歡迎來到圖解線性規劃 (Graphical Linear Programming)！
你有沒有遇過需要在有限的時間、金錢或資源下，將效益最大化的情況？例如：決定每個科目該分配多少溫習時間以取得最佳成績，或者烘焙店該如何分配製作「紙杯蛋糕」與「布朗尼」的數量，才能賺取最多的利潤。
這正是線性規劃 (Linear Programming, LP) 的精髓所在！在本章中，我們將透過繪圖來找出這些現實難題的「最佳方案」。無論你是以奪取高分為目標，還是希望能順利過關，這些筆記都會一步步帶領你掌握技巧。
1. 建立問題模型 (Formulating the Problem)
在繪圖之前，我們必須先把文字問題轉化為數學語言，這稱為建立模型 (Formulation)。你可以把它想像成把中文翻譯成「數學式」。
線性規劃問題的三大要素：
- 決策變數 (Decision Variables)： 這是你需要決定的對象，我們通常用 \(x\) 和 \(y\) 來表示。 範例：設 \(x\) 為普通蛋糕的數量，\(y\) 為豪華蛋糕的數量。
- 限制條件 (Constraints)： 這就是所謂的「規則」或限制。例如：麵粉存量有限，或焗爐的使用時間有限。
快速溫習： 不等式通常使用符號 \( \leq \)（小於或等於）或 \( \geq \)（大於或等於）。 - 目標函數 (Objective Function)： 這是你的最終目標。你是要極大化 (Maximise) 利潤，還是極小化 (Minimise) 成本？ 範例：極大化 \(P = 5x + 8y\)（其中 5 英鎊和 8 英鎊分別是兩種蛋糕的利潤）。
特殊情況：比例限制 (Ratio Constraints)
有時候題目會說：「製作的普通蛋糕數量至少要達到豪華蛋糕的兩倍。」
別驚慌！直接照字面意思寫出來： \(x \geq 2y\)。然後，移項讓變數都落在同一側： \(x - 2y \geq 0\)。
平凡限制 (Trivial Constraints)
在現實世界中，你不可能製作 -5 個蛋糕。因此，我們幾乎總是會加上平凡限制： \(x \geq 0\) 且 \(y \geq 0\)。這些條件能確保我們的圖形只出現在第一象限。
重點提示： 在寫下不等式之前，請務必清楚定義你的變數及其單位（例如：「蛋糕的數量」）！
2. 圖解法 (The Graphical Solution)
當我們有了不等式後，就可以將它們畫在座標平面上。
步驟拆解：繪製可行域
- 繪製邊界線： 將每個不等式視為方程式（使用 \(=\)），繪製邊界線。 小貼士：要畫 \(2x + 3y = 12\)，找出它與軸的交點即可。如果 \(x=0, y=4\)；如果 \(y=0, x=6\)。將 (0,4) 和 (6,0) 連起來。
- 塗黑「不符合」的區域： OCR A Level 的規則通常要求你塗黑「不符合」不等式的區域。 常見錯誤： 千萬不要塗黑「符合」的部分！可行域 (Feasible Region) 應該是中間那一塊乾淨、沒有被塗黑的區域。
- 可行域： 這個沒被塗黑的區域，代表了所有滿足所有規則的 \(x\) 和 \(y\) 的組合。
你知道嗎？ 可行域一定是一個凸多邊形 (Convex polygon)。這意味著它的邊是直的，且沒有任何「凹進去」的角。
3. 尋找最優點 (Finding the Optimal Point)
現在我們已經有了清晰的「可行域」，那哪一點才是最好的呢？「完美」答案幾乎總是落在可行域的頂點 (Vertices)（即邊界交點）上。
方法 A：目標線法（「滑動直尺」技巧）
1. 為目標函數選一個隨機數值（例如：若目標是 \(5x + 8y\)，試著設 \(5x + 8y = 40\)）。
2. 在圖上畫出這條線（通常畫成虛線）。
3. 用直尺將這條線在可行域內平行移動。
4. 對於極大化問題，直尺在離開可行域前觸碰到的最後一點就是勝出者。對於極小化問題，則是直尺觸碰到的第一個點。
方法 B：頂點測試法
直接找出沒被塗黑區域的所有頂點座標，並將它們代入目標函數中。計算結果最大（或最小）的那一點就是答案！
重點提示： 最優解通常出現在頂點。如果目標線與某條邊界線平行，那麼該邊界線上的每一點都可能是最優解！
4. 鬆弛變數 (Slack Variables)（階段 2 學習者）
有時候我們想把不等式轉化為方程式，這時就需要加入一個鬆弛變數。
想像你有 10 小時的工時 (\(x + y \leq 10\))。如果你只用了 8 小時，就剩下 2 小時的「鬆弛」時間。
我們寫成： \(x + y + s_1 = 10\)，其中 \(s_1 \geq 0\)。
記憶法： 鬆弛就是「剩餘的」空間。將它加在 \(\leq\) 符號的「較小」那一側，就能使其相等。
5. 整數規劃 (Integer Programming)
如果 \(x\) 和 \(y\) 必須是整數怎麼辦？（你總不能賣出 2.37 輛車吧！）。
如果你的最優頂點不是整數（例如 \(2.4, 5.8\)），你不能直接四捨五入！因為四捨五入後的點可能會落在可行域之外。
分枝定界法 (Branch-and-Bound Method)
不用擔心，這聽起來很複雜，但它只是一種「分而治之」的策略：
- 找出非整數的最優解（例如 \(x = 3.5\)）。
- 分枝 (Branch) 成兩個新問題：一個設 \(x \leq 3\)，另一個設 \(x \geq 4\)。
- 利用圖解法分別解決這些新區域。
- 持續分枝，直到找出最佳的整數點為止。
6. 靈敏度分析 (Sensitivity Analysis)
如果「普通蛋糕」的利潤從 5 英鎊變為 6 英鎊，會發生什麼事？
改變目標函數中的係數會改變目標線的斜率 (Gradient)。如果斜率變得夠陡，目標線可能會「翻過」某個頂點，從而使另一個頂點成為新的最優解。
快速溫習盒：
- 可行域 (Feasible Region)： 沒被塗黑的「安全區」。
- 頂點 (Vertex)： 兩條邊界線的交點。
- 整數 (Integer)： 沒有小數部分的完整數字。
- 目標 (Objective)： 你的目的（極大化/極小化）。
最終檢查清單
- 建立模型： 寫出變數、目標函數和約束條件。
- 作圖： 畫出邊界線並塗黑不符合的區域。
- 優化： 使用滑動目標線或測試各個頂點。
- 整數： 如有要求，使用分枝定界法檢查頂點附近的整數點。