歡迎來到複數的世界！
在你的 GCSE 和一般的 A Level 課程中，老師可能教過你負數不能開平方。但在進階數學（Further Mathematics）中，我們要打破這些規則！複數讓我們能解開那些「無解」的方程式，而且從電機工程到理解聲波的傳播，處處都有它的身影。如果一開始覺得很陌生，請別擔心——一旦你掌握了基本的「規則」，它就會成為課程中最具邏輯的部分之一。
1. 複數的語言
首先，我們需要處理 \(\sqrt{-1}\) 的方法。我們定義一個新數 i，使得：
\(i^2 = -1\) 或 \(i = \sqrt{-1}\)。
笛卡兒形式 (Cartesian Form)
複數 \(z\) 通常寫作：
\(z = x + iy\)
- x 是實部 (real part)，記作 Re(z)。
- y 是虛部 (imaginary part)，記作 Im(z)。
複共軛 (Complex Conjugate)
若 \(z = x + iy\)，則它的共軛複數（記作 \(z^*\)）簡單來說就是：
\(z^* = x - iy\)
想像它就像鏡中的反射——你只需要改變虛部符號的正負即可。
快速複習：
- \(i^2 = -1\)
- \(z = \text{實部} + i(\text{虛部})\)
- 要找共軛複數，將 \(i\) 項的符號反轉即可。
核心觀念： 複數由兩部分組成——實部和虛部。它們永遠是成對出現的！
2. 阿爾岡圖 (Argand Diagram)
我們在稱為阿爾岡圖的平面圖上將複數視覺化。
- 橫軸是實軸 (real axis)（就像 x 軸）。
- 縱軸是虛軸 (imaginary axis)（就像 y 軸）。
運算視覺化：
- 加法/減法： 這與向量加法完全相同。如果你將兩個複數相加，實際上就是將兩個箭頭首尾相接。
- 共軛複數： 在阿爾岡圖上，\(z^*\) 是 \(z\) 對實軸的反射。
你知道嗎？ 阿爾岡圖是以讓-羅伯特·阿爾岡 (Jean-Robert Argand) 命名的，他是一位業餘數學家，平時的工作是在巴黎當會計員！
3. 模與輻角 (Modulus and Argument)
我們也可以用距離中心的位置與角度來描述複數，而不僅僅是用坐標 \((x, y)\)。這就是模輻角形式 (modulus-argument form)。
模 \(|z|\)
模是指從原點 \((0,0)\) 到該點的距離。我們使用畢氏定理：
\(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
輻角 \(arg(z)\)
輻角是線段與正實軸之間的夾角 \(\theta\)。
- 它以弧度 (radians) 為單位。
- 主輻角 (Principal Argument)： 為了讓數值唯一，我們通常將角度範圍設定為 \(-\pi < \theta \leq \pi\) 或 \(0 \leq \theta < 2\pi\)。
- \(\tan \theta = \frac{y}{x}\)
常見錯誤： 一定要畫個簡圖來檢查你的複數位於哪個象限 (quadrant)！如果 \(z = -1 - i\)，計算機給你的角度可能會指向錯誤的方向。畫圖能確保你的角度指向正確的位置。
核心觀念： 模 = 距離；輻角 = 角度。
4. 複數的不同形式
你需要熟練掌握以下三種表達同一個數的方法：
- 笛卡兒形式： \(z = x + iy\)（最適合加減法）。
- 模輻角形式： \(z = r(\cos \theta + i\sin \theta)\)（通常縮寫為 \(r\text{cis}\theta\) 或 \([r, \theta]\)）。
- 指數形式： \(z = re^{i\theta}\)（乘法和乘冪運算最強大的形式）。
轉換步驟：
- 利用 \(\sqrt{x^2 + y^2}\) 求出 \(r\)。
- 利用 \(\tan^{-1}(\frac{y}{x})\) 並透過畫圖檢查象限來求出 \(\theta\)。
