Functions

歡迎來到函數的世界！

在本章中，我們將探討函數 (Functions)，這是代數中最核心的基礎之一。你可以把函數想像成一部「數學機器」：你放入一個數字（輸入值），機器對它進行運算，然後吐出一個特定的數字（輸出值）。掌握這些機器的工作原理、如何將它們組合，以及如何進行逆運算，是精通 A Level 數學的關鍵。

如果起初看到這些符號覺得像天書一樣，別擔心！我們會由淺入深，一步一步帶你拆解所有概念！

1. 函數的語言

為了能像專業人士一樣談論函數，我們需要掌握正確的術語。每個函數都有三個主要的「成分」：

1. 映射 (Mapping)：這是告訴我們如何處理輸入值的法則，我們通常寫作 \(f(x) = \dots\) 或 \(f : x \mapsto \dots\)。
2. 定義域 (Domain)：這是所有允許放入函數的輸入值（通常是 \(x\)）的集合。
3. 值域 (Range)：這是函數運算後可能產生的所有輸出值（通常是 \(f(x)\) 或 \(y\)）的集合。

映射：一對一與多對一

一個法則要正式被稱為函數，每個輸入值必須只能對應一個輸出值。想像一台自動販賣機：如果你按了「可樂」的按鈕，你預期每次出來的都會是可樂。如果它有時候給你可樂，有時候給你水，那這台機器就是「壞掉」的——它就不能稱為函數！

• 一對一 (One-to-One, 1:1)：每個獨特的輸入值都有一個獨特的輸出值。例子：\(f(x) = x + 3\)。如果你放入不同的數字，永遠會得到不同的結果。
• 多對一 (Many-to-One)：不同的輸入值可能會得出相同的輸出值。例子：\(f(x) = x^2\)。當 \(x = 2\) 和 \(x = -2\) 時，輸出值都是 \(4\)。這仍然是一個函數，因為每個輸入值依然只有一個確定的輸出值。

小複習：如果一個輸入值對應多於一個輸出值（一對多），它就不是函數，只是一個簡單的映射。

你知道嗎？你可以使用「垂線測試 (Vertical Line Test)」來檢查一個圖形是否為函數。如果你能在圖形上畫出一條垂直線，且該線與圖形相交多於一點，那麼它就不是函數！

重點總結：函數是一個法則，其中定義域內的每一個輸入值在值域中都有且僅有一個輸出值。函數可以是一對一或多對一的。

2. 複合函數 (Composite Functions)

複合函數基本上就是將兩部機器「串聯」起來的結果。你將第一個函數的輸出作為第二個函數的輸入。

符號寫作：\(gf(x)\)。
重要提示：在數學中，我們由內向外運算。因此，\(gf(x)\) 代表你先執行函數 \(f\)，然後將結果代入函數 \(g\)。

步驟拆解：如何求 \(gf(x)\)

假設 \(f(x) = 2x + 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。
1. 先看外面的函數：\(g(\dots)\)。
2. 將外層函數中的每一個 \(x\) 替換為整個內層函數表達式。
3. 因此，\(gf(x) = (2x + 1)^2\)。
4. 若有需要可進行化簡：\(gf(x) = 4x^2 + 4x + 1\)。

常見錯誤：順序搞錯了！\(gf(x)\) 通常與 \(fg(x)\) 完全不同。請務必從最靠近 \(x\) 的函數開始運算。

重點總結：\(gf(x)\) 意思是「先做 \(f\)，再做 \(g\)」。這就像接力賽跑，由 \(f\) 將棒子傳給 \(g\)。

3. 反函數 (Inverse Functions)

反函數（寫作 \(f^{-1}(x)\)）是「撤銷」按鈕。如果原函數將 \(x\) 變為 \(y\)，反函數則將 \(y\) 還原回 \(x\)。

反函數的黃金法則

函數必須是一對一才能擁有反函數。為什麼？因為如果函數是多對一（例如 \(x^2\)），「撤銷」按鈕就無法判斷應該回到哪一個原始數值！

如何通過代數求反函數

1. 將函數設為 \(y\)：\(y = f(x)\)。
2. 重新整理方程式，將 \(x\) 作為主項。
3. 交換 \(x\) 和 \(y\)。
4. 將新的 \(y\) 替換為 \(f^{-1}(x)\)。

