歡迎來到二次方程的世界！
歡迎！在本章中，我們將深入探討二次方程 (Quadratics)。你可能以前見過這些「U 型」曲線——它們無處不在，從籃球投向籃框的軌跡到衛星天線的形狀都有它們的身影。讀完這些筆記後，你將能夠掌握這些曲線背後的代數知識，找出它們的最高點或最低點，並自信地解出複雜的方程。如果剛開始覺得有些棘手，別擔心——我們會一步一步為你拆解！
1. 配方法 (Completing the Square)
配方法是一種巧妙的代數「變身術」。我們將標準的二次表達式 \(ax^2 + bx + c\) 改寫為 \(a(x + p)^2 + q\) 的形式。
為什麼要這樣做？
配方後的格式就像繪圖時的「作弊碼」。它能讓我們無需額外計算，就能直接看出圖形的頂點 (vertex)（即轉向點）。對於 \(y = a(x + p)^2 + q\) 這種形式，頂點永遠位於 \((-p, q)\)。
逐步操作流程（針對 \(x^2 + bx + c\)）：
1. 觀察 \(x\) 前面的系數（即 \(b\) 的值）。
2. 將其除以 2 得到 \(p\)。
3. 寫下 \((x + p)^2\)。
4. 減去該數字的平方：\(-(p)^2\)。
5. 加上原有的常數 \(c\)。
例子：對 \(x^2 + 6x + 5\) 進行配方。
1. \(6\) 除以 2 等於 \(3\)。
2. 寫下 \((x + 3)^2\)。
3. 減去 \(3^2\)（即 \(9\)）：\((x + 3)^2 - 9\)。
4. 加上原有的 \(5\)：\((x + 3)^2 - 9 + 5\)。
5. 最終答案：\((x + 3)^2 - 4\)。
頂點位於 \((-3, -4)\)。
快速回顧：
• 如果 \(a\) 為正數，圖形是一個「笑臉」（最小值點）。
• 如果 \(a\) 為負數，圖形是一個「苦臉」（最大值點）。
重點總結：配方法能揭示二次方程圖形的「轉向點」。
2. 判別式：方程的「運勢預測師」
在花時間解二次方程之前，如果能預先知道答案是否存在，那不是很棒嗎？這就是判別式 (discriminant) 的作用！判別式是二次公式中根號下的部分：\(b^2 - 4ac\)。
三條準則：
1. 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：有兩個相異實根（圖形與 x 軸相交兩次）。
2. 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：有一個重根（圖形在頂點處剛好觸碰 x 軸）。
3. 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：無實根（圖形完全位於 x 軸上方或下方）。
你知道嗎？在考試中，如果題目說一條直線是曲線的「切線 (tangent)」，這意味著它們剛好觸碰於一點。這是一個巨大的提示，暗示你要將判別式設為 0！
重點總結：使用 \(b^2 - 4ac\) 來判斷解的數量，無需真的解出方程。
3. 解二次不等式
解 \(x^2 - 5x + 6 < 0\) 與解方程不同。你找的不僅是兩個數，而是一個數值的範圍 (range)。
如何求解：
1. 找出臨界值 (Critical Values)：將不等式當作等式，解出 \(x\)（因式分解或使用公式）。
2. 繪圖：快速畫出一個「U 型」，並在 x 軸上標出臨界值。
3. 識別區域：
• 如果不等式是 \( < 0 \)，你想要的是圖形位於 x 軸下方的部分（通常是一個連續區間）。
• 如果不等式是 \( > 0 \)，你想要的是圖形位於 x 軸上方的部分（通常是兩個分開的區間）。
避免常見錯誤：
永遠不要試圖通過對兩邊開平方根來解像 \(x^2 > 4\) 這樣的不等式，得到 \(x > 2\)，這樣會漏掉 \(x < -2\) 的部分！一定要畫圖。
重點總結：在解不等式時，畫圖是你最好的幫手。
4. 聯立方程（線性與二次）
有時你需要找出直線 (\(y = mx + c\)) 與二次曲線的相交點。這就是代入法 (substitution) 發揮作用的時候。
步驟拆解：
1. 將線性方程重寫，使 \(x\) 或 \(y\) 成為主項（例如 \(y = ...\)）。
2. 將其代入二次方程。
3. 展開並化簡，直到得到一個等於零的標準二次方程。
4. 解出第一個變數，然後將這些值代回線性方程，求出第二個變數。
例子：\(y = x + 1\) 及 \(x^2 + y^2 = 25\)。
代入 \(y\)：\(x^2 + (x + 1)^2 = 25\)。
展開：\(x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25\)。
化簡：\(2x^2 + 2x - 24 = 0\)。
除以 2：\(x^2 + x - 12 = 0\)。
因式分解：\((x + 4)(x - 3) = 0\)。
解：\(x = -4\)（此時 \(y = -3\)）及 \(x = 3\)（此時 \(y = 4\)）。
重點總結：將簡單的方程代入複雜的方程中。
5. 可化為二次方程的形式
有些方程看起來很嚇人，因為它們含有 \(x^4\) 或平方根 \(\sqrt{x}\) 等冪次。但它們通常都是「隱藏的二次方程」。
「代入技巧」：
如果你看到的方程中，一個 \(x\) 的冪次恰好是另一個的兩倍，你就可以使用一個臨時變數，通常設為 \(u\)。
例子 1：\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
令 \(u = x^2\)，則 \(u^2 = x^4\)。
方程變為：\(u^2 - 5u + 4 = 0\)。
解出 \(u\)：\((u - 4)(u - 1) = 0\)，所以 \(u = 4\) 或 \(u = 1\)。
別停在這裡！記得 \(u = x^2\)。
所以 \(x^2 = 4 \rightarrow x = \pm 2\)，且 \(x^2 = 1 \rightarrow x = \pm 1\)。
例子 2：\(x - 5\sqrt{x} + 6 = 0\)
令 \(u = \sqrt{x}\)，則 \(u^2 = x\)。
方程：\(u^2 - 5u + 6 = 0\)。解出 \(u\)，然後將結果平方來求出 \(x\)。
記憶小貼士：
把 \(u\) 想成一個「佔位符」。它讓方程看起來更簡單，以便你進行運算，但最後一定要記得把原本的變數「還回去」！
重點總結：觀察是否有「雙倍冪次」，並使用如 \(u = x^2\) 或 \(u = \sqrt{x}\) 的代換法來簡化問題。