導言：數學的節奏

歡迎！在本節中，我們將深入探討基本三角函數的圖像。你可能已經使用過 \(\sin\)、\(\cos\) 和 \(\tan\) 來計算三角形的邊長與角度，但現在我們要把它們視為可以無限延伸的函數。

這為什麼重要？因為三角學就是波動的語言。從耳機發出的聲音，到光的傳播方式，甚至是潮汐的變動，所有週期性重複的事物都可以用這些圖像來模擬。如果一開始覺得這些形狀有點陌生，別擔心；讀完這些筆記後，你一定能自信地畫出它們！

1. 先備知識：角度與弧度

在我們開始繪圖前，請記住 A Level 數學中我們會使用兩種角度單位：
1. 角度 (\(^\circ\))：傳統的 \(0^\circ\) 到 \(360^\circ\)。
2. 弧度 (rad)：一種「數學化」的單位，圓周角為 \(2\pi\)。
重要換算：\(180^\circ = \pi\) 弧度。

2. 正弦函數：\(y = \sin x\)

正弦圖像通常被稱為正弦波。它代表了一種平滑且週期性的震盪。

主要特徵：

  • 形狀：一條從原點 \((0,0)\) 出發的連續波形。
  • 週期：波形每隔 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\) 弧度）重複一次。
  • 振幅：圖像最高點為 \(1\)，最低點為 \(-1\)。
  • 對稱性：關於原點成旋轉對稱（它是奇函數）。

繪圖步驟（\(0^\circ\) 至 \(360^\circ\)）：

1. 從 \((0,0)\) 開始。
2. 上升至最高點 \((90^\circ, 1)\)。
3. 下降至 x 軸的 \((180^\circ, 0)\)。
4. 繼續下降至「谷底」\((270^\circ, -1)\)。
5. 回到 \((360^\circ, 0)\) 完成一個週期。

重點複習箱：
定義域：所有實數 (\(x \in \mathbb{R}\))
值域： \(-1 \leq y \leq 1\)

3. 餘弦函數：\(y = \cos x\)

餘弦圖像看起來與正弦圖像幾乎完全一樣，只是向左平移了 \(90^\circ\)。

主要特徵：

  • 形狀：從最大值 \((0,1)\) 開始的波形。
  • 週期：與正弦一樣，每隔 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\)）重複一次。
  • 振幅：保持在 \(1\) 和 \(-1\) 之間。
  • 對稱性：關於 y 軸對稱（它是偶函數）。

記憶小貼士：「杯子形狀 (Cosy Cup)」

一個記憶 \(0^\circ\) 到 \(360^\circ\) 之間 \(\cos x\) 形狀的簡單技巧是，它看起來像一個杯子 (Cup)（從高處開始，向下凹，最後回到高處）。

你知道嗎？
「Cosine」這個詞來自「complementary sine」（餘角的正弦）。這是因為 \(\cos x = \sin(90^\circ - x)\)。它們本質上是相同的波，只是彼此之間存在「相位差」！

關鍵總結：

正弦和餘弦圖像都是「波」，它們永遠不會高於 \(1\) 或低於 \(-1\)，且每 \(360^\circ\) 重複一次。

4. 正切函數：\(y = \tan x\)

正切圖像在這個家族中是個「叛逆分子」。它看起來一點也不像波！

主要特徵：

  • 形狀：一系列由垂直間隙分開的重複「曲線」。
  • 週期：重複頻率快得多，每隔 \(180^\circ\)（或 \(\pi\) 弧度）就重複一次。
  • 漸近線：這些垂直間隙是函數未定義的地方。它們出現在 \(90^\circ, 270^\circ, -90^\circ\) 等位置。圖像會無限趨近這些直線，但永遠不會接觸它們。
  • 值域：與正弦和餘弦不同，正切的值域從 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)。

現實生活類比：

將 \(\tan x\) 想成山坡的斜率。在 \(0^\circ\) 時，地面是平的（斜率 = 0）。當你越接近 \(90^\circ\)，山坡會變得越來越陡，直到變成一面垂直的牆——根本無法攀爬！這就是為什麼 \(\tan 90^\circ\) 是未定義的。

常見錯誤：
學生常忘記 \(\tan x\) 的週期是 \(180^\circ\) 而非 \(360^\circ\)。繪製 \(\tan\) 時，務必檢查你的 x 軸刻度！

5. 你必須掌握的精確值

對於 OCR H240 課程，你必須在不使用計算機的情況下知道特定角度的精確值。這些在非計算機試卷中經常出現。

常用角度表：

\(x = 0^\circ (0)\)：\(\sin x = 0\)，\(\cos x = 1\)，\(\tan x = 0\)
\(x = 30^\circ (\frac{\pi}{6})\)：\(\sin x = \frac{1}{2}\)，\(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(x = 45^\circ (\frac{\pi}{4})\)：\(\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\tan x = 1\)
\(x = 60^\circ (\frac{\pi}{3})\)：\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos x = \frac{1}{2}\)，\(\tan x = \sqrt{3}\)
\(x = 90^\circ (\frac{\pi}{2})\)：\(\sin x = 1\)，\(\cos x = 0\)，\(\tan x = \text{未定義}\)

「手指記憶法」：

舉起你的左手，手心面向自己。小指代表 \(0^\circ\)，大拇指代表 \(90^\circ\)。要找出某個角度的 \(\sin\) 或 \(\cos\)，將對應的手指彎下（\(30^\circ\) 是無名指，以此類推）。
\(\sin = \frac{\sqrt{\text{下方手指數量}}}{2}\)
\(\cos = \frac{\sqrt{\text{上方手指數量}}}{2}\)

6. 對稱性與週期性

因為這些圖像是重複的，你可以利用圖像的對稱性來求出像 \(210^\circ\) 這樣角度的值。

  • 正弦對稱性： \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta\)。例如：\(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = 0.5\)。
  • 餘弦對稱性： \(\cos(360^\circ - \theta) = \cos \theta\)。例如：\(\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = 0.5\)。
  • 週期性：你可以對任何角度加上或減去週期。\(\sin(x + 360^\circ) = \sin x\)。
關鍵總結：

如果你知道 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之間圖像的值和形狀，你就可以利用對稱性找出世界上任何角度的值！

最終重點複習

1. \(\sin x\)：從 \(0\) 開始，\(90^\circ\) 達最大值，週期 \(360^\circ\)。
2. \(\cos x\)：從 \(1\) 開始，\(90^\circ\) 為 \(0\)，週期 \(360^\circ\)。
3. \(\tan x\)：在 \(90^\circ, 270^\circ\) 有垂直漸近線，週期 \(180^\circ\)。
4. 精確值：背熟 \(30^\circ/45^\circ/60^\circ\) 的值——它們將是你考試時最好的夥伴！