簡介：歡迎來到積分的世界！
歡迎！如果你已經掌握了微分（Differentiation），那麼你已經成功了一半。積分（Integration）其實就是微分的逆運算。想像一下，微分就像是將時鐘拆解開來，看看它是如何運作的；而積分則是一門藝術，將這些拆解開的零件重新組裝起來，讓我們看見整體的全貌。
在這一章中，我們將專注於不定積分（Indefinite Integrals）。這類積分沒有指定的起點和終點（限值）。當我們只知道函數的變化率時，它們能幫助我們找出原始函數。這是一個極為重要的工具，無論是計算火箭的軌跡，還是預測經濟增長，都少不了它。如果剛開始覺得這就像是「倒著走」，別擔心——只要掌握幾個簡單的規則，很快你就會成為這方面的專家！
1. 核心概念：微積分基本定理
你需要了解的核心概念是：積分是微分的逆運算。
如果你對函數 \( F(x) \) 進行微分得到 \( f(x) \)，那麼對 \( f(x) \) 進行積分就會讓你回到 \( F(x) \)。
符號說明：
我們使用積分符號 \(\int\) 來表示：
\(\int f(x) dx = F(x) + c\)
關鍵術語：
• 積分符號 (\(\int\))： 這告訴你要進行積分運算。
• 被積函數 (\(f(x)\))： 你正在處理的函數。
• \(dx\)： 這表示你正在對變數 \(x\) 進行積分。
• 積分常數 (\(c\))： 那個「神秘數字」。
為什麼要加上 "+ c"？（消失的常數類比）
當我們對常數（例如 5、10 或 -100）進行微分時，它們會變成零。
例子： 如果 \( y = x^2 + 5 \)，那麼 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)。
例子： 如果 \( y = x^2 - 12 \)，那麼 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)。
注意到這兩個原始函數微分後都變成了 \( 2x \)。當我們對 \( 2x \) 進行積分時，我們知道結果會包含 \( x^2 \)，但我們無法得知原本的常數是多少！所以我們加上 + c 來代表最初可能存在的任何常數。
快速複習：
積分只是微分的「還原」。記得一定要在不定積分的最後加上 + c，以補回微分過程中被「抹去」的常數。
2. 冪函數的積分 (\(x^n\))
這是你最常會遇到的積分類型。只要次方 \(n\) 不等於 -1，我們就可以遵循一個簡單的兩步驟規則。
規則： \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
記憶口訣：「次方加一，除以新次方」
1. 次方加一： 將目前的次方 \(n\) 加 1 (\(n + 1\))。
2. 除以新次方： 將整個項除以這個「新的」次方。
逐步範例：
積分 \( \int 5x^3 dx \)：
1. 先保留常數 5 不變。
2. 次方加一： 次方 3 變成 4 (\(3 + 1 = 4\))。
3. 除以新次方： 除以新的次方，也就是 4。
4. 加上 c： 結果為 \( \frac{5x^4}{4} + c \)。
重要說明：
• 和與差： 如果有多個項，只需逐項積分即可。
例子： \(\int (x^2 + 3x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + c \)。
• 常數倍數： 如果 \(x\) 前面有一個數字，它會直接跟著保留並與結果相乘。
重點總結：
要對 \(x^n\) 進行積分，將次方加 1，然後除以新次方。這對分數和負次方同樣適用（除了 -1 以外）！
3. 求積分常數 (\(c\))
有時，我們不滿足於只留下一個 "+ c"。如果題目給出曲線經過的點，我們就能算出 \(c\) 的確切數值。
你知道嗎？ 在物理學中，求 \(c\) 就像是確定物體的「起始位置」。
逐步過程：
假設已知 \( \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \)，且曲線經過點 (-1, 2)。
1. 積分： \( y = \int (2x + 1) dx = x^2 + x + c \)。
2. 代入： 使用點 \(x = -1\) 和 \(y = 2\)。
\( 2 = (-1)^2 + (-1) + c \)
3. 解出 c：
\( 2 = 1 - 1 + c \)
\( 2 = 0 + c \)
\( c = 2 \)
4. 最終方程式： \( y = x^2 + x + 2 \)。
常見錯誤提醒：
千萬別忘了要先積分，然後再代入點！在代入數值之前，必須先得出含有 \(x^2\) 和 \(c\) 的完整式子。
4. 標準積分（指數函數、三角函數與 1/x）
有些特殊函數不適用「次方加一」規則。你只需要背下這些積分形式即可。
指數函數 \(e^{kx}\)
規則：\(\int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + c \)
例子： \(\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + c \)。
基本上，你保留 \(e^{kx}\) 不變，並除以 \(x\) 的係數 \(k\)。
特殊情況： \( \frac{1}{x} \)
還記得我們說過冪規則不適用於 \(n = -1\) 嗎？這就是原因。\( \frac{1}{x} \) 的積分是自然對數。
規則：\(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c \)
三角函數
積分與三角函數的符號（+ 或 -）常常讓人混淆。請參考以下指引：
• \(\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + c \)
• \(\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + c \)
記憶小撇步：
當你微分 (D) Sin 時，你會得到正 (P) Cosine (DSP)。
當你積分 (I) Sin 時，你會得到負 (N) Cosine (ISN)。
重點總結：
指數函數和三角函數積分後形式大致不變，但記得要除以常數 \(k\)。處理 Sine 和 Cosine 時一定要特別留意正負號！
5. 使用三角恆等式協助積分
有時候積分看起來是不可能的，例如 \( \int \cos^2(x) dx \)。在基礎積分中，我們沒有針對平方三角函數的直接規則。為了求解，我們使用倍角公式（Double Angle Formulae）將它們改寫成我們可以積分的形式。
針對 \(\cos^2(x)\) 和 \(\sin^2(x)\) 的技巧：
回想你的三角恆等式：
\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\) 可重排為： \(\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2x))\)
現在，你不再需要積分一個「平方」函數，而是積分 \( \frac{1}{2} \) 和 \( \cos(2x) \)，這兩者都很容易！
範例：
\(\int \cos^2(x) dx = \int \frac{1}{2}(1 + \cos(2x)) dx \)
\( = \frac{1}{2} [x + \frac{1}{2}\sin(2x)] + c \)
\( = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + c \)
快速複習盒：
如果你在積分題中看到 \(\cos^2(x)\) 或 \(\sin^2(x)\)，請務必祭出你的倍角恆等式。這是拆開平方並進行逐項積分的唯一方法！
章節總結：積分檢查清單
• 我有加上 + c 嗎？（不定積分一定要加！）
• 對於 \(x^n\)，我是否有做到次方加一，再除以新次方？
• 對於 \(e^{kx}\)、\(\sin(kx)\) 或 \(\cos(kx)\)，我是否有除以 k？
• 如果題目給了點 \((x, y)\)，我是否已代入並算出 c 的值？
• 如果看到平方三角函數，我是否先使用了倍角恆等式？