歡迎來到圖形變換！
你有沒有想過電腦動畫師是如何讓角色在螢幕上移動，或是音訊工程師是如何調整聲波的？他們使用的就是圖形變換 (Graph Transformations)！在本章中，我們將學習如何運用基本的「母函數」(Parent Function)——例如 \(y = x^2\)——透過平移、拉伸或翻轉，繪製出我們想要的任何圖形。如果一開始覺得規則太多，別擔心；只要掌握當中的規律，就會發現它就像使用修圖應用程式一樣簡單。
1. 黃金法則：內部 vs. 外部
在深入了解各種操作之前，有一個「黃金法則」會讓整個章節變得輕鬆許多。這完全取決於數字在方程式 \(y = f(x)\) 中是加在還是乘在什麼位置。
- 括號外部： 這些變化會影響 y 坐標。它們是「誠實」的，會完全按照你預期的那樣運作（例如，\(+3\) 會讓圖形向上平移）。
- 括號內部： 這些變化會影響 x 坐標。它們是「反直覺」的，運作方式與你預期的相反（例如，\(+3\) 會讓圖形向左平移）。
速查表：
外部 = 垂直方向 (y) = 符合邏輯。
內部 = 水平方向 (x) = 與邏輯相反。
2. 平移 (Translations)
平移是指將圖形向上、向下、向左或向右移動，而不改變其形狀或方向。
垂直平移： \(y = f(x) + a\)
在函數外部加上一個常數會使其垂直平移。
- \(y = f(x) + a\)：向上平移 \(a\) 個單位。
- \(y = f(x) - a\)：向下平移 \(a\) 個單位。
水平平移： \(y = f(x + a)\)
在括號內部加上一個常數會使其水平平移。記住：內部是反的！
- \(y = f(x + a)\)：向左平移 \(a\) 個單位。
- \(y = f(x - a)\)：向右平移 \(a\) 個單位。
向量記法：
在考試中，你可能需要使用列向量 (column vector) \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 來描述這些變化。
例如 \(y = f(x - 3) + 2\) 的平移，可以用向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) 來描述。
重點總結： 要移動圖形，就進行加減。外部影響高度 (y)；內部影響左右 (x) 但符號相反。
3. 拉伸 (Stretches)
拉伸會將圖形從軸線拉遠或向軸線壓縮。我們將這個乘數稱為比例因子 (scale factor)。
垂直拉伸： \(y = a \cdot f(x)\)
在函數外部乘以一個數會使其垂直拉伸。
- 這是一個平行於 y 軸、比例因子為 \(a\) 的拉伸。
- 所有 y 坐標都乘以 \(a\)，而 x 坐標保持不變。
水平拉伸： \(y = f(ax)\)
在括號內部乘以一個數會使其水平拉伸。記住：內部是反的！
- 這是一個平行於 x 軸、比例因子為 \(\frac{1}{a}\) 的拉伸。
- 所有 x 坐標都除以 \(a\)，而 y 坐標保持不變。
你知道嗎？
如果你有 \(y = f(2x)\)，並不是讓圖形變寬兩倍；實際上是把它壓縮成原來的一半寬！把它想像成彈簧：當內部的數字變大時，「張力」增加，圖形就會被壓縮。
拉伸總結表：
- \(y = 3f(x)\)：比例因子 3，平行於 y 軸（垂直）。
- \(y = f(3x)\)：比例因子 \(\frac{1}{3}\)，平行於 x 軸（水平）。
4. 反射 (Reflections)
反射其實就是一種特殊的拉伸，其中乘數為 \(-1\)。
關於 x 軸的反射： \(y = -f(x)\)
負號在外部。它影響 y 值，將正的高度變為負的深度。這會讓圖形沿著 x 軸上下翻轉。
關於 y 軸的反射： \(y = f(-x)\)
負號在內部。它影響 x 值，將「右」變為「左」。這會讓圖形沿著 y 軸左右翻轉。
記憶口訣：「In-Y-Out-X」
負號在內 (In) = 關於 Y 軸反射。
負號在外 (Out) = 關於 X 軸反射。
5. 組合變換
當你有超過一個變換時，順序通常很重要！對於 OCR H240，你需要能處理類似 \(y = a \cdot f(x + b)\) 的組合。
「安全」順序：
一般來說，遵循運算順序 (BIDMAS)。
1. 先處理內部（水平移動）。
2. 再處理外部（垂直移動）。
例子： \(y = 2f(x - 5)\)
第一步：平移向量 \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)（向右移動 5）。
第二步：以比例因子 2 平行於 y 軸進行拉伸（高度加倍）。
常見錯誤：
不要搞混水平拉伸的比例因子。如果你看到 \(f(4x)\)，比例因子是 \(\frac{1}{4}\)，而不是 4！
6. 線性函數的模數： \(y = |ax + b|\)
模數 (Modulus) 符號 \(| \dots |\) 代表「取絕對值」（忽略負號）。在階段 2 中，你需要繪製類似 \(y = |2x - 3|\) 等線性函數的模數圖。
繪圖步驟：
1. 畫出直線 \(y = ax + b\)，假裝模數不存在（將 x 軸下方的部分畫成虛線）。
2. 識別「負」的部分：找出直線位於 x 軸下方（即 \(y < 0\)）的所有部分。
3. 反射它：將那些負的部分沿著 x 軸向上翻轉，使它們變為正值。
4. 結果通常看起來像一個 「V」字形。
類比： 把 x 軸想像成地板。模數函數就像一顆彈力球；它不能穿過地板。一旦碰到地板，它就會向上反彈！
重點總結： 對於 \(y = |f(x)|\)，不允許任何結果為負。將所有「地底」的部分翻轉到「地面上」。
成功檢查清單
- 我能區分 \(f(x) + a\) 和 \(f(x + a)\) 嗎？
- 我記住水平變化是倒數（針對拉伸）或相反符號（針對平移）了嗎？
- 我會使用列向量來進行平移嗎？
- 我能畫出「V」字形的模數圖嗎？
如果一開始覺得很棘手，別擔心！試著在同一個坐標軸上畫出 \(y = x^2\) 和 \(y = (x-2)^2 + 3\)，看看規則是如何運作的。多加練習是讓這些「編輯」過程變得直觀的最好方法。