歡迎來到 P2 代數的世界！
歡迎來到純數學 2 (Pure Mathematics 2) 的第一章！如果你已經完成了 Paper 1，那你已經打下了穩固的基礎。在這章中，我們要為你的數學工具箱增添兩件強大的工具：模數函數 (Modulus Functions)（處理絕對值）和進階多項式 (Advanced Polynomials)（除法與拆解）。代數是數學的「語言」，掌握這些概念會讓你的 AS Level 學習之路順暢許多。如果剛開始覺得有點抽象，別擔心，我們會一步一步拆解！
1. 模數函數 \( |x| \)
一個數的模數 (Modulus) 其實就是它的「大小」或「量值」，而不論它是正數還是負數。你可以把它想像成在數線上該點與零之間的距離。
類比：想像你向右走 5 公尺 (+5) 或向左走 5 公尺 (-5)。在這兩種情況下，你走的「距離」都是 5 公尺。這段距離就是模數！
• 如果 \( x \) 是正數，\( |x| \) 就是 \( x \)。 (例如：\( |5| = 5 \))
• 如果 \( x \) 是負數，\( |x| \) 就是該數的正值版本。 (例如：\( |-5| = 5 \))
繪畫 \( y = |ax + b| \) 的圖象
模數函數的圖象通常呈「V」字形。這是因為「y」值永遠不可能為負。
繪畫步驟：
1. 先想像沒有模數符號的圖象 (例如 \( y = 2x - 4 \))。這只是一條直線。
2. 用鉛筆輕輕地畫出這條線。
3. 將線條中任何位於 x 軸下方（即 y 為負值）的部分反射（翻轉）向上，使其變為正值。
4. 「V」字形觸碰 x 軸的點稱為頂點 (Vertex)。你可以透過將模數內的表達式設為零來找到它 (例如 \( 2x - 4 = 0 \)，所以 \( x = 2 \))。
你知道嗎？模數函數就像一面放在 x 軸上的「鏡子」。它會忽略負數區域發生的事情，並將其反射回正數區域！
解模數方程式與不等式
當你看到 \( |a| = |b| \) 時，最簡單的解法是兩邊同時平方。這之所以有效，是因為任何數（正數或負數）平方後總是得到正值：\( a^2 = b^2 \)。
例子：解 \( |3x - 2| = |2x + 7| \)：
1. 兩邊平方：\( (3x - 2)^2 = (2x + 7)^2 \)
2. 展開：\( 9x^2 - 12x + 4 = 4x^2 + 28x + 49 \)
3. 將所有項移到一邊，解出這個二次方程式！
處理不等式：
• 對於「小於」(\( |x - a| < b \))：這意味著 \( x \) 被「困」在兩個數值之間。解法為：\( a - b < x < a + b \)。
• 對於「大於」(\( |x - a| > b \))：這意味著 \( x \) 在範圍「之外」。你需要分兩部分解：\( x - a > b \) 或 \( x - a < -b \)。
關鍵點：模數總能讓數值保持正值。當解兩邊都有模數的方程式時，平方是你的最佳拍檔！
2. 多項式除法
在 Paper 1 中，你處理過二次方程式 (degree 2)。現在，我們要提升至更高的次方，例如 \( x^3 \) 和 \( x^4 \)。有時我們需要將這些高次多項式除以較小的多項式（例如 \( x - 2 \)）。
等等，我以為除法是用來算數字的？
兩者原理完全一樣！回想一下小學學的長除法。你找出除數能容納多少個倍數，相減，然後找出餘數。我們處理 \( x \) 的多項式時也是做同樣的事情。
長除法步驟
1. 除：觀察被除式（大的多項式）的首項和除式的首項。將它們相除。
2. 乘：將你的結果乘以整個除式。
3. 減：將所得結果從被除式中減去。
4. 拉下：將下一項拉下來，重複以上步驟，直到無法再除為止。
最上方的結果是商式 (Quotient)，下方剩下的就是餘式 (Remainder)。
要避免的常見錯誤：相減時，務必非常小心負號！如果你在減去 \( -5x \)，其實你是在加上 \( 5x \)。這一章的大部分錯誤都源於簡單的符號疏忽。
關鍵點：多項式除法其實就是「數字長除法」，只不過換成了字母。保持對齊（將所有 \( x^2 \) 項排在同一列，以此類推）以避免混亂。
3. 餘式定理與因式定理
如果不需要除法的完整結果，只想知道餘式，該怎麼辦？其實有捷徑！
餘式定理 (Remainder Theorem)
如果你將多項式 \( f(x) \) 除以 \( (ax - b) \)，餘式即為 \( f(\frac{b}{a}) \)。
簡單來說：如果你想求 \( f(x) \) 除以 \( (x - 2) \) 的餘式，只需要將 2 代入函數即可！
例子：求 \( f(x) = x^3 + 5 \) 除以 \( (x - 1) \) 的餘式。
只需計算 \( f(1) = (1)^3 + 5 = 6 \)。餘式就是 6！
因式定理 (Factor Theorem)
這是餘式定理的一個特例。如果你將一個數代入多項式，結果為零，那麼該表達式就是一個因式（沒有餘數）。
如果 \( f(c) = 0 \)，則 \( (x - c) \) 是一個因式。
如何用它來解方程式：
1. 如果你有一個三次方程式，如 \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \)，試著代入一些小數值，如 1, -1, 2, -2。
2. 如果 \( f(1) = 0 \)，你就知道 \( (x - 1) \) 是一個因式。
3. 使用長除法將三次多項式除以 \( (x - 1) \)。
4. 你會得到一個二次方程式，接著就可以用公式或因式分解輕鬆解開它！
快速複習箱：
• 餘式定理：代入數值 \(\rightarrow\) 得到餘式。
• 因式定理：代入數值 \(\rightarrow\) 得到零 \(\rightarrow\) 你找到了一個因式！
• 解題：因式定理 + 長除法 = 解複雜方程式。
關鍵點：如果題目只問餘式，不要浪費時間做長除法。請直接使用定理！這樣更快，出錯的機會也更少。
總結檢查清單
如果剛開始覺得很棘手，別擔心！代數需要練習。在你繼續下一章之前，請確保你能：
• 辨認出模數函數圖象的「V」字形。
• 透過兩邊平方來解模數方程式。
• 進行長除法而不弄丟負號。
• 使用因式定理將三次方程式「拆解」成二次方程式。
繼續加油！你剛剛已經掌握了純數學 2 最基礎的代數技巧了。