Functions

歡迎來到函數的世界！

在本章中，我們將探索數學中最核心的概念之一：函數 (Functions)。你可以把函數想像成一部「數學機器」。你輸入一個數字（自變數），機器進行運算，然後輸出一個特定的數字（應變數）。掌握函數就像是學會了純數學 1 (Pure Mathematics 1) 中其他課題的遊戲規則。

我們將涵蓋如何描述這些機器、如何將它們串聯起來、如何將其「反轉」，以及如何改變它們在圖表上的形態。如果剛開始覺得有些抽象，別擔心，我們會一步步拆解開來學習！

1. 到底什麼是函數？

函數是一種特殊的關係，其中每一個輸入值都剛好對應一個輸出值。如果你將同一個數字輸入機器兩次，兩次得到的結果必須完全相同。

關鍵術語：
• 定義域 (Domain)：所有可能的「輸入」值集合（即 \( x \) 值）。你可以把它想像成機器「准許吃進去」的東西。
• 值域 (Range)：所有可能的「輸出」值集合（即 \( y \) 或 \( f(x) \) 值）。這是機器運算後產生的結果。

類比：想像一台汽水機。當你按下「可樂」按鈕（輸入），你會預期拿到一罐可樂（輸出）。如果按下「可樂」有時卻掉出薑汁汽水，那這台機器就是壞掉的——它不是一個函數！

如何求值域

在考試中，你經常需要根據給定的定義域來求出值域。
例子： 若 \( f(x) = x^2 \)，且定義域為 \( x \geq 1 \)。
如果你代入最小值（\( x = 1 \)），會得到 \( 1^2 = 1 \)。由於 \( x \) 從此處開始變大，輸出值也會隨之變大。因此，值域為 \( f(x) \geq 1 \)。

快速檢視：要找出值域，請觀察圖像，或將定義域的邊界值代入函數。記得特別留意轉折點（例如二次函數的頂點）！

2. 單射函數 (One-One Functions)

單射函數是一種非常嚴格的函數類型。它不僅要求每個輸入只有一個輸出，還要求每個輸出都來自唯一一個輸入。換句話說，兩個不同的輸入絕不能產生相同的輸出。

水平線測試 (Horizontal Line Test)：如果在圖形上畫任何一條水平線，而它與曲線的交點多於一個，那麼它就不是單射函數。
例子： 若定義域為所有實數，\( f(x) = x^2 \) 不是單射函數，因為 \( x = 2 \) 和 \( x = -2 \) 都會輸出 \( 4 \)。但是，如果我們限制定義域為 \( x \geq 0 \)，它就變成單射函數了！

3. 複合函數 (Composite Functions)

複合是指將兩部機器連接在一起的過程。第一部機器的輸出會變成第二部機器的輸入。

符號： \( gf(x) \) 的意思是「先執行 \( f \)，再將結果代入 \( g \)」。
記憶小撇步：永遠由右至左進行運算。在 \( gf(x) \) 中，\( f \) 最靠近 \( x \)，所以先處理 \( f \)。

複合函數的黃金法則：
只有當 \( f \) 的值域 包含在 \( g \) 的定義域 內時，才能組成複合函數 \( gf \)。如果第一部機器產生的東西是第二部機器不准許「吃」的，整個系統就會崩潰！

例子： 若 \( f(x) = x + 1 \) 且 \( g(x) = x^2 \)，則 \( gf(x) = g(x + 1) = (x + 1)^2 \)。

4. 反函數 (Inverse Functions)

反函數（寫作 \( f^{-1}(x) \)）是一部反向運行的機器。它將輸出值帶回原始的輸入值。

重要提示：只有單射函數才有反函數。如果函數不是單射的，「反向機器」就會困惑該回到哪一個輸入值！

如何求反函數（步驟）：

1. 將函數寫成 \( y = ... \)
2. 重組方程式，使 \( x \) 成為主項。
3. 交換 \( x \) 和 \( y \)。
4. 將 \( y \) 替換為 \( f^{-1}(x) \)。

例子： 求 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函數。
• \( y = 2x + 3 \)
• \( y - 3 = 2x \)
• \( x = \frac{y - 3}{2} \)
• \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \)

與圖像的連結

\( y = f^{-1}(x) \) 的圖像是在直線 \( y = x \) 上，將 \( y = f(x) \) 的圖像進行鏡像反射。這是因為我們僅僅是交換了 \( x \) 和 \( y \) 坐標。

小知識：\( f \) 的定義域與 \( f^{-1} \) 的值域完全相同，而 \( f \) 的值域則是 \( f^{-1} \) 的定義域。它們將一切都交換了！

5. 圖形變換 (Graph Transformations)

有時我們需要平移或拉伸圖像。對於 Paper 1，你需要掌握以下四種主要類型：

平移 (Translations)

• 垂直平移：\( y = f(x) + a \)
將圖像向上移動 \( a \) 個單位。（若 \( a \) 為負，則向下移動）。
• 水平平移：\( y = f(x + a) \)
將圖像向左移動 \( a \) 個單位。
警告：這部分很考驗直覺！加 \( a \) 會往負方向（向左）移動，減 \( a \) 則往右移動。這與你直覺想的正好相反！

拉伸 (Stretches)

• 垂直拉伸：\( y = a \cdot f(x) \)
將圖像垂直拉伸，比例因子為 \( a \)。\( y \) 坐標乘以 \( a \)。
• 水平拉伸：\( y = f(ax) \)
將圖像水平拉伸，比例因子為 \( \frac{1}{a} \)。
警告：與平移一樣，水平方向的變換是「由內而外」的。如果你看到 \( 2x \)，圖像實際上會變窄（因子為 \( 1/2 \)）。

反射 (Reflections)

• \( y = -f(x) \)：在 x 軸反射（上下顛倒）。
• \( y = f(-x) \)：在 y 軸反射（左右交換）。

總結表：
• \( f(x) + a \)：平移 \( \begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix} \)
• \( f(x + a) \)：平移 \( \begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix} \)
• \( a \cdot f(x) \)：垂直拉伸，因子為 \( a \)
• \( f(ax) \)：水平拉伸，因子為 \( \frac{1}{a} \)

常見錯誤提醒

• 運算順序：進行多重變換時，順序非常重要！通常請由括號「內部」往外處理。
• 定義域限制：務必檢查題目是否給定了特定定義域。這會影響你的值域，以及反函數是否存在。
• 符號混淆：不要將 \( f^{-1}(x) \) 與 \( \frac{1}{f(x)} \) 搞混。它們完全不同！一個是反函數，另一個是倒數。
• 二次函數的值域：要找出二次函數的值域，必須透過配方法找出頂點。最高點或最低點對於定義值域至關重要。

重點回顧

• 函數將一個輸入對應到唯一的一個輸出。
• 定義域 = 輸入；值域 = 輸出。
• 複合函數 \( gf(x) \) 意味著先做 \( f \)，再做 \( g \)。
• 反函數 \( f^{-1} \) 僅存在於單射函數；在 \( y = x \) 直線上進行反射。
• 水平方向的變動（括號內）感覺總是「反向」的。

如果剛開始覺得很難，別擔心！多練習繪製這些圖形變換並找出反函數，很快你就會得心應手。加油，你一定可以的！