歡迎來到三角學的世界！
歡迎！「三角學」聽起來可能很深奧，但它的核心其實只是研究三角形邊長與角度之間的關係。不過，在 A-Level 數學中，我們會更進一步，探討週期函數 (periodic functions)——即那些不斷重複出現的事物，例如波浪、心跳，甚至是月相。無論你是志在奪取 A*，還是想搞懂基本概念，這份筆記都會引導你一步步深入了解。
1. 基礎概念：弧度與角度
在進入圖形之前，我們需要知道如何測量角度。雖然你已經習慣用角度 (degrees)（0° 至 360°），但數學家通常會使用弧度 (radians)。
重點重溫：
一個完整的圓是 \(360^{\circ}\) 或 \(2\pi\) 弧度。
將角度轉為弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180}\)。
將弧度轉為角度：乘以 \(\frac{180}{\pi}\)。
2. 三大核心圖形
你需要能夠繪製並辨識正弦 (sine)、餘弦 (cosine) 和正切 (tangent) 的圖形。這些圖形都是「週期性」的，這意味著它們的形狀會不斷重複。
正弦圖 \(y = \sin x\)
從 \((0,0)\) 開始，上升至 \(1\)，下降至 \(-1\)，並在 \(360^{\circ}\)（或 \(2\pi\)）回到中間點。它看起來像一條平滑的波浪。
餘弦圖 \(y = \cos x\)
從頂點 \((0,1)\) 開始，下降至 \(-1\)，並在 \(360^{\circ}\) 回到 \(1\)。它基本上就是向左平移後的正弦波。
正切圖 \(y = \tan x\)
這個圖形很不一樣！它在 \(90^{\circ}, 270^{\circ}\) 等位置有漸近線 (asymptotes)（永遠不會觸碰的線）。它的值會從負無限大變動到正無限大。
別忘了圖形變換：你可能會被要求繪製 \(y = 3\sin x\)（垂直拉伸）或 \(y = \cos(2x)\)（水平壓縮）。記得一定要清晰地標註你的坐標軸！
重點總結：正弦和餘弦的值永遠在 \(-1\) 和 \(1\) 之間。正切則是個「狂野的孩子」，會無限地向上或向下延伸。
3. 精確值：隱藏的捷徑
在許多考試題目中，你是不能使用計算機的。因此，你需要熟記 \(30^{\circ}, 45^{\circ}\) 和 \(60^{\circ}\) 的精確值。
必須背誦的關鍵數值：
\(\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\)
\(\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\)
\(\tan 45^{\circ} = 1\)
記憶小撇步：有沒有發現 \(\sin 30^{\circ}\) 和 \(\cos 60^{\circ}\) 的值是一樣的？它們互為「餘角」，因為 \(30 + 60 = 90\)。
4. 核心恆等式（基本功）
恆等式是對於所有角度都成立的方程式。這些是你簡化複雜表達式的最佳利器。
1. 正切恆等式：
\(\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
2. 畢氏恆等式 (Pythagorean Identity)：
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\)
常見錯誤：學生常以為 \(\sin \theta^2\) 和 \(\sin^2 \theta\) 是一樣的。其實不然！\(\sin^2 \theta\) 的意思是 \((\sin \theta) \times (\sin \theta)\)。
5. 解方程式：CAST 圖表
當解像 \(\sin \theta = 0.5\) 這樣的方程式時，計算機通常只會給你一個答案（\(30^{\circ}\)）。但通常會有更多解！這時請利用 CAST 圖表 或圖形來找出它們。
步驟說明：
1. 找出基本角 (Basic Angle)（計算機給的答案，忽略任何負號）。
2. 繪製 CAST 圖表，看看該三角比在哪些象限 (Quadrants) 是正值或負值。
3. 計算出在指定範圍內（例如 \(0^{\circ}\) 到 \(360^{\circ}\)）的其他角度。
CAST 記憶法：
C - Cosine 在此象限為正（第 4 象限）
A - All（所有三角比）在此象限為正（第 1 象限）
S - Sine 在此象限為正（第 2 象限）
T - Tangent 在此象限為正（第 3 象限）
口訣：可用 "All Science Teachers are Crazy" 或中文口訣「全部、正弦、正切、餘弦」（對應一至四象限）來記憶。
6. 新的倒數函數 (Pure 2/3)
隨著進度提升，你會接觸到三個新函數。它們其實就是你已知函數的「翻轉」（倒數）。
正割 (sec): \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
餘割 (csc 或 cosec): \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
餘切 (cot): \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
如何區分？看看新函數的第三個字母！
sec \(\rightarrow\) cosine
cosec \(\rightarrow\) sine
cot \(\rightarrow\) tangent
7. 進階恆等式
對於 Pure 2 和 3，你需要掌握這些才能解決更艱深的方程式。
平方恆等式：
\(1 + \tan^2 \theta \equiv \sec^2 \theta\)
\(1 + \cot^2 \theta \equiv \csc^2 \theta\)
複角公式 (Compound Angle Formulas)：
這些公式有助於處理函數內部的加減法角度：
\(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)
\(\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\)（注意！餘弦公式的符號會反轉！）
倍角公式 (Double Angle Formulas)：
簡化運算時不可或缺！它們源自複角公式，其中 \(A = B\)。
\(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
\(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)
（另外：\(\cos 2A = 2\cos^2 A - 1\) 或 \(1 - 2\sin^2 A\)）
8. R-公式
有時題目會要求你將正弦和餘弦項合併為一項，例如 \(3\sin \theta + 4\cos \theta\)。我們將它轉化為單一波形：
\(R \sin(\theta + \alpha)\) 或 \(R \cos(\theta - \alpha)\)
操作方法：
1. \(R = \sqrt{a^2 + b^2\)（這其實就是畢氏定理！）
2. \(\alpha = \tan^{-1}(\frac{b}{a})\)
這在尋找函數的最大值或最小值時非常有用。
給你的最後小撇步
別慌！三角學是非常直觀的。如果你在解方程式時卡住了，試著畫出圖形。這通常會讓答案變得顯而易見。
重點複習箱：
- 開始計算前，務必檢查你的計算機是在角度 (Degrees) 還是弧度 (Radians) 模式！
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\) 永遠等於 \(1\)。
- 如果方程式中出現「平方」的三角項，尋找使用平方恆等式的機會。
- 範圍很重要！如果題目要求 \(0 \leqslant x \leqslant \pi\)，請記得給出弧度制的答案。
你知道嗎？三角學最初是被古代天文學家用來繪製星圖和進行航海定位的。如今，它被用來製作你最愛的電子遊戲中的圖形！