- 將數值代入公式 \(r(\cos \theta + i\sin \theta)\) 或 \(re^{i\theta}\)。
5. 基本運算
加法與減法
使用笛卡兒形式。直接將實部相加，並將虛部相加。
例子：\((3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i\)。
乘法與除法
雖然可以用笛卡兒形式計算（記得 \(i^2 = -1\)），但使用模輻角形式或指數形式會快得多！
乘法規則： 模數相乘，輻角相加。
\(z_1 z_2 = [r_1 r_2, \theta_1 + \theta_2]\)
除法規則： 模數相除，輻角相減。
\(\frac{z_1}{z_2} = [\frac{r_1}{r_2}, \theta_1 - \theta_2]\)
核心觀念： 乘法會拉伸/縮短複數的長度，並進行旋轉！
6. 解方程式
共軛根定理 (Conjugate Pair Theorem)
如果一個多項式方程式（例如二次或三次方程式）的係數皆為實數，那麼其複數根必須成對出現。
如果 \(2 + 3i\) 是一個根，那麼 \(2 - 3i\) 一定也是一個根。
求平方根
要求 \(a + ib\) 的平方根，設 \((x + iy)^2 = a + ib\)。
1. 展開左式： \(x^2 - y^2 + 2xyi = a + ib\)。
2. 比較實部： \(x^2 - y^2 = a\)。
3. 比較虛部： \(2xy = b\)。
4. 解聯立方程式求出 \(x\) 和 \(y\)。
7. 阿爾岡圖上的軌跡 (Loci)
「軌跡」是指符合特定規則的一組點。你需要識別以下四種類型：
- 圓： \(|z - a| = k\)
這意味著「從點 \(a\) 到 \(z\) 的距離始終為 \(k\)」。這是一個中心在 \(a\)，半徑為 \(k\) 的圓。 - 垂直平分線： \(|z - a| = |z - b|\)
這意味著「\(z\) 到 \(a\) 的距離與到 \(b\) 的距離相等」。這就是 \(a\) 和 \(b\) 之間的正中直線。 - 射線 (Half-line)： \(arg(z - a) = \theta\)
這是一條從點 \(a\) 出發，且與實軸夾角為 \(\theta\) 的射線。注意：點 \(a\) 本身通常不包含在內（用空心圓圈表示）。 - 垂直線/水平線： \(Re(z) = k\) 或 \(Im(z) = k\)。
小撇步： 如果題目用了不等式，例如 \(|z - a| \leq k\)，你只需要將圓的內部塗色即可。實線代表 \(\leq\) 或 \(\geq\)，虛線則代表 \(<\) 或 \(>\)。
8. 棣美弗定理 (De Moivre’s Theorem)
這個定理在處理乘冪時非常有用：
\((r(\cos \theta + i\sin \theta))^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
簡單來說：要將一個複數進行 \(n\) 次方運算，只需將模數取 \(n\) 次方，並將輻角乘以 \(n\)。
應用
- 倍角公式： 你可以使用棣美弗定理將 \(\cos 3\theta\) 之類的表達式寫成以 \(\cos \theta\) 為主的形式。
- 求 n 次方根： 要找 \(z^n = w\) 的根，記得會有 \(n\) 個根，它們會形成一個中心在原點的正 n 邊形（例如 4 個根會構成正方形，5 個根會構成正五邊形）。
單位根 (Roots of Unity)
「單位根」是指 \(z^n = 1\) 的解。它們總是位於半徑為 1 的圓上，並圍繞中心均勻分佈。
總結核心要點：
1. 善用 \(i^2 = -1\)。
2. 加減法用笛卡兒形式；乘除及乘冪運算用指數形式。
3. 務必繪製阿爾岡圖。
4. 實係數多項式的複數根總是成對出現 (\(z\) 和 \(z^*\))。
5. 棣美弗定理將乘冪轉化為輻角的簡單乘法。