歡迎來到進階代數！
歡迎來到進階數學（Further Maths）旅程中最強大的章節之一。雖然標準的 A Level 代數側重於解 \(x\) 的方程式，但進階代數則是深入研究方程式的「內在運作機制」。你將會學到方程式的根（即答案）是如何與方程式本身的係數產生微妙的聯繫。可以把它想像成破解多項式的秘密代碼！如果一開始覺得很抽象也不用擔心；一旦你看懂了其中的規律，這會是一個非常有邏輯且解起來令人充滿成就感的謎題。
1. 根與係數的關係
每一個多項式方程式都有根（即使方程式等於零的數值）。這些根與係數（即 \(x\) 項前面的數字）之間存在著一種優美且固定的關係。
通用規律
對於任何形如 \(ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} ... = 0\) 的多項式，其關係遵循特定的符號交替規律：負、正、負、正……
- 根之和（每次取一個）：\(\sum \alpha = -\frac{b}{a}\)
- 兩根積之和（每次取兩個）：\(\sum \alpha\beta = \frac{c}{a}\)
- 三根積之和（每次取三個）：\(\sum \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)
- 所有根的積（對於四次方程式）：\(\alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a}\)
快速重溫：請記住，“a”永遠是最高次項 \(x\) 的係數。
你需要掌握的特定方程式
二次方程式 \( (ax^2 + bx + c = 0) \)
根：\(\alpha, \beta\)
- \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
- \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
三次方程式 \( (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0) \)
根：\(\alpha, \beta, \gamma\)
- \(\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\)
- \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\)
- \(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)
四次方程式 \( (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0) \)
根：\(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)
- \(\sum \alpha = -\frac{b}{a}\)
- \(\sum \alpha\beta = \frac{c}{a}\)
- \(\sum \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)
- \(\alpha\beta\gamma\delta = \frac{e}{a}\)
記憶小撇步：將係數序列想像成一個「分數瀑布」。你總是除以 \(a\)，分子則沿著字母順序（\(b, c, d, e\)）排列，每邁出一步就切換一次符號。
避免常見錯誤：如果某項缺失（例如三次方程式中沒有 \(x^2\) 項），它的係數就是零。千萬不要跳到下一個字母！例如 \(2x^3 + 5x - 1 = 0\)，\(b\) 的值為 \(0\)，而 \(c\) 的值為 \(5\)。
重點總結：多項式的係數直接由其根的和與積構成。如果你知道根，就能建立方程式；如果你知道方程式，就能掌握根的特性。
2. 方程式的變換
有時候，我們已知一個根為 \(\alpha, \beta, \gamma\) 的方程式，但我們想要找到一個新的方程式，其根經過了修正——例如，新的根可能是 \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\) 或 \(\alpha+3, \beta+3, \gamma+3\)。
代換法
這是轉換方程式最有效的方法。我們不需要單獨計算出新的根（通常這也不可能），而是使用代換法。
操作步驟：
- 定義新根：令 \(y\) 為新根的表達式。例子：如果新根是 \(\alpha + 3\)，則令 \(y = x + 3\)。
- 整理成 \(x\)：將 \(x\) 設為主項。例子：\(x = y - 3\)。
- 代入：將原方程式中的每一個 \(x\) 替換為這個關於 \(y\) 的新表達式。
- 化簡：展開括號並合併同類項，得到關於 \(y\) 的新多項式。
例子：求一個根為 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}\) 的方程式。
令 \(y = \frac{1}{x}\)，即 \(x = \frac{1}{y}\)。將 \(\frac{1}{y}\) 代入原方程式，並乘以相應項以消除分母。
你知道嗎？這與我們在 Pure Core 1 中移動圖形的方式非常相似。將 \(x\) 替換為 \(x-3\) 會將圖形向右平移 3 個單位，這實際上等同於將 x 軸上所有根的值都「加了 3」！
重點總結：若要轉換根，使用代換 \(y = [新根表達式]\)，解出 \(x\)，然後將其代回原方程式即可。
3. 進階部分分式
你在標準 A Level 數學中已經接觸過部分分式。在進階數學中，我們會處理更「棘手」的分母以及假分式。
情況 1：無法因式分解的二次因子
如果分母包含類似 \((x^2 + c)\) 的項，且 \(c > 0\)，你無法在實數範圍內將其拆分為線性因子。此時，該分式的分子必須是一個線性表達式：\(Ax + B\)。
結構：
\(\frac{Numerator}{(x-p)(x^2+c)} = \frac{A}{x-p} + \frac{Bx + C}{x^2+c}\)
情況 2：假分式
如果代數分子的次數（最高冪次）大於或等於分母的次數，該分式就是假分式。
類比：想像一下試圖把一個大箱子放進小箱子裡。如果不先把大箱子拆解，是放不進去的！
如何求解：
- 長除法：使用代數長除法將分子除以分母。
- 餘式：你將得到一個「整式」加上一個餘式分數。
- 部分分式：僅對餘式分數應用標準的部分分式技巧。
快速重溫：
- 如果次數相等（例如 \(x^2\) 除以 \(x^2\)），除法結果會是一個常數。
- 如果分子的次數高出一階（例如 \(x^3\) 除以 \(x^2\)），除法結果會是一個線性表達式 (\(Ax + B\))。
常見錯誤：忘記先做長除法！如果你直接嘗試對假分式使用部分分式，結果會因為漏掉了表達式中的「整式」部分而變得錯誤。
重點總結：務必先檢查 \(x\) 的次數。如果分子比分母「重」（次數高）或相等，請先進行除法。如果分母包含無法因式分解的二次式，分子請使用 \(Ax + B\)。
章節總結
- 根與係數：使用 \(-, +, -, +\) 的規律來建立係數與根之間的關係（適用於四次方程式）。
- 變換：使用代換 \(y = f(x)\) 來求出修正後的根對應的方程式。
- 部分分式：對於二次分母使用線性分子 (\(Ax+B\))，並在拆分前務必處理好假分式。
如果起初覺得這些很棘手也不用擔心！代數的關鍵在於練習。一旦你對每種類型都做了三到四道例題，你就會開始在各處發現這些規律。你一定做得到的！