歡迎來到運動的世界！
你好！歡迎來到力學（Mechanics）中最令人興奮的部分：運動學（Kinematics）。在本章中，我們將探討物體如何沿直線運動。我們暫時不用擔心它們「為什麼」會運動（力的部分我們稍後再討論）；我們只想描述運動本身。無論是汽車在紅綠燈前煞車，還是短跑選手在 100 米跑道上飛奔，你在這裡學到的規則都適用於所有情況！
如果一開始覺得很棘手，不用擔心。力學往往需要你在腦中建構情境。一旦你能「看到」腦中的運動畫面，數學運算就會變得容易得多。
1. 標量與向量：為什麼方向很重要
在開始計算之前，我們需要了解兩類量度之間的區別。在力學中，僅僅說明「多少」通常是不夠的；我們往往還需要知道「往哪個方向」。
標量（Scalars，只描述「多少」的量）
這些量只有大小（magnitude）。它們不考慮方向。
1. 距離（Distance）： 你走過的總路程（例如：「我走了 5 公里」）。
2. 速率（Speed）： 你移動得有多快（例如：「這輛車正以 60 km/h 的速度行駛」）。
向量（Vectors，描述「往哪個方向」的量）
這些量既有大小，也有方向。
1. 位移（Displacement，\(s\)）： 你相對於固定的起點在特定方向上的距離。
2. 速度（Velocity，\(v\)）： 你在特定方向上的速率（例如：「向右 20 m/s」）。
3. 加速度（Acceleration，\(a\)）： 你的速度變化的快慢。
跑道的類比：
如果你在 400 米的圓形跑道上跑了一整圈，最後回到起點：
• 你的距離是 400 米。
• 你的位移是 0 米（因為你回到了起點！）。
重點提示： 在考試題目中，務必檢查數值是否為「負數」。負數的速度通常僅表示物體正在後退，或是向你所選定的「正方向」之反方向移動。
2. 運動圖像
圖像是一種直觀呈現運動的好方法。對於 9709 課程大綱，你需要掌握兩類主要的圖像。
位移-時間（\(s-t\)）圖像
• 線條的斜率（Gradient）代表速度（Velocity）。
• 直線表示速度恆定。
• 水平（平坦）的直線表示物體靜止（沒有移動）。
• 曲線表示速度在改變（物體正在加速）。
速度-時間（\(v-t\)）圖像
這是 Paper 4 中最常見的圖像！請務必牢記以下兩條規則：
1. 斜率代表加速度。
2. 圖像下方的面積代表位移。
小貼士： 如果 \(v-t\) 圖像上的線條向下傾斜，說明物體正在減速。我們稱之為減速度（deceleration）或負加速度。
重點提示： 永遠先看座標軸！\(s-t\) 圖像上的平線表示「靜止」，但 \(v-t\) 圖像上的平線表示「以恆定速度移動」。
3. 等加速度運動（SUVAT 方程）
當物體以恆定（不變）加速度運動時，我們可以使用五個特殊的公式。因為涉及的變量，我們稱之為 SUVAT 方程：
• \(s\) = 位移
• \(u\) = 初速度
• \(v\) = 末速度
• \(a\) = 恆定加速度
• \(t\) = 所需時間
四大常用公式：
1. \(v = u + at\)
2. \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
3. \(v^2 = u^2 + 2as\)
4. \(s = \frac{1}{2}(u + v)t\)
如何解 SUVAT 問題（逐步指南）：
1. 列出變量： 寫下 \(s, u, v, a, t\)，並填入題目中已知的值。
2. 確定「目標」： 你需要求出哪個未知數？
3. 選擇公式： 找出一個包含你的「已知數」和「目標」，但不包含你不關心的那個變量的公式。
4. 檢查正負號： 如果物體被向上拋，而你設定「向上」為正，那麼重力加速度（\(g\)）必須為負（\(-10 m/s^2\)）。
你知道嗎？ 在劍橋 9709 力學課程中，除非題目另有說明，否則我們幾乎總是使用 \(g = 10 m/s^2\) 作為重力加速度！
重點提示： 只有在加速度為恆定時才能使用 SUVAT。如果加速度發生變化，你必須使用微積分（Calculus）！
4. 變加速度運動（使用微積分）
有時加速度並不是一個平穩的固定數值，它可能是時間的函數，例如 \(a = 3t - 1\)。當你在速度或加速度的表達式中看到「\(t\)」時，就是使用微積分的時候了。
向下運算（微分 Differentiation）
如果你有位移想求速度，或是有速度想求加速度，你需要對時間（\(t\)）進行微分。
• \(v = \frac{ds}{dt}\)
• \(a = \frac{dv}{dt}\)
向上運算（積分 Integration）
如果你有加速度想求速度，或是有速度想求位移，你需要對時間（\(t\)）進行積分。
• \(v = \int a \, dt\)
• \(s = \int v \, dt\)
常見錯誤：積分常數！
進行積分時，別忘了加上 \(+ c\)。你通常可以通過尋找題目中的「初始條件」來求出 \(c\) 的值（例如：「在 \(t=0\) 時，速度為 \(5 m/s」）。
複習速查表：
\n• 位移 \(\rightarrow\) 速度 \(\rightarrow\) 加速度（微分！）
• 加速度 \(\rightarrow\) 速度 \(\rightarrow\) 位移（積分！）
重點提示： 微積分是運動學的「萬能鑰匙」。它適用於所有類型的運動，而 SUVAT 僅適用於恆定加速度。
複習總結
• 向量有方向；標量則沒有。
• \(v-t\) 圖像： 斜率 = 加速度，面積 = 位移。
• SUVAT： 僅在恆定加速度下使用。根據缺少的變量選擇適當的公式。
• 微積分： 用於變加速度。記得從加速度推導回位移時要積分，並且務必求出 \(+ c\)！
你一定做得到！試著為每一道題目畫出圖像並列出 SUVAT 變量，你會發現自己的信心與日俱增。