例子：求 \(f(x) = 3x - 5\) 的反函數
1. \(y = 3x - 5\)
2. \(y + 5 = 3x \implies x = \frac{y + 5}{3}\)
3. 交換：\(y = \frac{x + 5}{3}\)
4. \(f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}\)

反函數的圖形

\(y = f^{-1}(x)\) 的圖形是 \(y = f(x)\) 沿著直線 \(y = x\) 的反射 (reflection)。這是考試中非常常見的考點！

重點總結：要擁有反函數，函數必須是一對一的。求解方法是重新排列方程式以 \(x\) 作為主項，然後交換變數。

4. 模函數 (The Modulus Function)

數字的模 (Modulus)，寫作 \(|x|\)，就是它的「絕對值」。簡單來說：它會把所有東西變成正數！

• \(|5| = 5\)
• \(|-5| = 5\)

\(y = |ax + b|\) 的圖形

線性模函數的圖形通常看起來像一個「V」字型。V 字的「尖端」（頂點）出現在模號內部的數值為零時。

例子：繪製 \(y = |x - 3|\)
1. 如果這是 \(y = x - 3\)，它會是一條穿過 x 軸於 \(3\) 的直線。
2. 因為有模號，原本在 x 軸以下的線段會被反射到上方。
3. 結果就是一個頂點位於 \((3, 0)\) 的「V」字型。

解模方程式

當你看到 \(|f(x)| = k\) 時，通常代表有兩種解的情況：
1. \(f(x) = k\)（「正常」版本）
2. \(f(x) = -k\)（「反射」版本）

別驚慌：如果你在解像 \(|x + 2| \leq |2x - 1|\) 這樣的不等式，一個好用的技巧是兩邊平方。由於兩邊都是正數，平方後可以消除模號，讓你得到一個二次不等式來求解！

重點總結：模 \(|x|\) 將負數變為正數，從而產生 V 字型圖形，並且在解題時需要同時考慮正負兩種情況。

5. 圖形變換 (Graph Transformations)

這部分主要探討我們如何平移或拉伸圖形。我們將「新」函數與「原始」的 \(y = f(x)\) 進行比較。

平移 (Translations)

• \(y = f(x) + a\)：將圖形向上平移 \(a\) 個單位。（垂直平移）
• \(y = f(x + a)\)：將圖形向左平移 \(a\) 個單位。（水平平移）

記憶小撇步：在括號外部的改變會影響 y 軸，而且是「直覺式」的（+ 代表向上）。在括號內部的改變會影響 x 軸，而且是「反直覺的」（+ 代表向左）！

拉伸 (Stretches)

• \(y = a \cdot f(x)\)：以係數 \(a\) 進行垂直拉伸。（將所有 y 坐標乘以 \(a\)）。
• \(y = f(ax)\)：以係數 \(\frac{1}{a}\) 進行水平拉伸。（將所有 x 坐標除以 \(a\)）。

快速例子：如果你有 \(y = f(2x)\)，你實際上是將圖形在水平方向縮小了一半。如果你有 \(y = 2f(x)\)，你是將它在垂直方向拉高了兩倍。

組合變換

當發生多重變換時（例如 \(y = 2f(x + 3)\)），順序非常重要。
• 對於垂直改變（括號外）：遵循運算順序 (BIDMAS)。先進行乘法/拉伸，再進行加法/平移。
• 對於水平改變（括號內）：通常先思考平移會比較容易，但要小心！建議一次只做一個變換。

常見錯誤：忘記水平拉伸使用的是 \(\frac{1}{a}\)。如果你看到 \(f(3x)\)，比例因子是 \(\frac{1}{3}\)，而不是 \(3\)！

重點總結：外部變換是垂直的且「正常」的；內部變換是水平的且「相反」的。利用這些規則，你可以將基本圖形平移或拉伸到新的位置。

最終總結複習

• 函數將一個輸入值對應到唯一的一個輸出值。
• 定義域 (Domain) = 輸入值；值域 (Range) = 輸出值。
• 複合函數 \(gf(x)\) 代表先做 \(f\)，再做 \(g\)。
• 反函數 \(f^{-1}(x)\) 是圖形關於 \(y=x\) 的反射，且僅存在於一對一函數中。
• 模 \(|x|\) 讓所有值變正，並產生「V」字型圖形。
• 變換會移動圖形：\(f(x+a)\) 是水平平移（左右），\(f(x)+a\) 是垂直平移（上下）。

你一定沒問題的！多練習繪製這些圖形並辨認定義域與值域，很快你就會成為函數專家！