來翻譯整個句子（方程式），讓它在新語言中同樣適用。
重點總結：代換法是建立新方程式最快的方法。只需將 \(y\) 設為新根，解出 \(x\)，然後代回去即可。
4. 解未知係數
如果題目給你關於根的特定條件（例如：「其中一個根是另一個根的兩倍」或「根成等差數列」），你可以利用第 1 節的關係來求出方程式中缺失的數字。
小技巧：如果根成等差數列，你可以將它們設為 \(k-d\)、\(k\) 和 \(k+d\)。當你將它們相加 (\(\sum \alpha\)) 時，\(d\) 會互相抵消，這會讓你非常容易求出 \(k\) 的值！
成功檢查清單：
- 我記住正負號規律（\(-, +, -, +\)）了嗎？
- 我記得將係數除以 \(a\)）嗎？
- 在使用代換法時，我有沒有完全化簡最後的方程式？
- 我有檢查過有沒有「缺項」嗎？（例如，如果沒有 \(x^2\) 項，該係數即為 0）。
最後的鼓勵：多項式的根雖然夾雜著許多希臘字母，看起來可能很嚇人，但它們遵循著非常嚴格的規律。掌握好「根之和與積」的規律，你就已經成功了一半！