歡迎來到等比數列的世界！
在本章中，我們將從簡單的加法規律邁向等比數列（Geometric Sequences，又稱為 Geometric Progression 或 GP）的世界。與其每次加上同一個數，這次我們將會乘以一個常數。這類數列隨處可見——從細菌的繁殖到銀行存款的複利增長皆是如此。如果一開始這些公式看起來有點嚇人，請別擔心；我們會一步一步把它們拆解開來！
1. 什麼是等比數列？
等比數列是一組數字規律，其中每一項都是由前一項乘以一個固定的非零數值所得，這個數值稱為公比（common ratio）。
關鍵術語：
- 首項 \( (a) \)：數列開始的第一個數字。
- 公比 \( (r) \)：我們乘以這個數值來得出下一項。
例子：3, 6, 12, 24, 48...
在這個數列中，首項 \( a = 3 \)。要從 3 變到 6，或從 6 變到 12，我們都是乘以 2。因此，公比 \( r = 2 \)。
尋找第 n 項
如果你想找出特定的某個項（第 n 項），而不想把整個數列寫出來，我們可以使用這個公式：
\( u_n = ar^{n-1} \)
逐步解析：為什麼是 \( n-1 \)？
1. 第 1 項只是 \( a \)。
2. 第 2 項是 \( a \times r \)。
3. 第 3 項是 \( a \times r \times r \)，即 \( ar^2 \)。
留意到了嗎？對於第 3 項，我們只乘以了兩次 \( r \)。這就是為什麼我們總是使用比項數小 1 的指數！
快速複習：要找出 \( r \)，只需將任何一項除以它的前一項即可：\( r = \frac{u_2}{u_1} \)。
2. 等比級數（求和）
當我們把等比數列的各項加在一起時，它就變成了等比級數（Geometric Series）。前 \( n \) 項的和記作 \( S_n \)。
求 \( S_n \) 的公式有兩個版本。雖然它們本質上是一樣的，但選擇正確的版本會讓計算過程更順手：
1. 當 \( r < 1 \) 時，使用 \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \)。
2. 當 \( r > 1 \) 時，使用 \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \)。
專家貼士：使用能讓分母保持正數的版本，可以避免在考試中因處理負數而頭痛！
重點總結：數列（Sequence）是一串數字列表；而級數（Series）則是將這些數字加總起來。
3. 收斂與無窮級數之和
有些等比數列會越變越大（發散），但有些會越變越小，趨近於零（收斂）。
級數何時收斂？
一個等比級數只有在公比 \( r \) 為 -1 到 1 之間的分數時才會「平定」並收斂。我們使用模數符號（modulus notation）將其寫為：
\( |r| < 1 \)（這代表 \( -1 < r < 1 \)）。
類比：想像你站在離牆壁 2 米的地方。每一秒鐘，你走剩下距離的一半。你會越來越靠近牆壁，但永遠不會真正「越過」它。你所走的總距離就是一個收斂級數。
無窮級數之和 \( (S_\infty) \)
如果級數是收斂的，我們可以使用這個出奇簡單的公式計算出所有無窮多項加起來的總和：
\( S_\infty = \frac{a}{1-r} \)
常見錯誤：學生經常試圖對像 2, 4, 8, 16... 這樣的數列尋求 \( S_\infty \)。這是不可能的！因為 \( r=2 \)，數值會不斷增長。這個公式只在 \( |r| < 1 \) 時才有效。
你知道嗎？這個概念有助於解釋芝諾悖論（Zeno's Paradox），這是一個古希臘謎題，探討箭頭如果要到達目標，必須先走完剩下距離的一半，那它怎麼可能真正到達呢？
4. 建模與現實生活中的數學
OCR 課程大綱要求你利用這些公式解決現實世界的問題，特別是涉及金錢或增長的情況。
複利計算
當金錢按百分比增長時，這就是一個等比數列。
- 如果一項投資每年增長 5%，則公比 \( r \) 為 1.05。
- 如果一輛車每年價值減少 10%，則公比 \( r \) 為 0.90。
使用對數求解 \( n \)
有時你會被問到：「投資需要多少年才會超過 £10,000？」這意味著你需要解一個以 \( n \) 為指數的不等式。
逐步過程：
1. 建立不等式：\( ar^{n-1} > 10,000 \)。
2. 除以 \( a \)。
3. 使用對數把 \( n \) 降下來：\( (n-1)\log(r) > \log(\text{數值}) \)。
4. 解出 \( n \)。
請小心！如果你將不等式兩邊同時除以一個負數（或一個小於 1 的數的對數），你必須改變不等號的方向。
最後快速複習箱
- 第 n 項： \( u_n = ar^{n-1} \)
- 前 n 項之和： \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \)
- 無窮級數之和： \( S_\infty = \frac{a}{1-r} \)（僅當 \( |r| < 1 \) 時）
- 等比增長： \( r = 1 + \text{百分比} \)
- 等比衰減： \( r = 1 - \text{百分比} \)
如果起初覺得有些棘手，請別擔心！最重要的技能是從題目中識別出 \( a \) 和 \( r \)。一旦掌握了這兩個關鍵，剩下的公式就能幫你輕鬆搞定計算！